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1、几个分形的mat I ab实现时间：2021.03. 04创作：欧阳地摘要：给出几个分形的实例，并用m at lab编程实现方 便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感关键字：Koch曲线 实验 图像一、问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用 一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之 一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新 的图形如此迭代，形成Koch分形曲线。二、算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点） 的过程。图1中，设A和人分别为原始直线段的两个端 点，现需要在直线段的中间依次插入三个点代，人，厶。
2、显然巴位于线段三分之一处，耳位于线段三分之二处，A 点的位置可看成是由出点以人点为轴心，逆时针旋转60 而得。旋转由正交矩阵实现。算法根据初始数据(A和4点的坐标)，产生图1中5 个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个5x2矩阵，矩阵 的第一行为A的坐标，第二行为人的坐标，第五行为 人的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标， 第二列元素分别为5个结点的卩坐标。进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规 律。设第殳次迭代产生的结点数为心，第比+ 1次迭代产生 的结点数为,则心和如中间的递推关系为 %】=4代一 3O三、实验程序及注释：p二0 0;10 0; %P为初始两个点的坐标，第
3、一列为X坐标， 第二列为y坐标n二2；%n为结点数A二cos (pi/3) -sin (pi/3);sin (pi/3) cos (pi/3);%旋转矩阵for k二1:4d二diff (p)/3； %d i f f计算相邻两个点的坐标之差， 得到相邻两点确定的向量%则:1就计算出每个向量长度的三分之一，与题中将线段三 等分对应m-4*n3; %迭代公式q=p (1:n1, :) ; %以原点为起点，前nT个点的坐标为终点形成向量p4:m, :)=p(2:n, ：) ； %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:4：m,:)二q+d;%用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上
4、的点的坐标p(3:4：m,:)二q+d+d*A;于4k+3位置上的点的坐标 p(4：4：m, ：)-q+2*d;于4k位置上的点的坐标n=m;endplot (p (:, 1), p (:, 2) axis(0 10 0 10)四、实验数据记录：%用向量方法计算迭代后处%用向量方法计算迭代后处%迭代后新的结点数目%绘出每相邻两个点的连线由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线:图2五、注记:1参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch分形曲线：图3此时，旋转矩阵为：程序和曲线如下：p二0 0;10 0;%P为初始两个点的坐标，第一列为x坐标，第二列为y坐标n=2;%n为结点数A二0 -1;
5、1 0; %旋转矩阵for k二1:4d=diff (p) /3; %d i f f计算相邻两个点的坐标之差, 得到相邻两点确定的向量%则1就计算出每个向量长度的三分之一，与题中将线段三 等分对应m-5*n-4 ；%迭代公式q=p (1 : n1, :) ; %以原点为起点，前nT个点的坐标为 终点形成向量p(6:5:m, :)=p(2:n, :) ;%迭代后处于5k+1 位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:5:m,:)二q+d;%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标p(3:5:m,:)二q+d+d*A ;%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标p(4：5:m,:)
6、二q+2*d+d*A;处于5k+4位置上的点的坐标p(5:5:m, :)=q+2*d;处于5k位置上的点的坐标n=m;endplot (p (:, 1), p (:, 2)线ax i s (0%用向量方法计算迭代后%用向量方法计算迭代后%迭代后新的结点数目%绘出每相邻两个点的连10 0 10J)图4由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。所以我们将高度压缩到原来的0.7倍，即中间部分为一个长与宽之比为1:0.7的矩形时，得到程序和曲线如 下: p二0 0;10 0; %P为初始两个点的坐标，第一列为X 坐标，第二列为y坐标n二2;%介为结点数A二0 -1;1 0; %旋转矩阵fo
7、r k二1:4d二diff (p)/3； %d i f f计算相邻两个点的坐标之差， 得到相邻两点确定的向量%则:1就计算出每个向量长度的三分之一，与题中将线段三 等分对应m=5*n4 ；%迭代公式q=p (1 : n1, :) ; %以原点为起点，前nT个点的坐标为 终点形成向量p(6:5:m, :)=p(2:n, :) ;%迭代后处于5k+1 位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:5:m,:)二q+d;%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标p(3:5:m,:)二q+d+0.7*d*A ;%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标p(4：5:m,:)二q+2*d+0.
8、 7*d*A ;%用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标p(5:5:m,:)二q+2*d;%用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标n=m;%迭代后新的结点数目endplot (p (:, 1), p (:, 2)%绘出每相邻两个点的连线axis(0 10 0 10)图52.参照实验方法，我们由四边形的四个初始点出发， 对于四边形的每条边，生成元如下：图6可得到火焰般的图形。程序和曲线如下：p二0 10;10 0;0 -10;-10 0;0 10;%p为四边形四个顶点的坐标，其中第五个点与第一个点重合，以便于绘图%第一列为x坐标，第二列为y坐标n=5; %n为结点数A二cos (
9、-p i/3) -s i n (-pi/3);s i n(-p i/3) cos(-pi/3); %旋转矩阵，顺时针旋转60度for k=1:5d=d iff (p) /3; m 二 4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:);p (5:4：m, :)=p(2:n,:);p(2:4:m, :)=q+d;p(3:4:m,:)二q+2*d+d*A;p (4：4：m,：)二q+2*d;n 二m;endplot (p (:, 1), p (:, 2)axis(-10 10 -10 10)图73参照实验方法，由下列的生成元，绘制Koch分 形曲线：图8分析：为了绘图方便，我们将结点数处理一下，把第
10、一次迭代产生的六个点看成十个点，即图中有五条线段(1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 , 9 1 0 ),我 们将每条线段的每个端点看成新的两个结点，这样我们 就可以很方便地用plot绘图了。程序和曲线如下：p二0 0;10 10; %P为初始两个点的坐标，第一列为x坐标, 第二列为y坐标n=2;%n为结点数A二cos (pi/3) -sin (pi/3) ;sin(pi/3) cos (pi/3);B二cos (-p i /3) -s i n (-p i /3) ; s i n (-p i /3) cos (-p i /3);%旋转矩阵A对应于第一次逆时针旋转60度，旋转矩阵B对应于
11、第二次顺时针旋转60度for k二1:4d=d i ff(p) /3;d1=d(1:2:n, ：) ；%取每条线段对应的向量m=5*n;%迭代公式q1 二p (1:2:n-1,:);p (10:10:m, :)=p (2：2:n,:);p(1:10:m, :)=p(1:2:n, :); %迭代后处于10k与 10k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p (2:10:m, :)=q1+d1;%用向量方法计算迭代后处于10k+2, 10k+3, 10k+5位置 上的点的坐标，都相同p(3:10:m, :)=p(2:10:m,:);p(4:10:m, :)=q1+d1+d1*A, ; %用向量方法
12、计算迭代后处于10k+4位置上的点的坐标p(5:10:m, :)=p(2:10:m,:);p(6:10:m,:)-q1+2*d1;%用向量方法计算迭代后处于10k+6, 10k+7, 10k+9位置 上的点的坐标，都相同p(7:10:m, :)=p(6:10:m,:);p(8:10:m, :)=q1+2*d1+d1*B* ;p (9:10: m, :) =p (6:10: m,:);n=m;%迭代后新的结点数目endplot (p(:, 1), p(:, 2)%绘出每相邻两个点的连线axis(0 10 0 10)六，结束语通过图形显示，更好的理解的分形同时也也加深对 分形概念的进一步掌握参考文献:matIab从精通到入门时间： 创作：欧阳地