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1、高三数学直线与圆锥曲线（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：直线与圆锥曲线二. 重点、难点：1. 曲线： 2. 直线：（1） 无交点（2） 一个交点，相切（3） 两个交点P、Q【典型例题】例1 A（4，1）过A作交曲线M于P、Q，A恰为PQ中点，求。（1）（2）（3）解：（1）设， A为PQ中点 ， （2）同理：（3）同理：例2 过曲线M的焦点F，作直线交曲线M于A、B，求的最小值。（1）（2）（3）解：（1） 设 交于两支 时， 交于右支 综上所述，（2）同理：（3）同理：例3 （1）椭圆，直线，若M上存在两个不同的点，关于对称，求m的取值范围。（2）双曲线，直线，若M上存在
2、两个不同的点关于对称，求k的取值范围。解：（1）设对称点A，B （2）设对称点A、B 例4 椭圆M，中心在原点，焦点在x轴，直线交椭圆于P、Q，且OPOQ，求椭圆方程。解：设椭圆 设 令 例5 曲线P在M上，A（1，2），B（3，8），求最小值。与AB平行的曲线的切线： 依图 例6 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（，0），右顶点为D（2，0），设点A。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求ABC面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴又 椭圆的焦点在x轴上 椭
3、圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（）由，得由点P在椭圆上，得 线段PA中点M的轨迹方程是（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，因此ABC的面积SABC=1当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为，代入解得，则，又因为点A到直线BC的距离 ABC的面积，于是由，得，其中，当时，等号成立 的最大值是例7 如图，双曲线的离心率为，F1，F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且。（1）求双曲线的方程；（2）设A（m，0）和是x轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C，D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于x轴。解析：
4、（1）根据题设条件，设点M（x，y），则x，y满足 因，解得，故利用，得，于是因此，所求双曲线方程为（2）证明：设点C（），D（），E（），则直线的方程为于是两点坐标满足将代入得由（点C在双曲线上），上面方程可化简为由已知，显然于是，因为，得同理，两点坐标满足可解得所以，故直线DE垂直于x轴。例8 已知点M（2，0），N（2，0），动点P满足条件，记动点P的轨迹为W。（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值。解析：解法一：（1）由知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长。又半焦距，故虚半轴长 W的方程为（2）设A，B的坐标分别为当ABx轴时，从
5、而当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方法联立，消去y得，故 又 ， ，从而综上，当ABx轴时，取得最小值2解法二：（1）同解法一（2）设A，B的坐标分别为，则令，则，且 当且仅当，即时“=”成立 的最小值是2例9 无论m为何值，直线：与双曲线C：恒有公共点。（1）求C的离心率的取值范围；（2）若直线过C的右焦点F与双曲线交于P、Q，并且满足，求C的方程。解：（1） 时，m=0方程组无解，不合题意 ，恒成立，即恒成立 （2）设：， 又 例10 如图F（1，0），点M在x轴上，若且向量与的交点在y轴上。（1）求N的轨迹；（2）是否存在过点（1，0）的直线交轨迹于A、B且，并说明理由。
6、解：（1）设N（x，y），M（a，0）与的交点为P， P为中点，且 ， （2）设存在直线满足条件 令 定值 不存在使=4例11 如图，已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设（1）求的解析式；（2）求的最值。考查方向：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合。知识背景：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值。易错分析：在第（1）问中，要注意验证当时，直线与椭圆恒有交点。技巧方法：第（1）问中，若注意到为一对相反数，则可迅速将化简，第（2）问，利用函数的单调性求最值是常
7、用方法。解：（1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为，则， 椭圆的焦点为故直线的方程为，又椭圆的准线方程为，即 考虑方程组，消去y得：整理得： 恒成立，又 A、B、C、D都在直线上 ， 又 故， （2）由，可知又 故的最大值为，此时的最小值为，此时m=5。【模拟试题】1. 函数的图象与直线y=x相切，则等于（ ） A. B. C. D. 12. 直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（ ）A. B. C. D. 3. 以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. 4. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们
8、的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在5. 设直线关于原点对称的直线为。若与椭圆的交点为A，B两点，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A，B，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 过M（2，0）的直线与椭圆交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线的斜率为，直线OP的斜率为，则的值等于（ ） A. 2 B. 2 C. D. 8. 直线与椭圆相切，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9.
9、斜率为2的直线过中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A
10、. B.（1，2） C. D.（2，+）13. 给定四条曲线： ， ， ， ，其中与直线仅有一个交点的曲线是（ ） A. B. C. D. 14. 椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 直线与曲线相交于A，B两点，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 16. 椭圆的长轴两端点为A，B，异于A，B的点P在椭圆上，则PA与PB斜率之积为（ ） A. B. C. D. 17. 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 218. 已知双曲线中
11、心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 19. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） A. B. 4 C. 4 D. 20. 已知双曲线中心在原点，两个焦点F1，F2分别为（）和（），点P在双曲线上，且PF1F2的面积为1，则双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 21. 已知双曲线的离心率为2，焦点是（4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【试题答案】1. B 2. B 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. B11. D 12. C 13. D 14. A 15. B 16. A 17. A 18. D 19. A 20. C21. A用心 爱心 专心