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1、4.3平面向量的数量积及平面向量的应用组基础题组1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2014课标,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()A.1B.2C.3D.53.(2015杭州一模文,4,5分)已知向量e1,e2的模分别为1,2,它们的夹角为60,则向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为()A.60B.120C.30D.1504.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|=(
2、)A.2B.C.1D.5.(2013浙江,7,5分)设ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有.则()A.ABC=90B.BAC=90C.AB=ACD.AC=BC6.已知O是ABC所在平面内的定点,动点P满足=+,(0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.内心B.外心C.垂心D.重心7.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=.8.(2015杭州学军中学仿真考文,12,6分)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,且|2a-b|=,则|2a+b|=,向量a在向量b方向上的投影为.9.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角
3、为,且cos=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos=.10.若ABC满足(2-)(-2)=0,则=.11.(2016超级中学原创预测卷六,5,5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则a,b的夹角为,|a+b|=.12.(2016山东淄博12月摸底,14,5分)如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M、N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则=.13.(2016领航高考冲刺卷一文,15,4分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|2,则b在a上的投影的取值范围是.14.(2016超级中学原创预测
4、卷三,12,6分)如图,在正三角形ABC中,AB=2,P是AB边上一点,则的最大值是,最小值是.15.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足|=1,则|+|的最大值是.16.(2015台州一模,14,4分)若ABC的外接圆是半径为1的圆O,且AOB=120,则的取值范围为.17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|和|a-b|.B组提升题组1.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a22.
5、(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b23.(2015浙江宁波十校联考,4)设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a(a+b)=0,则a与b的夹角是()A.30B.60C.90D.1204.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,5)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,若=-,则=()A.B.C.D.5.(2016超级中学原创预测卷五,7,5分)在ABC中,若(4-),则sinA的最大值是()A.B.C.D.6.(2016超
6、级中学原创预测卷六,9,6分)如图,在边长为a的菱形ABCD中,BAD=,AC与BD相交于点O,点E在线段BD上,且BE=ED,若=-2,则实数a的值为()A.1B.2C.3D.47.(2014浙江冲刺卷六,10)已知ABC为斜三角形,且O是ABC所在平面上的一个定点,动点P满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心8.(2015浙江模拟评估测试卷二,10,5分)对于两个不共线的单位向量a,b,有下列四个命题:(a+b)(a-b);2|a+b|+|a-b|2;a与b在a+b方向上的投影相等;记a在a+b方向上的投影为m,a在a-b方向上的投影为n,则m2
7、+n2=1.其中正确的命题个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2015嘉兴测试二,11,6分)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)a.则向量a与b的夹角等于;|a+b|=.10.(2016余姚中学期中,13,4分)已知与的夹角为60,|=2,|=2,=+,若+=2,则|的最小值为.11.(2016领航高考冲刺卷二,14,4分)如图,已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上一动点,延长AE交圆O于点F,则的取值范围是.12.(2015浙江冲刺卷五,13)设非零向量a,b的夹角为,记f(a,b)=acos-bsin,若e 1,e2均为单位向量,且e1e2=,则
8、向量f(e1,e2)的模为,向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.13.(2013浙江, 17,4分)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.14.(2015金丽衢一联,16,4分)已知ABC是边长为2的正三角形,EF为ABC的外接圆O的一条直径,M为ABC的边上的动点,则的最大值为.15.(2015浙江,15,6分)已知e1,e2是空间单位向量,e1e2=.若空间向量b满足be1=2,be2=,且对于任意x,yR,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0R),则x0=,y0=,|b|=.组基
9、础题组1.A设a与b的夹角为.因为ab=|a|b|cos=|a|b|,所以cos=1,即a与b的夹角为0,故ab;而当ab时,a与b的夹角为0或180,所以ab=|a|b|cos=|a|b|,所以“ab=|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件,故选A.2.A由|a+b|=得a2+b2+2ab=10,由|a-b|=得a2+b2-2ab=6,-得4ab=4,ab=1,故选A.3.B设向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为.由已知可得(e1-e2)(-4e1+e2)=-4|e1|2-|e2|2+5e1e2=-3,又|e1-e2|2=|e1|2+|e2|2-2e1e2=3,|-4e1+e2|2=16
10、|e1|2+|e2|2-8e1e2=12,故有cos=-,所以=120,故选B.4.B由题意得-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,|b|=.故选B.5.D如图,在ABC中取BC的中点D,AB的中点E,连结CE,DP0.故=(-)(-)=-(+)+=+,同理,=+.由得,故DP0AB.由作图知CEDP0,所以CEAB,又E为AB的中点,所以AC=BC.选D.6.B设BC边上的中点为D,则+=2,所以=+,即=+,因为=+=+=0,所以,所以点P在BC的垂直平分线上,所以点P的轨迹一定经过ABC的外心,故选B.7.答案9解析,=0,即(-)=0,=9.8.答案;1解析|
11、2a-b|2=4a2-4ab+b2=422-4ab+32=13,解得ab=3.因为|2a+b|2=4a2+4ab+b2=422+43+32=37,所以|2a+b|=.向量a在向量b方向上的投影为=1.9.答案解析ab=(3e1-2e2)(3e1-e2)=9+2-911=8.|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-1211=9,|a|=3.|b|2=(3e1-e2)2=9+1-611=8,|b|=2,cos=.10.答案3解析由(2-)(-2)=0得2+2-5=0,即+=.因为=-,所以=9,所以=3.11.答案;解析根据题意得|a|cos=|b|cos,因为|a|=2,|b|=1,所以cos=
12、0,所以ab,则a,b的夹角为,则|a+b|=.12.答案8解析=(+)(+)=-=8.13.答案解析由|a-2b|2得a2+4b2-4ab4,所以4+4-4ab4,即ab1.又b在a上的投影为=,=|b|cos1,所以b在a上的投影的取值范围是.14.答案2;-解析如图所示,设AB的中点为O,连结CO.当P在线段AO上时,=|=|(|+1),容易得到当|=1时,()max=2,当点P与点O重合时,()min=0.当点P在线段OB上时,=-|=-|(1-|),而|(1-|)=|-|2=-+,当P为线段OB的中点时,()min=-,当点P与点O或B重合时,()max=0.综上,的最大值是2,最小
13、值是-.15.答案+1解析解法一:设D(x,y),则由|=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cos,y=sin,R.而+=(x-1,y+),则|+|=,其中sin=,cos=.显然当sin(+)=1时,|+|有最大值=+1.解法二:+=+,设a=+=(2,),则|a|=,从而+=a+,则|+|=|a+|a|+|=+1,当a与同向时,|+|有最大值+1.16.答案解析因为=|cosAOB=11=-,所以|+|=1.=(-)(-)=-+(+)=-1+|+|cos=-+cos,为与+的夹角.因为当C与A(或B)重合时,=,所以由-1cos1且cos,得-+cos0或0-+cos,则的取值
14、范围为.17.解析(1)由(2a-3b)(2a+b)=4|a|2-4ab-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得ab=-6,cos=-.又0,=.(2)|a+b|=.同理,|a-b|=.B组提升题组1.D=(+)=+=a2+a2=a2.2.B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.3.D设a与b的夹角是,|a|=1,|b|=2,a(a+b)=0,aa+ab=0,即|a|2+|a|b|cos=0,也即12+12cos=0,cos=-,故=120.故选D.4.A|=|=2,=60,=|cos60=2
15、.=-=(1-)-,=-=-,且=-,(1-)-(-)=-,即|2+(2-1)+(1-)|2=,4+2(2-1)+4(1-)=,解得=.5.C设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由题意得(4-)(-)=0,4+-5=0,4c2+b2-5bccosA=0,cosA=(当且仅当b=2c时取等号),又A(0,),sinA=,故sinA的最大值为.6.B因为菱形ABCD的边长为a,且BAD=,所以BD=a,ABD=.因为BE=ED,所以=+,所以=+=aacos+(a)2=-a2=-2,得a=2.7.C依题意有=,则=+=-+.而在ABC中,由正弦定理得|sinB=|sinC,则=0,故选C.8.D
16、解法一:设=a,=b,=a+b,则四边形ABCD是边长为1的菱形,设其对角线AC,BD交于点O.由ACBD,得(a+b)(a-b),故正确.由|+|=1,得+1,即|a+b|+|a-b|2.又=,|a+b|+|a-b|2,故正确.由菱形ABCD可知a与b在a+b方向上的投影都为|,即正确.由菱形ABCD可知m=|,n=|,由|2+|2=|2=1,得m2+n2=1.故正确.故选D.解法二:|a|=|b|=1,(a+b)(a-b)=a2-b2=0,故正确.设a与b的夹角为,因为a与b是不共线向量,所以(0,).从而有|a+b|=2cos,|a-b|=2sin,则|a+b|+|a-b|=2cos+2
17、sin=2sin,而0,则+,从而有sin1,故2|a+b|+|a-b|2,故正确.a(a+b)=a2+ab=1+ab,b(a+b)=ab+b2=ab+1,a(a+b)=b(a+b).而a在a+b方向上的投影为,b在a+b方向上的投影为,由上知=,故正确.m2=,n2=,则m2+n2=1,故正确.故选D.9.答案;解析因为(a-b)a,所以(a-b)a=a2-ab=0,所以ab=2,所以cos=,所以=.因为|a+b|2=a2+2ab+b2=2+22+4=10,所以|a+b|=.10.答案2解析=(+)2=2+2+2=42+4+122,由+=2,得=2-,所以=122-8+16=12+12,最
18、小值为12,所以|的最小值为2.11.答案0,6解析正三角形ABC内接于半径为2的圆O,ABC的边长为2.过点C作CDAB于点D,ABC为正三角形,D为AB的中点.=-3,又=(+)23,9,0,6.12.答案;解析e1e2=,且e1,e2均为单位向量,向量e1与e2的夹角为30,f(e1,e2)=e1cos30-e2sin30=e1-e2,|f(e1,e2)|=.向量e1与e2的夹角为30,向量e2与-e1的夹角为150,f(e2,-e1)=e2cos150+e1sin150=e1-e2,f(e1,e2)f(e2,-e1)=-e1e2+=0,故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为
19、.13.答案2解析|b|2=x2+y2+2xye1e2=x2+y2+xy(x、y不全为0),=.当x=0时,=0.当x0时,=4,当=-时取等号.故的最大值为2.14.答案3解析由题意可得,圆O的半径R=2=2,且当点M为一边的中点时,OM垂直于此边,此时|min=1.=(+)(+)=(-)(+)=|2-|2=R2-|24-1=3,即的最大值为3.15.答案1;2;2解析e1,e2是单位向量,e1e2=,cos=,又0180,=60.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系O-xyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,再设=b=(m,n,r),由be1=2,be2=,得m=2,n=,则b=(2,r).而xe1+ye2是平面xOy上任一向量,由|b-(xe1+ye2)|1知点B(2,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1.则b=(2,1),|b|=2.又由|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,0),解得x0=1,y0=2.