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1、几类二阶变系数常微分方程解法论文 二阶变系数常微分方程几种解法的探讨 胡博 （111114109） （湖北工程学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。 关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordina
2、ry differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract: Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general sol
3、ution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there is no general solution. This paper mainly explores the ordinary differential equation with variable coefficients of order two, the use of special solutions,
4、variation of constants, variable transform method to extract some two order linear differential equation with variable coefficients of the general solution, and summarizes the two basic methods for solving the second-order linear equations with variable coefficients and steps. Key words: Two order v
5、ariable coefficient linear differential equations; transformation; general solution; special solution 0 引言 二阶变系数常微分方程y+p x y+q x y=0及其特征值问题是求解数学物理方程的基础。可见二阶变系数常微分方程在物理学中应用是非常广泛的。但一般二阶变系数微分方程的求解比较困难，至今仍没有通用解法，因此探讨二阶变系数微分方程的解法是非常有必要的。本文主要利用特解、常系数变法、变量变换等方法来求解某些二阶变系数微分方程的通解，给我们在日后求解二阶变系数微分方程的过程提供了方便。 1
6、 具有特定结构的二阶变系数常微分方程 二阶变系数齐次线性微分方程：f x y+p x y+q x y=0 1.1 ， (其中f x ,p x ,q x 为连续函数)。 1.1 满足条件? ? ?+? ? ?+? ? =?,r为常数类型时，方程 1.1 的通解 在求 1.1 通解前，我们先求二阶常系数齐次线性方程 ay+by+cy=0 其中a,b,c为常数且a0 1.1.1 由线性微分方程通解结构定理【1】知，若y1 x ,y2 x 是 1.1.1 的两个线性无关的特解，则其通解为y=c1y1 x +c2y2 x . 假设y=erx是方程是方程 1.2 的一个特解，则讨论r满足的条件 对y=er
7、x两边求导得： y=rerx,y=r2erx 将其代入方程 1.2 得： ar2+br+c erx=0, 由于erx0，则可知ar2+br+c=0 1.1.2 当r为 1.3 的一个解时，y=erx必为 1.2 的解 由此很容易求出方程 1.2 的通解。 对比方程 1.1 ， 1.1.1 ，易知其结构类似，且方程 1.1.1 是 1.1 的特殊形式。所以我们类比上述求解常系数方程的方法，猜想假设 1.1 有一个特解y=erx， 将y=erx，y=rerx,y=r2erx代入方程 1.1 得： ? ? ?+? ? ?+? ? erx =0 其中显然erx0，则有： ? ? ?+? ? ?+? ?
8、 erx=0 1.1.3 此时若对? ? ，? ? ，? ? 存在常数r使得 1.1.3 对一切x恒成立，则方程 1.1 有一特解y1=erx,此时要想求出方程 1.1 的通解，还需要找出另一个特解y2，且y1，y2是线性无关的。 联想到常数变易法，易想到假设y2=u x erx也是方程 1.1 的一特解， 则y2= u x +ru x erx, y2= u x +2ru x +r2u x erx 将y2，y2， y2代入方程 1.1 得： f x u x + 2rf x +p x u x + f x r2+p x r+q x u x =0 由于f x r2+p x r+q x =0 ? f
9、x u x + 2rf x +p x u x =0 1.1.4 令h x =u x ,则h x =u x ,将方程 1.5 降为一阶线性 ?1p x dh x = ?2r?dx ?h x = 即得出dx=h x = 解得u x =du?2rx? e p x p x p x ?2rx? e?2rx? edx rx即得出方程 1.1 另一特解y2=u x e 由于y=1=erx?2rx? ep x dx， y2?2rx? ep x dx，显然y1，y2是线性无关的， 最终得出方程 1.1 的通解为： y=c1y1 x +c2y2 x = c1+c2 结论（1）：二阶变系数齐次线性微分方程f x y
10、+p x y+q x y=0，满足条件? ? ?+? ? ?+? ? =? ，r为常数情况下，方程的通解为 y= c1+c2p x ?2rx? dx e?2rx? dxfx ep x dx erx dx erx,其中c1，c2为常数 例1 求方程xy?2 x+1 y+4y=0的通解 解：由题可知f x =x,p x =?2x?2? ? =?, 则由f x r2+p x r+q x =0 ?xr2?2 x+1 r+4=0 ? r?2 rx?2 =0 因为r为常数，所以易得r=2， 则原方程的一个特解为：y1=e2x 假设原方程另一特解y2=u x e2x,( u x 不为常数) 则有y2= u
11、x +2u x e2x y2= u x +4u x +4u x e2x 将y2，y2，y2代入原方程得： x u x +4u x +4u x e2x?2 x+1 u x +2u x e2x+4u x e2x=0 整理得：uu x x =?2+x 112 解得u x =?2 x2+x+2 e?2x 即y2 x = u x e2x=?2 x2+x+2 显然y1=e2xy2 x = u x e2x=?2 x2+x+2，是线性无关的 故原方程通解为： y=c1e2x1111121? x+x+ 1.2 满足条件? ? ? ? +? ? ? ? +? ? ?+? ? =?,r ? 为连续可导函数，方程 1
12、.1 的通解 要求方程 1.1 的通解同上，主要是要求出方程 1.1 的两个线性无关的特解，类比1.1的求法，猜想方程 1.1 由一特解y=e r x dx, 则y=r x e r x dx,y=r x e r x dx+r2 x e r x dx 将y，y，y代入方程 1.1 f x y+p x y+q x y=0中得： e r x dx f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0 由于e r x dx0，故有f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0 1.2.1 此时若对已知f x ，p x ，q x 而言存在函数r x 能使 2.1 式恒成立， 则
13、可知方程 1.1 必有一特解y1=e r x dx 由常数变易法可设方程 1.1 的另一特解 y2=v x e r x dx,( v x 为非常数，且y1，y2线性无关) 将y2=v x e r x dx代入方程 1.1 ，整理可得： f x v x + 2f x r x +p x v x + f x r x +f x r2 x +p x r+q x v x =0 由 2.1 式知f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0， 故有：f x v x + 2f x r x +p x v x =0 也成立 1.2.2 方程 2.2 不含v x 项，则可降为一阶线性方程， 令v x
14、 =g x ,则方程 1.2.2 可化为： f x g x + 2f x r x +p x g x =0 ?g x = 即得出vx =g x =e ?v x = e 故y2=? ? 2f x r x +p x ? e 2f x r x +p x ， 2f x r x +p x dx ? 2f x r x +p x dxv x e r x dx=e r x dx? edx 因此方程 1.1 的通解为 y=c1y1 x +c2y2 x =e r x dx c1+c2 e 结论2：二阶变系数齐次微分方程 1.1 满足条件f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0，则其通解为y=e
15、 r x dx? 2f x r x +p x dx c1+c2 e? 2f x r x +p x dxdx 例2：求y?2sinxy? cosx?sin2 x y=0的通解 解：由题知f x =1,p x =?2sinx,q x =?cosx+sin2 x 则得出： r x +r2 x ?2sinxr x ?cosx+sin2 x =0 r x ?cosx+ y?sinx 2=0 易得r x =sinx, 则由结论2得原方程通解为： y=e sinxdx c1 e? 2sinx?2sinx dxdx+c2 =e?cosx c1x+c2 1.3 满足条件? ? ? ? +? ? ? ? +? ?
16、 ?+? ? =?,的非齐次变系数常微分方程? ? ?+? ? ?+? ? ?=? ? 1.3.1 的通解 前面1.1、1.2都是讨论的齐次变系数微分方程，而1.3是对应的非齐次微分方程，故可用常数表变易法求解方程由齐次方程方程 1.3.1 。 由?.?知方程 1.1 的特解y=e r x dx，可用常数变易法将其变换为： y=c x e r x dx 1.3.2 将 1.3.2 代入方程 1.3.1 ，化简整理得： f x c x + 2f x r x +p x c x + f x r x +f x r2 x +p x r+q x c x =g x e ?r x dx 由于r x 满足 1.
17、2.1 式f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0， 故有 f x c x + 2f x r x +p x c x =g x e ?r x dx 整理得： c 即可解出： 2f x r x +p x g x ?r x dx 2f x r x +p x dx? dxc x = e?e+c1 ?e+c2 2f x r x +p x g x ?r x dxx +c x =e 故 1.3.1 的通解为： y=c x e r x dx = ?ee r x dx? g x ?r x dx 2f x r x +p x e?e+c1 +c2 2f x r x +p x 结论3 若非齐次变
18、系数常微分方程f x y+p x y+q x y=g x 满足条件f x r x +f x r2 x +p x r+q x =0,r x 为连续可导函数，则其通解为： y=e r x dx2f x r x +p x g x ?r x dx 2f x r x +p x dx? dx e?edx+c1 ?e+c2 例3求方程xy+2 1?x y+ x?2 y=2ex的通解 解：由题知f x =x,p x =2?2x,q x =x?2,g x =2ex 先求出xr x +xr2 x +2 1?x r x +x?2=0 易得：r x =1 则由结论3可知原方程通解为： y=e dx 2exx c1x2
19、x+2?2x2x+2?2xe? dx?e dx+c1 ?e? +c2 即得出：y= x?+c2 ex 2 可化为常系数微分方程的二阶变系数微分方程 一般变系数微分方程并无统一方法求解，但当其满足一定条件下时，可以通过变量替换的方法将二阶变系数常微分方程转化为常系数微分方程，再用我们熟悉的常系数微分方程的求解方法来求其通解。 一般变系数线性微分方程：y x +p x y+q x y=0 2.1 2.1 以自变量?=? ? = ?进行替换 这里令t= x = cqxdx, 则有dx= dtdx cqx 将其代入方程 2.1 整理得： dy +? ? dy1+y=0 2.1.1 要使方程 2.1.1
20、 为常系数线性微分方程，则必有: +? ? =r ,r为常数 此时方程 2.1 可变换为常系数线性微分方程： d2ydy1+r+y=0 结论4 若非零函数q x 在给定区间内有一阶连续导数，则方程 2.1 在满足 +? ? cq x dydyd2ydydt+cq x dtd2y2=r ,r为常数的情况下，可通过变量替换：t= x = dx转换为以t为自变量的常系数线性微分方程： d2ydy1+r+y=0 例4 求变系数微分方程y? x+6x y+8x2y=o， x>? 的解 解：由题知? ? =? x+6x ,q x =8x2, 且 +? ? cq x 11=?3，为常数，则方程可化为常
21、系数微分方程 令c=2时，t=2x1 令t= x = cq x dx= 于是方程可化为： d2ydy?3+2y=0 其特征方程为2?3+2=0 易得1=1，2=2 即其通解为y=c1et+c2e2t, t=2x 代回原式为y=c1e2x+c2e4x 2.2 以变量?=? ? = ? ? ? ?进行变量替换 令t= x = e? p x dxdx， 则dx=e? p x dxdydy x e? p x dx, =?pdtdxd2ydydt+e?2 p x dxd2y dt 将其代入方程 2.1 得： d2y2 p x dx +eqxy=0 2.2.1 要使方程 2.2.1 为常系数线性微分方程，
22、 即有e2 p x dxq x =r,r为常数 ?q x =re?2 p x dx 结论5 若方程 2.1 在满足q x =re?2 p x dx的情况下，可通过变量替换t= x = e? p x dxdx，将其转化成自变量为t的常系数线性微分方程： d2y+ry=0 例5【】 求方程y+ytanx?ycos2x=0的通解 解：由题知p x =tanx,q x =?cos2x 则q x =?cos2x=re?2 p x dx=re?2 tanxdx ?r=?1,是常数，满足条件 于是设t= x = e? p x dxdx= e? tanxdxdx=sinx 则原方程可化为： d2y?y=0 解
23、得其通解为y=c1et+c2e?t 代回原变量得方程通解为： y=c1esinx+c2e?sinx 2,3 通过未知函数?=? ? ?进行线性变换 令y=a x u，则y=a x u+ a x u y=a x u+2a x u+ a x u 将其代入方程 y x +p x y+q x y=f x 得：a x u+ 2a x + p x a x u+ a x +a x p x +a x q x u=f x 2.3.1 要使方程 2.3.1 为常系数线性微分方程，则应该找到合适的a x ，使得u，u，u前面的系数均为常数。 此时令u的系数为零，则有2a x +p x a x =0 即得出a x =
24、e? xp x dx1x0,(其中x0R,可视题目而定) 在代入 2.3.1 得 1x121 p x dxu+ q x ?p x ?p x u=f x ex0 即当I x =q x ?4p2 x ?2p x 为常数时，原方程可变换为常系数线性常微分方程。 结论6 若方程y x +p x y+q x y=f x 的系数p x ，q x 满足I x =q x ?4px ?2p x =r，(r为常数)时，方程在y=e 下可以变化成常系数线性微分方程： u+ru= 221x p x dxf x ex0 2.3.2 1321112 1? xp x dx1x0u的线性变换例6 求方程xy+xy+ x?4y
25、=2xex的通解 解：原方程可变形为： 111?xy+y+ 1? y=2xe 由题知p x =xq x =1?4x 则I x =q x ?4p2 x ?2p x = 1?4x2?4?x2?2 ?x2 =1,是常数 满足条件，则令y=e? u11111111111= 则原方程可化为常系数线性微分方程 u+u=2ex 得出方程通解为： u=c1cosx+c2sinx+ex 其中c1，c2为任意常数 则有y=e? u11=得出原方程得通解为： cosx +c2sinx+exy=c13 二阶变系数线性方程一般求解方法 对二阶变系数线性方程： y+p x y+q x y=f x 3.1 若能求出其齐次方
26、程的一个特解，则可以用常数变易法求出方程 3.1 的通解。但很多情况下我们求不出其特解，下面我们就简要归纳一下二阶变系数方程的一般解题思路。 设方程 3.1 中，p x 一阶连续可导，q x 连续 令 v x +u x =p x , v x +v x u x =q x 则方程 3.1 可变为： y+ v x +u x y+ v x +v x u x y=f x 3.2 d y+v x y ?+u x y+v x y =f x 3.3 令Y=y+v x y，则方程 3.1 可化为： Y+u x Y=f x 3.4 求出其解为： Y=e? u x dx f x e u x dxdx+c1 将其代入
27、 3.3 式，则方程可降阶为： y+v x y=e? u x dx f x e u x dxdx+c1 易得其通解为： y=e? v x dx e v x ?u x dx f x e u x dxdx+c1 dx+c2 3.5 故原方程y+p x y+q x y=f x 的通解公式为： y=e? v x dx e v x ?u x dx f x e u x dxdx+c1 dx+c2 归纳二阶变系数微分方程一般求解步骤为： 1. 首先需要构造出 v x +u x =p x v x +v x u x =q x 2. 需要求解计算出v x ，u x 3. 将结果代入通解公式 3.5 例7 求微分方程y+ a+p x y+ap x y=0的通解 v x +u x =a+p x 解：由题知要满足 v x +v x u x =a?p x 易得出v x =a, u x =p x 则代入 3.5 得出原方程通解为： y=e?ax c1 e a?p x dxdx+c2