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1、利用并行子空间优化方法实现复杂工程系统并行设计优化利用并行子空间优化方法实现复杂工程系统并行设计优化 张科施，李为吉，宋文萍 （西北工业大学 航空学院，陕西 西安 710072） 摘 要：介绍了应用于航空航天领域内复杂系统设计的一种基于全局敏度方程的并行子空间优化算法，分析了算法的计算结构和参数设置，根据其收敛过程振荡和收敛早熟问题，发展了折衷系数的优化规律替代法和自适应累积约束参数法，提高了算法的收敛性能。算例表明改进后算法收敛性能有很大提高。将该算法用于某通用航空飞机的概念设计，考虑气动、重量和性能三个学科，很好的解决了各学科间复杂耦合带来的计算困难，证实了本文算法的有效性。 关键词：飞机
2、设计；工程优化；多学科设计优化；并行子空间优化；全局敏度方程 中图分类号：V221 文献标识码：A 在航空航天领域，设计对象十分复杂，对这种复杂对象进行设计的数学描述将是一个极其庞大的非线性优化问题，如通常情况下飞行器的总体设计就涉及到气动、结构、推进、控制、性能等诸多学科的知识，其中各学科自身已形成完整的知识体系，分析方法日益复杂。此外，由于各学科包含大量的设计变量、性能状态变量、约束方程，学科间相互耦合，各设计目标对设计变量的要求相互矛盾，子系统设计分析可能是由不同领域的专家甚至在不同地点来操作运行的。如果将所有各学科知识都集中在一个优化过程，可以想见该优化问题是何等复杂，解决这样一个复杂
3、优化问题在计算量上和信息组织上都是困难的。 近年来，针对复杂工程系统设计优化问题的多学科设计优化（Multidisciplinary Design Optimization, MDO）在航空航天领域日益受到重视1,2。并行子空间优化算法（Concurrent Subspace Optimization, CSSO）是一种有效的分布式MDO方法，算法结构与现有工程设计分工的组织形式相一致。它将原复杂的设计优化问题分解为几个相对简单的学科级优化子问题，学科级并行优化，所需其他学科的状态变量信息通过近似分析模型来获取，系统级对各学科优化结果进行协调。这个过程迭代进行最终获得一个好的设计方案。在几种C
4、SSO算法中，基于全局敏度方程的CSSO算法（Global Sensitivity Equation Based CSSO, GSECSSO）3能更好的适应复杂工程系统多变量多约束的特点：减少约束个数，由于学科间设计向量不相交，因而可以降低设计变量维度，在连续/离散变量优化4和多学科多目标优化5-7方面具有很好的扩展性，但收敛性能较差8。 本文分析了GSECSSO算法的算法结构，针对其收敛振荡问题，发展了折衷系数的优化规律替代法；针对其收敛早熟问题，发展了自适应累积约束参数的方法，对GSECSSO算法进行了改进。齿轮箱优化算例表明算法改进后收敛稳定性大大提高。将本文算法用于某通用航空飞机的概念
5、设计，考虑气动、重量和性能三个学科，很好的解决了各学科间复杂耦合带来的计算困难，证明了本文算法的有效性。 1 基于全局敏度方程的CSSO算法的计算结构 鉴于国内尚未见公开发表关于GSECSSO算法研究的文章，本节将对其数学模型和基本原理加以论述。 系统分析计算量大、信息交流复杂是大型工程系统优化设计的主要困难之一，多学科设计优化通过分解和近似等方式减少系统分析次数，从而降低大型复杂系统的优化设计难度。对GSECSSO算法来说，这主要体现在两个方面：(1)将优化问题按学科分解，各学科优化中所需其他学科信息通过近似分析模型来求解；(2)全局敏度方程作为一种求解耦合状态变量对设计变量的敏度的分析工具
6、，与传统的有限差分法相比，可有效降低系统分析的次数，详见参考文献9。 GSECSSO算法是一种两级优化算法，优化问题的分解可以按照飞机设计中的气动、结构、推进等 学科进行，也可以按照机翼、机身、尾翼等部件进行。为方便说明，假设一个飞机多学科设计优化问题描述如下： ( )( )( )( )( )12221121221121,s.t.,MinYXYYXY0YYXG0YYXGYYXffF= (1) 式中， F ：目标函数，如飞机结构重量； X ： NV21 , xxx ; ，设计向量； 1Y 、 2Y ：分别为气动和结构学科耦合状态向量， , 1NY,112111 yyy ;=Y ， , 2NY,2
7、22212 yyy ;=Y ； 1f 、 2f ：分别为气动和结构学科分析； 1G 、 2G ：分别为气动和结构学科专家提出的约束条件， , 1NG,112111 ggg ;=G ， 22212 , gg=G , 2NG,2g; 。 GSECSSO算法的优化思想是：将原问题分解为若干学科级优化问题和一个系统级优化问题；各学科设计变量不相交，以协调系数来协调各学科优化以满足约束和最小化目标函数；学科级优化完成后将各自的设计变量最优解组合起来，作为本轮最优设计方案 *X ，并将其返回给系统级；系统级以协调系数为设计变量执行优化，得到在 *X 点更合适的协调系数提供给学科级；并对 *X 进行系统分析
8、和敏度分析，将这些信息提供给学科级，作为更新学科级线性近似分析模型的信息。学科级以 *X 点更新初始点 0X ，重新执行优化。如此反复迭代，直到系统优化收敛。 按照GSECSSO算法思想，原优化问题分解为式(2)的气动学科优化问题、式(3)的结构学科优化问题和式(4)的系统级优化问题： ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )211121221202121111110121111?,11?11?,s.t.?MinYXYXYYXXftsrsCCtsrsCCF=?+?+? (2) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )12222222220
9、221221211210121212?,11,?,11?s.t.,?,MinYXYYYXXYYXftsrsCCtsrsCCF=?+?+? (3) 式中， 1X 、 2X ：分别为两个学科优化问题的设计向量， NV11 RX ， NV22 RX ，NV1+NV2=NV，= 21 XX ； 1C 、 2C ：分别将气动学科提供的约束条件 1G 和结构学科提供的约束条件 2G 构造为一个累积约束： ( ) ( )( )? ?+= =NG11max11max11 gexpln1jj ggC ( ) ( )( )? ?+= =NG21max22max22 gexpln1jj ggC 其中， max1g
10、、 max2g 分别为 1G 、 2G 的最大值， 为累积约束（KS 累积函数）参数， >0。累积约束主要起减少约束个数的作用，它有近似最大约束的特性，即分别逼近 max1g 、 max2g ， 越大，累积约束越逼近约束边界。 01C 和 02C 分别为 C1和 C2在本轮学科级优化初始点 0X 处的值； pkr 、 pkt 、sp：分别为责任系数、折衷系数和开关系数，统称为协调系数。 pkr 代表了分配到第 k 个学科优化中满足累积约束 Cp 的“责任”，各学科对累积约束 Cp 的“责任”和为 1，即 121 =+ pp rr ； pkt 代表了当满足约束 Cp 后（即 Cp0），允许
11、 Cp 在第 k 个学科中有一定程度违背（即 Cp>0）的权利，各学科对 Cp 违背程度之和为 0，即 021 =+ pp tt ；sp =0 或 1，当 Cp>0 时，使 pkr 起作用， pkt 不起作用；当 Cp0 时，则使 pkt 起作用， pkr 不起作用。 ：标识对应量是采用线性近似函数求得的。从物理意义上属于本学科的累积约束和状态变量采用精确 分析求解，其余的则采用线性近似模型。其中耦合状态变量的敏度采用全局敏度方程求得。 ( )2,1,11,100,1.s.t,Min212121212121*=?=+= = = = =kptrtrtdtdFrdrdFFFpkpkkp
12、kkpkp kpkpkp kpkpkXXXXtr (4) 式中， *F 为 F 在本轮学科级优化最优点 *X 处的值； *XX =pkdrdF 和*XX =pkdtdF 分别为 F 在最优点 *X 处关于 pkr 和 pkt 的最优敏度10。 2 基于全局敏度方程的CSSO算法的改进 2.1 算法的收敛振荡问题分析及改进 研究发现，GSECSSO 算法一定程度上存在迭代过程振荡甚至不收敛的现象，而折衷系数是引起这一问题的一个重要原因。 折衷系数的作用是，在约束满足后以约束一定程度违背的代价换取目标函数的进一步改善。在研究中我们发现，折衷系数取值不当，将大大减缓优化收敛速度，甚至导致优化振荡和不
13、收敛。而根据优化中目标函数与约束条件互为反作用的机理（即在约束不满足时，约束的违背减小并逐渐达到约束边界通常是以目标函数的增大为代价的；而在约束满足时，目标函数的改善又会引起约束违背的增大并接近约束边界，甚至超出约束边界），因此即使不设置折衷系数，各学科优化也会在约束条件满足后，增大约束值以减小目标函数值。 基于以上分析，本文指出优化规律本身就涵盖了折衷系数的作用，在改进的算法中不再采用折衷系数，将使收敛性能更加稳定。 2.2 算法的早熟问题分析及改进 研究发现，GSECSSO 算法可能在未达到最优点时就收敛了，即发生早熟现象，而累积约束参数 设置不当一定程度上导致了该现象的发生。 对累积约束
14、的影响如图 1 所示， 决定了累积约束对约束边界的逼近程度。对于约束边界和目标函数为单峰函数的情况，优化问题不存在局部最优解，这时直接给出一个较大的 值构造累积约束所求解的优化结果并不一定比逐步增大 值的方式差。但对于约束边界或目标函数为多峰函数的情况，直接使累积约束非常逼近约束边界很可能使优化问题陷入局部最优。 ( )Xmaxg( ) ( ) NGlnmax +Xg( )( )XgKS 较宽 ( )Xmaxg( ) ( ) NGlnmax +Xg( )( )XgKS 较窄 (1) 较小 (2) 较大 图1 二维KS累积函数示意图 Fig. 1 KS Cumulative Function E
15、xpressed in Dim-2 另外， 值也并非越大越好，由于在某一学科优化中，本学科累积约束采用精确分析计算求得，而其他学科均采用线性近似，在优化初始阶段，设计点距离最优点较远，此时采用较大的 值可能使 设计趋向一个错误的约束位置，造成优化振荡。 根据以上分析，本文提出自适应累积约束参数法。将累积约束参数 设为一个可变量：给 设定一个较小的初值，随着迭代的进行，逐渐增加 。这样做的原因是： 初值较小能使优化找到一个合适的初始搜索方向，随着优化的进行，设计点逐渐接近最优点， 逐渐增大可以使主动约束逐渐主导累积约束，从而使优化沿最有效的搜索方向进行搜索，使优化找到全局最优解。 2.3 责任系
16、数更新方式的改进 责任系数是 GSECSSO 算法的一个重要参数。由于各学科设计变量不相交，本学科只能改变自己学科的设计变量，因而减小累积约束违背程度的能力有限。责任系数对满足累积约束的“责任”进行分配，使得任何学科都不需要将累积约束的违背程度直接减少到 0，如：假设气动学科满足 C1 的责任为 0.6，结构学科为 0.4，当前 01C =5，那么在气动学科的对应累积约束为 C1 2，即减小累积约束违背程度的 3/5，结构学科为 C1 3，减小累积约束违背程度的 2/5。 从责任系数的作用不难看出，满足累计约束 Cp 的“责任”应当由该学科设计变量的变化对 Cp 的影响大小来决定，影响大，则应
17、该分配更大的“责任”，即责任系数大，反之，则责任系数小。GSECSSO 算法对责任系数的初始化正是采用了这样的方式，利用第 1 轮学科级优化初始点处累积约束对各学科设计变量的敏度计算责任系数11。根据以上分析，在改进的 GSECSSO 算法中，利用每轮学科级优化最优解 *X 处累积约束对各学科设计变量的敏度，对责任系数进行实时更新。由于上一轮学科级最优解 *X 总是在下一轮学科级优化中作为初始点 0X ，而优化则在 0X 的邻域内基于线性近似模型完成，因而这样的责任系数更新方式可以较为准确和实时地反映出各学科优化对累积约束的影响程度。因此，在改进的 GSECSSO 算法中不需要通过系统级优化来
18、更新责任系数，从而不需要进行繁琐的最优敏度分析过程。 2.4 改进的GSECSSO算法的优化思想及数学模型 根据 2.1 节、2.2 节和 2.3 节的分析，对式(1)的优化问题，建立改进的 GSECSSO 算法的气动学科和结构学科优化模型如下： ( )( ) ( )( ) ( )( )2111210212110121111?,1?1?,s.t.?MinYXYXYYXXfrCCrCCF=? (5) ( )( ) ( )( ) ( )( )122222022122120121212?,1,?,1?s.t.,?,MinYXYYYXXYYXfrCCrCCF=? (6) 式中各物理量含义与式(2)和(
19、3)对应相同。 学科级优化完成后，系统级对气动学科和结构学科优化设计进行协调，协调过程如下： (1) 将各学科优化结果 *1X 、 *2X 组合为下一轮学科级优化初始点 0X ； (2) 将 0X 带入系统分析模型迭代求解 01Y 和 02Y (3) 由 0X 、 01Y 、 02Y 分析得到 0F 、 01C 、 02C 和 03C (4) 分析 0X 处各累积约束和状态变量的敏度 0XXddF ，01XXddC ，02XXddC ，01XXYdd ，02XXYdd (5) 利用累积约束关于设计向量的敏度更新责任系数 r ，并利用以上敏度信息构造学科级优化中目标函数和累积约束的近似模型。 改
20、进的GSECSSO算法的优化思想是：将原问题分解为若干学科级优化问题和一个系统级协调问题； /.paper.edu 各学科设计变量不相交，学科级优化完成后将各自的设计变量最优解组合起来，作为本轮最优设计方案*X ，并将其返回给系统级；系统级对 *X 进行系统分析和敏度分析，将这些信息提供给学科级，作为更新责任系数和学科级线性近似分析模型的信息。学科级以 *X 点更新初始点 0X ，重新执行优化。如此反复迭代，直到系统优化收敛。其优化过程如图2所示。 给定初始设计点确定目标函数、约束条件、设计变量、设计空间，并将优化问题按学科进行分解0Y采用全局敏度方程进行敏度分析 用 更新是否 收敛否？优化结
21、束 0 X0X计算责任系数0Xr0X更新目标函数F 及各学科累积约束，更新F 和对设计变量的敏度更新r*X*X学科级优化模块气动学科优化系统分析模块气动学科分析模块结构学科分析模块1Y2Y气动学科分析模块结构学科分析模块结构学科优化 图2 改进的GSECSSO算法优化框架 Fig. 2 Flowchart of the Improved GSECSSO 3 算例及结果分析 本节给出了两个算例。齿轮箱优化算例证明算法改进后收敛稳定性大大提高，证明了本文算法的正确性。将该算法用于某通用航空飞机的概念设计，考虑气动、重量和性能三个学科，很好的解决了各学科间复杂耦合带来的计算困难，验证了本文算法的有效
22、性和工程实用性。 3.1 齿轮箱优化算例 对图 3 的齿轮箱结构进行优化设计，设计目标是使齿轮箱的重量最轻，并满足齿的弯曲和接触应力以及轴的扭转变形和应力等要求。该问题的优化模型如式(7)所示。 x5x7 x6x4轴1轴2轴承1轴承2 图3 齿轮箱结构 Fig. 3 Structure of a Gear Box /.paper.edu ( )( ) ( )( )( )( )( ) 5.5,0.59.3,9.23.8,3.7,28,178.0,7.06.3,6.201205040019.11.1019.15.1085010575.174510011001069.1745100193.10193
23、.1015.3970127.s.t)0.7854(7.4771.50843.0934-14.93343.33337854.0Min76543211211112110329715861478251312376724131236547351312446341312323221121322111275264373627261323221?=?=?=?+=?+=?+=?+=?=?=?=?=+?+=?xxxxxxxxxgxxgxxgxxgxxgxxxxgxxxxgxxxxgxxxxgxxxgxxxgxxxxxxxxxxxxxf (7) 式中各设计变量及约束的物理意义如下： 1x ：齿宽； 2x ：齿轮模
24、数； 3x ：齿轮齿数； 4x ：轴承 1 之间的距离； 5x ：轴承 2 之间的距离； 6x ：轴 1 的直径； 7x ：轴 2 的直径； 21, gg ：齿的弯曲应力和接触应力约束； 843 , ggg ; ：轴的变形和应力约束以及由经验得到的约束； 11109 , ggg ：齿轮几何约束 将式(7)的优化问题按其物理意义分解为齿轮和轴承两个学科，学科间不存在耦合和权衡关系。分析式(7)，目标函数由两部分组成，即： 21 fff += 式中， 1f 和 2f 分别为齿轮重量和轴承重量，表示为： ( ) ( )272613232211 1.508-43.0934-14.93343.33337
25、854.0 xxxxxxxf += ( ) ( )27526437362 0.78547.477 xxxxxxf += 利用改进的 GSECSSO 算法建立该设计问题的多学科优化模型如下（分别为齿轮学科和轴承学科）： ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1C2Approx21f2Approx221021211011112111sub13211?1?1s.t.?Min,FindXXXXXXXXfCffrCCrCCfffxxx=?+= (8) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2C1Approx12f1Approx122022212012122
26、212sub2?11?s.t.?MinXXXXXXXfCffrCCrCCfff=?+= (9) 式中，标识用近似分析模型求解的量， Approxf 标识线性近似模型， 1C 为 1110921 , ggggg 的累积约束， 2C 为 3g 8g 的累积约束。系统级进行系统分析和敏度分析。 为比较收敛效果，分别采用改进的 GSECSSO 算法和 GSECSSO 算法求解本算例，迭代历史如图4、图 5 所示，优化结果比较见表 1（为了显示原 GSECSSO 算法存在的问题，给出了参数取不同值时的优化结果和迭代历史）。可以看出，当=102 时，优化发生了早熟，而当由 103 增加到 105 时， /
27、.paper.edu 优化迭代次数增加，开始出现振荡并逐渐剧烈，甚至不收敛。而改进的 GSECSSO 算法的收敛过程趋于平稳，收敛性能大大提高。 表1 GSECSSO算法与改进的GSECSSO算法优化结果比较 Table 1 Comparison for optimization results of GSECSSO and the improved GSECSSO 变量名 GSECSSO =102 =103 =104 =105改进的GSECSSO目标函数 f 3019.55 2995.61 2994.47 2617.18 2995.61设计变量 x1 3.5000 3.5 3.5 3.500
28、0 3.5 x2 0.7000 0.7 0.7 0.7000 0.7 x3 17.071 17 17 17.007 17 x4 7.3000 7.3000 7.3000 7.3001 7.3 x5 7.8981 7.7333 7.7171 7.3001 7.7333 x6 3.3696 3.3521 3.3504 3.3502 3.3522 x7 5.2929 5.2873 5.2867 5.8943 5.2872 2 4 6 8 10246 103系统级目标函数值迭代次数 2 4 6 8 10246 103 学科1 学科2学科级目标函数值迭代次数 (1) 系统级迭代历史 (2) 学科级优化迭
29、代历史 (1) Convergence history of system-level optimization (2) Convergence history of discipline-level optimization 图4 改进的GSECSSO算法迭代历史 Fig.4 Convergence history of the improved GSECSSO 1 2 3 4 5 6-6-4-20240 2 4 6 8 10 12 14 16-10-8-6-4-20240 5 10 15 20 25 30-10-8-6-4-20240 20 40 60 80 100-8-6-4-20241
30、03103 103系统级目标函数值迭代次数 =102103系统级目标函数值迭代次数 =103系统级目标函数值迭代次数 =104系统级目标函数值迭代次数 =105 图5 不同参数值对应GSECSSO算法系统级优化迭代历史 Fig.5 Convergence history of system-level optimization of GSECSSO with different parameter 3.2 某通用航空飞机概念设计算例 (1) 设计问题描述及优化模型 设计某正常式布局通用航空飞机（该算例主要公式及数据来自文献12），主要设计要求如表2所示： /.paper.edu 表2 主要设计
31、要求 Table 2 Main design requirements 固定参数/单位 符号 取值 固定参数/单位 符号 取值 机组人数 Np 2 发动机数量 Nen 1 发动机效率 0.85 发动机重量/kg Wen 89.3592 发动机耗油率/ kg/(mkg) c 7.4510-7 最大升力系数 CLmax 1.7 有效载荷/kg Wp 180.5328 最小航程/km Rr 901.23 最大过载 Ns 5.7 失速速度边界/m/s Vsr 21.336 以最小化总重为目标，满足航程和失速速度的要求，即航程必须大于某一允许最小航程，失速速度尽量的小，以获得更好的失速特性。 01V0R
32、1s.t.WMinsrsrpfwedg?+=VR (10) 式中， dgW 为飞机设计总重； eW 为空机重量； fwW 为燃油重量； pW 为有效载荷； R 为航程； rR 为允许最小航程； sV 为失速速度； srV 为失速速度边界。 设计变量如表3所示： 表3 设计变量表 Table 3 Definition of design variables 设计变量单位 符号 下限 上限 展弦比 AR 5 9 机翼面积?m2 Sw 9.29 27.87 机身长度?m fl 6.096 9.144 机身直径?m fd 1.2192 1.524 巡航高度空气密度?kg/m3 c 0.9792 1.1
33、854 巡航速度?m/s cV 60.96 91.44 燃油重量?kg fwW 45.36 181.44 (2) 多学科综合分析及多学科优化模型的建立 分析式(10)的优化设计问题，航程和失速速度属于飞机性能参数，设计总重和空重属于飞机重量参数。按照 Breguet 航程方程，求解航程还需要知道气动学科参数升阻比及重量学科参数飞机总重。重量学科存在总重与空重的耦合关系，且重量计算还和升阻比有关。可见，该设计问题中存在较为复杂的变量之间的耦合关系。按照学科及变量之间的关系将该问题划分为气动、重量和性能三个学科，学科间及学科内部的耦合和权衡关系如图 6 所示： 气动学科重量学科性能学科DLdgW重
34、量学科dgW eW 图6 学科间及学科内耦合与权衡关系图 Fig.6 Dataflow between and in disciplines 利用改进的 GSECSSO 算法建立气动、重量、性能各学科的优化模型如下。各学科只需优化各自的设计向量，所需其他学科信息通过近似分析模型求解，学科级优化完成后将设计向量组合起来，作为本轮迭代最优值返回给系统级进行系统分析和敏度分析，并根据新的敏度信息求解责任系数。系统级将分析结果提供给学科级更新近似模型和累积约束，重新执行学科级优化。如此反复进行，直到前后两次学科级优化结果比较满足收敛要求。各学科级优化可并行实现，有效的解除了学科间耦合。 /.paper
35、.edu ( )( ) ( )( )( )( )( )1cApprox31cApprox231033210221101111WApproxdg32?1?1?1s.t.?MinXXXXfCfCrCCrCCrCCfW=?= (11) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )2L/DApprox2cApprox32cApprox132033220222120112dg/?1?1/?,1?s.t./?,Min32XXXXXfDLfCfCrCCrCDLCrCCDLfW=?= (12) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )3L/DApprox3cApprox23cApprox133
36、033323022130113WApproxdg/?1?,/?,1?1?s.t.?Min32XXXXXfDLfCfCrCWDLCrCCrCCfWdg=?= (13) 式中：fApprox标识线性近似分析模型，标识用近似分析模型求解的量。 (3) 各学科计算模型 考虑到概念设计属于飞机初步设计阶段，为简化问题，各学科分析采用 24 个经验公式所组成的分析模型，气动学科经验公式如式(14)(16)所示，性能学科的经验公式如式(17)、(18)所示，文献13还给出了飞机重量估算的 19 个经验公式，这里不再一一列出。 ( )wwfusewet 2.032 SSSS += (14) fffuse dlS = (15) ? ?+= 10.40.10wwet SSARDL (16) ?= fuelcruisedgdglnWWWcDLR (17) Lmaxwcdgs2CSWV = (18) 式中， fuseS 为机身浸湿面积， wet