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1、高一下学期数学模拟小测验（一） 第 1 页（共 1 页） 绝密启用前绝密启用前 擎云级实验班擎云级实验班高一高一下学期下学期数学数学模拟模拟小测验小测验（一）（一） （试卷满分：（试卷满分：100+10 分，考试时间：分，考试时间：90 分钟）分钟） 一、一、填空题填空题：本题共：本题共 20 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 100 分分。 1. 计算 sin220 + cos280 + 3cos70cos80 = 2. 已知 1 2+ 1 2= 1，则 2+ 2= 3. 已知 ( 2 , 2)，则关于 的方程 4sin 9 + tan = 3 的解为 = 4. 已知 sin +
2、sin = 1 3，则 sin cos 2 的取值范围为 5. 函数 () = sin23sin+3 2sin 的取值范围为 6. 函数 () = tan2tan 1cos2 1+cos2 , ( 4 , 2) 的最大值为 7. 函数 () = 5sin2 2sin 5cos, (0, 2) 的最大值为 8. 在 中， = cos( + )，则 tan 的最大值为 9. 在 中， = 3, = 3，则 + 2 的最大值为 10. 在 中，3cos = cos + cos, = 2，则其面积为 11. 在 中， 5( + )( ) = (5 6), sin = cos + cos， 则 tan
3、= 12. 在 中， cossinsin + sincossin = 2sinsincos， 则 的最大值为 13. 在 中， = 3, cos + ( + 3)cos = (2 + 6)cos， 则 + 的最大值为 14. 在 中， = 3, sin + sin = 26sinsin, (2 )cos = 3cos， 则其面积为 15. 在 中， 为 的角平分线， = 1, 1 + 1 = 2，则 的取值范围为 16. 在 中， 为 的角平分线， = 2, = 1，则当 最小时 = 17. 在 中， 为 的中线， = 2 = 2, sin = tan， 则 = 18. 在锐角 中， = 2,
4、 3tantan = tan + tan + 3， 则 2+ 2 的取值范围为 19. 在钝角 中，sin2(2sin 1) + sin2 = sin2，则 sin( ) = 20. 在平面四边形 中， = 2, = 4, = 5, = 3，则其面积最大值为 二二、附加题附加题：本题共：本题共 1 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 10 分。分。 21. 求证：, +, 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2+ 2+ 3( + + ) 高一下学期数学模拟小测验（一）试题解析 第 1 页（共 4 页） 绝密启用前绝密启用前 擎云级实验班擎云级实验班高一高一下学期下学期数学数学模拟模拟小测
5、验小测验（一）（一）试题解析试题解析 一、一、填空题填空题：本题共：本题共 20 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 100 分分。 1. 计算 sin220 + cos280 + 3cos70cos80 = 解：原式 = 1 2 (1 cos40) + 1 2(1 + cos160) + 3sin20cos80 = 1 + 1 2 (cos160 cos40) + 3sin20cos80 = 1 3 2 sin100 + 3sin20cos80 = 1 3 2 (cos80sin20 + sin80cos20 2cos80sin20) = 1 3 2 sin(80 20) = 1 4
6、 2. 已知 1 2+ 1 2= 1，则 2+ 2= 解： 1 2,1 2 有意义， , 1,1 设 = sin, = sin，其中 , 2 , 2 sin2 + cos2 = sin2 + cos2 = 1， 那么 sin( + ) = sincos + cossin = 1 2+ 1 2= 1，解得 + = 2 2+ 2= sin2 + sin2 = sin2 + cos2 = 1 3. 已知 ( 2 , 2)，则关于 的方程 4sin 9 + tan = 3 的解为 = 解： 4sin 9 + tan = 3， tan = 3 4sin20 = 3cos202sin40 cos20 ta
7、n = 3cos202sin(6020) cos20 = 3cos203cos20+sin20 cos20 = tan20 ( 2 , 2)， = 9 4. 已知 sin + sin = 1 3，则 sin cos 2 的取值范围为 解： sin,sin 1,1， sin = 1 3 sin 1,1 2 3, 4 3 = 2 3,1 sin cos2 = (1 3 sin) (1 sin2) = (sin 1 2) 2 11 12 11 12, 4 9 5. 函数 () = sin23sin+3 2sin 的取值范围为 高一下学期数学模拟小测验（一）试题解析 第 2 页（共 4 页） 解： (
8、) = (sin 22sin)+(2sin)+1 2sin = (2 sin)+ 1 2sin 1 sin 1,1， 2 sin 1,3， () 1, 7 3 6. 函数 () = tan2tan 1cos2 1+cos2 , ( 4 , 2) 的最大值为 解：() = 2tan 1tan2 tan tan2 = 2tan4 1tan2 = 2 ( 1 tan2 1 2) 2 1 4 2 1 4 = 8 7. 函数 () = 5sin2 2sin 5cos, (0, 2) 的最大值为 解：() = 10sincos 2sin 5cos + 1 1 = (2sin 1)(5cos 1) 1 由均
9、值不等式得 (2sin 1) + (5cos 1) 2(2sin 1)(5cos 1) 由辅助角公式得 (2sin + 5cos)2= (4 + 252)sin2( + arctan 5 2 ) 252+ 4 两等式成立条件为 (2sin 1) = (5cos 1) tan = 2 5 ，解得 = 3 10 代入得 (2sin 1)(5cos 1) 6 5， () 1 5 8. 在 中， = cos( + )，则 tan 的最大值为 解： = cos( + ) = cos = 2+22 2 ， 2= 1 3 ( 2 2) 由余弦定理得 cos = 2+22 2 = 22+2 3 22 3 ta
10、n = 1cos2 cos 2 4 9. 在 中， = 3, = 3，则 + 2 的最大值为 解：由正弦定理得 sin = sin = sin， + 2 = 4sin + 2sin( 2 3 ) = 5sin + 3cos 27 10. 在 中，3cos = cos + cos, = 2，则其面积为 解： 3cos = cos + cos， 由正弦定理得 3sincos = sincos + cossin = sin( + ) = sin cos = 1 3 sin = 1 cos 2 = 22 3 = cos( ) = 1 3 = 2， = 6 = 1 2sin = 22 11. 在 中，
11、5( + )( ) = (5 6), sin = cos + cos， 则 tan = 解： 5( + )( ) = (5 6)， 由余弦定理得 cos = 2+22 2 = 3 5 sin = 1 cos 2 = 4 5 sin = cos + cos， 由正弦定理得 sinsin = sincos + cossin tan = sin cos = sin sincos = 4 高一下学期数学模拟小测验（一）试题解析 第 3 页（共 4 页） 12. 在 中， cossinsin + sincossin = 2sinsincos， 则 的最大值为 解： cossinsin + sincoss
12、in = 2sinsincos， 由正、余弦定理得 2+22 2 + 2+22 2 = 2 2+22 2 2= 1 2 ( 2 + 2) cos = 2+22 2 = 2+2 4 1 2 = 3 13. 在 中， = 3, cos + ( + 3)cos = (2 + 6)cos， 则 + 的最大值为 解： cos + ( + 3)cos = (2 + 6)cos , = 3， 由正弦定理得 2(sin + sin)cos = sin( + ) + sin( + ) = sin + sin cos = 1 2 由余弦定理得 2= 2+ 2 2cos = 9 ( + )2= 3 + 9 3 4
13、( + )2+ 9 ( + )2 36即 ( + )= 6 14. 在 中， = 3, sin + sin = 26sinsin, (2 )cos = 3cos， 则其面积为 解： (2 )cos = 3cos, = 3， 由余弦定理得 cos = 1 2 sin = 1 cos 2 = 3 2 sin + sin = 26sinsin， (sin + sin)sin = 32sinsin 由正弦定理得 + = 2 由余弦定理得 2= 2+ 2 2cos = ( + )2 3 = 9 解得 = 3 = 1 2sin = 33 4 15. 在 中， 为 的角平分线， = 1, 1 + 1 = 2
14、，则 的取值范围为 解：设 = , = = 由余弦定理得 2= 2+ 2 2cos = ( + )2 4cos2 = 1 又 = 1 2sin2 = 1 2sin + 1 2sin, 1 + 1 = 2， = 2 + cos = cos2 = (+) 21 4 = 1 4 0,1) 3 2 ,+) = 3 2 ,1) 16. 在 中， 为 的角平分线， = 2, = 1，则当 最小时 = 解：设 = 2 = 2由余弦定理得 2= 2+ 2 2cos = 52 42cos 又 = 1 2 2sin = 2sin， 2sin + 4cos = 5 由辅助角公式得 2sin + 4cos = 5 4
15、+ 16 = 3 此时 = 15 3 , sin = 3 5, sin 2 = 10 10 又 = 1 2 sin 2 + 1 2 sin 2 = 6 4 = 1， = 10 2 高一下学期数学模拟小测验（一）试题解析 第 4 页（共 4 页） 17. 在 中， 为 的中线， = 2 = 2, sin = tan， 则 = 解：设 = , = ，则 = + 为 的中线， = 1 2 sin = 1 2 sin 2sin = sin sin( + ) = tan， 2sin = cossin( + ) sin( + ) = 2cos( + )tan 又 sin( + ) = tan， cos =
16、 cos( + ) = 1 2 由余弦定理得 = 2+ 2 2 cos = 3 18. 在锐角 中， = 2, 3tantan = tan + tan + 3， 则 2+ 2 的取值范围为 解： 3tantan = tan + tan + 3， tan = tan( + ) = tan+tan tantan1 = 3 = 3 又 是锐角三角形， , (0, 2) ( 6 , 2) 由正弦定理得 sin = sin = sin = 43 3 ， = 43 3 sin, = 43 3 sin 2+ 2= 16 3 (sin2 + sin2) = 16 3 8 3 (cos2 + cos2) = 1
17、6 3 + 8 3sin(2 6) ( 20 3 ,8 19. 在钝角 中，sin2(2sin 1) + sin2 = sin2，则 sin( ) = 解： sin2(2sin 1) + sin2 = sin2， 由正、余弦定理得 sin = sin2+sin2sin2 2sinsin = 2+22 2 = cos = sin( 2 ) + = 2 或 = 2又 是钝角三角形， = 2 sin( ) = 1 20. 在平面四边形 中， = 2, = 4, = 5, = 3，则其面积最大值为 解：由余弦定理得 2+ 2 2 cos = 2+ 2 2 cos 15cos 8cos = 7 = 1
18、2 sin + 1 2 sin = 4sin + 15 2 sin = 215 15cos( + ) 230 二二、附加题附加题：本题共：本题共 1 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 10 分。分。 21. 求证：, +, 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2+ 2+ 3( + + ) 解： 构造 满足在其形内存在一点 ， 使得 = , = , = , = = = 2 3 由余弦定理得 = 2+ 2+ 设 = , = 由正弦定理得 2+2+ sin120 = + sin+sin = + 2sin 6cos 2 + 2+ 2+ 3 2 ( + )同理得 2+ 2+ 3 2 ( + ), 2+ 2+ 3 2 ( + ) 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2+ 2+ 3( + + )