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1、2020USMCA 超级组 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源: http:/www.usmath.org/championship 在每年 1 月份的在线资格赛之后, 有 36 支队伍可以参加当 年 5 月份的 USMCA 正赛. 前 12 支队伍为超级组, 做 8 道大 题. 另外24支队伍为挑战组, 做30道小题. 考试时间均为3 小时. 1. 已知 P 为无限大棋盘上有限个方块组成的集合. 智多星 发现, 可以用若干个 1 2 的骨牌将 P 覆盖, 神算子发现, 也 可以用若干个2 1的骨牌将P覆盖. 当然, 这些骨牌都不能 旋转. 证明: P 的面积是 4 的倍数. 2. 锐角ABC
2、 内接于圆, D 为劣弧BC的中点. 过 D 作 AC, AB 的垂线, 与分别交于点 E, F. 设直线 BE 与 DF 交于点 G, 直线 CF 与 DE 交于点 H. 证明: BCHG 为平行四边形. 3. 若整系数多项式( )f x的任意 3 个系数都可以成为某个三 角形的三条边长, 就称这个多项式为三角多项式. 例如, 32 ( )3465f xxxx是三角多项式, 而 32 ( )3365f xxxx则不是. 若( )f x是一个次数为 20 次 的三角多项式, 且20 是它的一个根, 求(1)f的最小值. 4. 设 n1 为奇数, 且满足 1 2 |(21) n n . n 是否
3、一定是素数? 证明你的结论. 5. 神算子和智多星在一个由 n 个顶点构成的完全图上玩游 戏. 在每回合中, 每个玩家可以移除任意一条边, 或者移除 任意一个顶点. 特别地, 当一个顶点被移除时, 与之相连的 边自动消失. 智多星先开始游戏. 移除最后一个顶点的玩家 获胜. 当 n 为何值时, 智多星有必胜策略? 6. 设P为一个整系数非常数多项式. 若n为一个方幂数, 则 P(n)也为方幂数. 证明: 要么 P(x)x, 要么 P 为一个多项式 的 k 次幂. 其中 k 为大于 2 的正整数. 注: 方幂数指, ,2 k nxxkk. 7. 凸四边形 ABCD 中, A和B分别为ACD 和BCD 的 内接圆, 其内心分别为 I 和 J. A和B的除 CD 外的另一条 外公切线与A切于点 K, 与B切于点 L. 证明: 直线 AK, BL, IJ 过同一个点. 8. 设 m,n 均为正整数, 非有理数, 且1n. 设集合 :0,0Xababbm. 设 01(1)(1) 1 . nm xxx 为 X 的所有元素. 证明: 对所有的(1)(1) 1ijnm, 均有 ijij xxx .