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1、2.1 .1正弦定理（一）知识梳理1、正弦定理形式一： (2R为外接圆的直径)形式二：；（角到边的转换）形式三：，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）2.解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。典例剖析题型一 已知两角和任一边，求其它两边和一角例1在中，求，【解】因为，所以因为，所以，因此， ，的长分别为和评析：已知三角形的任意两个角和一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理求出另两边题型二 已知两边及其一边的对角，求其他的边和角例2：根据下列条件解三角
2、形：（1）；（2）【解】（1），为锐角， ，（2），当当所以，评析：已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形。首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？如果有解，是一解，还是两解？备选题 正弦定理的应用例3.在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.解：（）由，且，ABC，又，（）如图，由正弦定理得，又点评：解三角形问题，还常常用到三角函数中的有关公式进行边角互化。点击双基1在ABC中，若，则等于（ ）A B C D解： 答案：C2在中，若，则等于（ ）A B C D 解： 或 答案：D3ABC中，A=，则边
3、= （ ）A 6 B 12 C 6或12 D 解：，sinB= B=当B=60时，C=180-A-B=90，c=12当B=120时，C=180-A-B=30，c=a=6答案：C4在ABC中，则的最大值是_。解： 答案： 5在ABC中，若_。解： 答案：课外作业一、选择 1在ABC中，则等于（ ）A B C D 解.答案：C2. 在ABC中，若，则等于（ ）A B C D 解: 答案：D3.在ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4,则A、B、C大小关系是（ ）A.ABC B.BAC C.CAB D.ACB解：a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:2:4,根据三角形中大边对大角
4、，BAC答案：B4.在ABC中，已知a=5,c=10,A=30,则B等于（ ）A. 105 B. 60 C. 15 D. 105或15解： sinC= C=45或135当C=45时，B= 105;当C=135时，B= 15答案：D5. 已知中，那么角等于（ ）A B C D解：由正弦定理得: 答案：C6.已知中，的对边分别为若且，则 （ ）A.2 B4 C4 D解：由可知,所以,由正弦定理得,故选A答案：A7. 满足=4，A=，C=105的ABC的边的值为（ ）A B C D 解：A=，C=105 ，B=，由正弦定理得:b=2答案：A8. 在中,，则的外接圆半径为（）（A）（B）3（C）（D）
5、6解：的外接圆直径2R=6，R=3答案：B二、填空题9 在ABC中，b=4asinB,则A= 解：b=4asinB, sinB =4sinA sinB, sinA =,在ABC中,0A sinA =，A=或答案：或10、在三角形ABC中，、所对的角分别为A、B、C，且，则ABC是 三角形。解：依题意，由正弦定理得：，a=b=c,即ABC为等边三角形答案：等边11、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 解：依题意，由正弦定理得：,即, 答案：三、解答题12在ABC中，B=，=1，求和A、C解：由正弦定理知：解得 或1500，因为 A+B+C=1800，所以 C=1500不合题意，舍去。从而有 A=900， 。13.在中，角的对边分别为，。（）求的值；（）求的面积.解：（）A、B、C为ABC的内角，且，. （）由（）知， 又，在ABC中，由正弦定理，得.ABC的面积.14.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.解：由cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=.又由 知或所以 B=。- 6 -