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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!立体几何的解题思路四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波高中数学课程标准建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。理科学生不仅要掌握必修2立体几何初步，还要掌握选修2-1空间中的向量与立体几何.文科学生要求掌握必修2
2、立体几何初步，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1空间中的向量与立体几何中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.例1（1）已知直线所成角为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为，则这样的直线l有几条？解：经过点P作直线m/a, n/b, 则直线所成角为或, 点P作直线的两条角平分线，其中有一条与所成角均为，另一条与所成角均为，把这
3、条角平分线沿着点P旋转可以得到两条直线与所成角均为，从而与a、b所成角均为的直线有三条. 问题的推广：已知直线所成角为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与a、b所成角均为，这样的直线l有四条，则角应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有零条呢？答案：有四条时，；有两条时，；有一条时，;有零条时，.变式：（1）已知直线与平面所成角的大小为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与直线a和平面所成角均为，则这样的直线l有几条？（2）已知平面与平面所成锐二面角的大小为，经过空间中一点P作直线l，使直线l与平面和平面所成角均为，则这样的直线l有几条？(3)正三棱锥PABC中，CM=2PM，CN=2NB，对
4、于以下结论：二面角BPAC大小的取值范围是（，）；1 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!若MNAM，则PC与平面PAB所成角的大小为；过点M与异面直线PA和BC都成的直线有3条；若二面角BPAC大小为，则过点N与平面PAC和平面PAB都成的直线有3条 正确的序号是 解：(1) 经过点P作平面的法向量，则问题转化为 “已知直线所成角为或，经过点P作直线l，使直线l与所成角均为，则这样的直线l有几条？”由例1容易得到这样的直线l有两条.(2) 经过点P作平面的法向量，平面的法向量，则问题转化为 “已知直线所成角为或，经过点P作直线l，使直线l与所成角均为，则这样的直线l有几条？”由
5、例1容易得到这样的直线l有一条.(3)仿照（1）（2）可以得到答案 二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体棱长为1”. 1. 正方体棱长为1，E,F是BD上的动点，且.（1）当E在BD中点时，F恰在B点，求二面角大小；（2）当EF在BD上运动时，该二面角是否发生变化？解：（1）取中点O,易知,设二面角大小为.二面角大小为（2）由（1）中求二面角的方法可知，无论EF在BD上的什么位置，二面角的大小不变.2. 正方体棱长为1，P为的四等分点，2 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!Q为中点，O为平面的中心.（1）求证
6、：OC与PQ共面；（2）求:平面OPQC与平面的夹角.（1）证明：取中点H，连结BH,HQ.易证,又中位线，OC与PQ共面.（2） 连结OQ,过O作,连结MH为面OPQC与面的夹角.三.高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题. 例3斜三棱柱的底面是等腰三角形，AB=AC，上底面的顶点在下地面的射影是的外心，棱柱的侧面积为（1） 证明：侧面和为菱形，是矩形；（2） 求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小；（3） 求棱柱的体积（1）证明：,又的外心为O,AB=AC,四边形是矩形.,又为正三角形.3 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!四边形为菱形，同理,
7、可证四边形为菱形.（2）过B作BD，则D为中点， 又的三内角即为所求为正三角形，三个二面角均为或四.高考中有一部分题都是以三棱锥为背景的问题，为此新编以三棱锥为背景的系列题. 例4已知三棱锥P-ABC，与 都是边长为的等腰三角形，AB=2,D为AB中点.（1） 求证;（2）求三棱锥P-ABC体积.（1）证明：又D为AB中点，AB=2.（2）D为AB中点，AB=2，同理，五.高考中的补形问题1.将正四面体补形成正方体4 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!解析：选A5 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!6 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!7 / 1
8、2如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!六考试模式例1.（理科）已知正四棱锥所有棱长为4，是侧棱上一点，且，过点垂直于的平面截该正四棱锥，则该平面与这个正四棱锥的截面面积为（ ）（A） （B） （C） （D）8 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!答案 C（文科）已知正三棱锥所有棱长为4，是侧棱上一点，且，过点垂直于的平面截该正三棱锥，则该平面与这个正三棱锥的截面面积为（ ）（A） （B） （C） （D）答案 C例2.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A B 5 C D 答案 D例3. 具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于，已知内的曲线的方程是，曲
9、线在内的射影在平面内的曲线方程为,则_答案 4例4.如图，直角三角形中，点在斜边上，且是平面同一侧的两点，平面平面 求证：平面平面（理科） 点在线段上，且二面角的余弦值为，求的长度. （文科）点在线段上，异面直线与所成角的余弦值为求的长证明：（）直角三角形ABC中，BAC=60，AC=4，AB=8，AF=AB=2，由余弦定理得CF=2且CFABAD平面ABC，CF平面ABC，ADCF，又ADAB=A，CF平面DABE，9 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!CFDF，CFEFDFE为二面角DCFE的平面角又AF=2，AD=3，BE=4，BF=6，故RtADFRtBFEADF=BF
10、E，AFD+BFE=AFD+ADF=90，DFE=90，DCFE为直二面角平面CDF平面CEF（建系求解，只要答案正确，也给分）解：（2）（理科）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设则面DMF的法向量：同理可知：面CDM的法向量由，则 或经检验，时二面角的余弦值为 不合题意所以（2）（文科）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C（0，0，0），B（0，4，0），E（0，4，4），F（3，0），M（0，a，0），（0a4）=（3，0），=（0，a4，4），异面直线CF与EM所成角的余弦值为，=，解得 故例5.（理科）如图，矩形所在的平面与等边所在的平面垂直
11、，为的中点（1）求证：；（2）求二面角的余弦值. （I）证：连接,，因为，是的中点，故. 1分 又因为平面平面，面面，面，10 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!故平面. 2分 因为面，于是. 3分又矩形，所以. 4分 又因为，故平面， 5分所以. 6分（）由（I）得，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系。因为，所以，于是有， 7分从而，设平面的法向量，由 8分得得， 9分同理，可求得平面的一个法向量， 10分设的夹角为，则， 11分由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为. 12分（文科）已知四边形为平行四边形，四边形为正方形，且平面平面（1）求证：平面；
12、（2）若为中点，证明：在线段上存在点，使得平面，并求出此时三棱锥的体积 解：(1)证：正方形ABEF中，AFAB， 平面ABEF平面ABCD，又AF平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB， 1分AF平面ABCD 2分又BD平面ABCD，AFBD 3分11 / 12如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!又，AFAD=A，AF、AD平面ADF,4分平面ADF 5分 (2)解：当N为线段EF中点时，MN平面ADF6分证明如下：正方形ABEF中，NFBA，平行四边形形ABCD中，MDBA，NFMD，四边形NFDM为平行四边形，MN/DF 7分又DF平面ADF，MN平面ADF，MN/平面ADF， 8分过D作DHAB于H，平面ABEF平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，DH平面ABEF 9分在RtABD中，AB=2，BD=AD，DH=1， 10分所以12分张世永 成都七中高级教师，数学奥林匹克高级教练 高三备课组组长，成都市学科带头人巢中俊 成都七中高三骨干教师，数学奥林匹克教练周建波 成都七中高三骨干教师 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 12 / 12