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1、第八章,位 移 法,1,行业材料,8-1 位移法的基本概念,荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N； 位移效应：A,附加 刚臂,Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。,Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。,实现位移状态可分两步完成,2,行业材料,Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。,3,行业材料,P,B,B,选择基本未知量,物理条件,几何条件,平衡条件,
2、变形条件,4,行业材料,位移法基本作法小结:,（1）基本未知量是结点位移；,（2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；,（3）建立基本方程分两步单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;,（4）由杆件的单元刚度方程求出杆件内力，画内力图。,关于刚架的结点未知量,5,行业材料,8-2 等截面杆件的计算,一、由杆端位移求杆端弯矩,（1）由杆端弯矩,利用单位荷载法可求得,设,同理可得, 杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B ，弦转角 /l 都以顺时针为正。 杆端弯矩以顺时针为正,6,行业材料,（2）由于相对线位移引起的A和B,以上两过程的叠加,我
3、们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：,7,行业材料,可以将上式写成矩阵形式,1,2,3,4,结构中可能存在不同支座情况。,8,行业材料,几种不同远端支座的刚度方程,（1）远端为固定支座,因B = 0，代入(1)式可得,（2）远端为固定铰支座,因MBA = 0，代入(1)式可得,（3）远端为定向支座,因,代入（2）式可得,9,行业材料,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。,4i,2i,0,3i,0,i, i,0,10,行业材料,二、由荷载求固端反力称为载参数,单跨超静定梁简图,11,行业材料, 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：,12,行业材料,8-3 无侧移刚
4、架的计算,如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。,1、基本未知量B,2、固端弯矩(确定载常数),3、列单元刚度方程(包含形常数与载常数),4、位移法基本方程（平衡条件）,13,行业材料,16.72,15.85,11.57,3.21,4、位移法基本方程（平衡条件）,5、各杆端弯矩及弯矩图,M图,(1) 变形连续条件:在确定基本未知量时得到满足；,(2) 物理条件: 即刚度方程；,(3) 平衡条件: 即位移法基本方程。,超静定结构必须满足的三个条件:,14,行业材料,例1、试用位移法分析图示刚架。,（1）基本未知量 B、 C,（2）固端弯矩(载常数)MF,计
5、算线刚度i，设EI0=1，则,15,行业材料,(3) 位移法方程,16,行业材料,(4) 解方程,(相对值),(5) 杆端弯矩及弯矩图,46.9,24.5,1.7,9.8,4.89,M图,17,行业材料,无侧移刚架位移法分析小结,1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；,2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；,3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。,18,行业材料,复习角变位移方程中的杆端剪力：,其中,绘制弯矩图的方法：,（1）直接由外荷载及剪力计算；,（2）由转角位移方程计算。,8-5 有侧移刚架的计算,19,行业材料,例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
6、解：1）基本未知量：,2）各柱的杆端剪力 侧移刚度J=3i/h2，则： Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3,Q1+Q2+Q3=P,J1+J2+J3=P,柱顶剪力：,柱底弯矩：,3）位移法方程 X=0,M,结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。,20,行业材料,其中,复习角变位移方程中的杆端剪力：,绘制弯矩图,.,M（ql2）,21,行业材料,例1. 用位移法分析图示刚架。,解（1）基本未知量B、,（2）单元分析,22,行业材料,（3）位移法方程,QBA + QCD =0.(2a),23,行业材料,（4）解位移法方程,（5）弯矩图,MAB= -1
7、3.896 kNm,MBA= -4.422kNm,MBC= 4.422kNm,MDC= -5.685kNm,QBA= -1.42kN,QCD= -1.42kN,13.896,4.422,4.422,5.685,M图（kNm）,24,行业材料,基本未知量为：,25,行业材料,基本未知量为：,26,行业材料,第一种基本思路,位移法思路(直接平衡方程法) 以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-
8、位移关系可得原结构受力,27,行业材料,8-4 位移法的基本体系,一、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。,力法的特点： 基本未知量多余未知力； 基本体系静定结构； 基本方程位移条件 （变形协调条件）,位移法的特点： 基本未知量 基本体系 基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,28,行业材料,二、基本未知量的选取,2、结构独立线位移：,（1）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原直杆等长；,（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。,上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。,每个结点有两个线位移
9、，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：,1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。,29,行业材料,线位移数也可以用几何方法确定。,1,4,0,将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。,30,行业材料,F11+F12+F1P=0(1a),F21+F22+F2P=0(2a),三、选择基本体系,四、建立基本方程,31,行业材料,F11+F12+F1P=0(1a),F21+F22+F2P=0(2a),=1,k1
10、1,k21,=1,k12,k22,=0.(1),=0.(2),k111,+ k122,+F1P,k211,+ k222,+F2P,k11=10i,k21= -1.5i,k12= -1.5i,32,行业材料,位移法方程：,六、绘制弯矩图,1.4,M(kNm),五、计算结点位移,33,行业材料,k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0,k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0, ,kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0,1,2,2=1,k110+k21 1,= k12 1+k22 0,具有n个独立结点位移的超静定结构：,位移反力互等定理,34,行业材料
11、,第二种基本思路,位移法思路(典型方程法) 以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）. 列方程可求位移。,35,行业材料,基本思路,两种解法对比： 典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由叠加得到。 直接平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。其概念更加清楚，杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。 最终方程都是平衡方程。整理后形式均为：,36,行业材料,例1、试用位移法分析图示刚架。
12、,（1）基本未知量,（2）基本体系,计算杆件线刚度i，设EI0=1，则, 1、 2、3,37,行业材料,（3）位移法方程,k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0,k21 1+ k22 2+ k23 3+F2P=0,k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0,（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k33,3,2,4,1.5,3,k11=3+4+3=10,k12=k21=2,k13=k31=?,3,4,2,2,1,k22=4+3+2=9,k23=k32=?,38,行业材料,(1/12) 2052=41.7,3=1,1/2,1/2,9/8
13、,9/8,k33=(1/6)+(9/16)=35/48,k31=k13= 9/8,k32=k23= 1/2,（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P,(1/8) 2042=40,F1P=4041.7= 1.7,F2P=41.7,F3P=0,39,行业材料,（6）建立位移法基本方程：,（7）解方程求结点位移：,（8）绘制弯矩图,M图（kNm）,18.6,42.8,47.8,26.7,23.8,14.9,5,3.6,8.9,3.97,（9）校核,结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。,40,行业材料,8-5 对称结构的计算,对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：,对称结构在反对称荷
14、载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：,利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。,41,行业材料,一、单数跨,(1)对称荷载, 1,MP,k11 1 + F1P = 0,(2)反对称荷载,E,反弯点,A,B,42,行业材料,二、偶数跨,(1) 对称荷载,q,C,C,M = Q = 0,N = 0,反弯点,无限短跨,+,(2) 反对称荷载,43,行业材料,三、联合法,=,+,P/2,力法:6个未知量,位移法:6个未知量,部分力法,部分位移法:4个未知量,44,行业材料,M反对称,M对称,M图 (kN.m),45,行业材料,MP,M反对称,等代结构,46,行业材料,=20kN.m,=8kN.m
15、,=8kN.m,=4kN.m,4,M对称,47,行业材料,*8-6 支座移动和温度改变时的计算,基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端力一项不同。,M图,一、支座移动时的计算,48,行业材料,M反=0,49,行业材料,例:试作图示结构弯矩图.,二、具有弹性支座时的计算,50,行业材料,二、温度改变时的计算,固端弯矩,杆件内外温差产生的“固端弯矩”,C,C,对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移, 立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移,=TL M=3i/h,升温TC,温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向侧移产生的 “固端弯矩”,例
16、：求图示排架温度均匀升高To所产生的弯矩。各梁截面尺寸相同，各柱截面也相同，弹性模量均为E。,由结果可见：温度变 化引起的位移与EI大 小无关，内力与EI大 小有关,51,行业材料,例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度h=0.6m。作弯矩图。,AB柱缩短t0 l=40,CD柱伸长t0 l=40,BC梁缩短t0 l=60,各杆端的相对线位移 AB= 60 BC= 80,在杆件中面温差作用下：,中面温差,壁面温差,52,行业材料,由温度引起的载参数,单跨超静定梁简图,53,行业材料,杆端弯矩为,=86.5EI,=49.6EI,=81.8EI,=49.7EI,86.5,M图EI,49.7,54,行业材料,例:作M图， EI=常数,解:,55,行业材料,例: 作M图， EI=常数, t1t2,同上例,F1t的计算:,=,+,同上例,56,行业材料,