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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 宁 波 工 程 学 院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 沈小凤 2. 汪徐燕 3. 何江鸿 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数 模 组 日期： 2010 年 8 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：宁波市轨道交通对市民出行的影响摘 要宁波轨道交通就将成为现实，本文综合价格、时间
3、、舒适度、节能、环保等各方面，建立数学模型，分析在可持续发展的理念下，轨道交通给市民出行方式带来的影响。本文首先要建立一个预测该城市居民出行强度和出行总量的数学模型，并以此为基础，进一步建立居民乘坐地铁人口的预测模型。在此用灰色系统模型对上海进行居民出行总量的预测并通过类比得出宁波居民出行强度的预测，得到出行强度为2.5431。再根据查阅统计年鉴得到的三年居民数量的数据建立宁波的logistic人口预测模型，得到宁波2015年的人口数量为589.7107万人次，居民出行强度乘以居民数量便得到居民出行总量的预测模型，得到居民出行总量的预测结果为1149.693万人次。接着由交通规划中的相关模型，
4、综合考虑了时间、价格、节能、环保、舒适度5个指标以及私家车、公交车和地铁三种出行方式，并利用AHP层次分析法确定5个评价指标的权值。最后结合模型四，先用计算机对三种居民出行方式所占比例进行赋值。接着以可持续发展系数W作为目标函数，建立约束条件进行最优规划。既得对2015年宁波市民出行使用地铁所占比例，用此比例乘以居民出行总量再除以居民出行强度便可得到乘坐地铁人口N的预测模型。由此，可以得到2015年宁波市轨道交通正式营运后，居民采取出行方式的改变。关键词：灰色系统模型，logistic人口预测模型，AHP层次分析法一、问题的提出宁波轨道交通就将成为现实，宁波人也能享受快速、便捷、时尚的“地铁族
5、”生活。快速轨道交通运行速度，在中心城区内可达35公里/小时，在中心城区外则能高达45公里/小时，而公交车的平均运行速度在18公里/小时左右。经测算，如果2015年建成1号线、2号线，市民平均出行距离将增加62.5%，出行范围扩大一倍。1号线全线的全通行时间将比汽车出行减少一半时间。请综合价格、时间、舒适度、节能、环保等各方面，建立数学模型，分析轨道交通对市民出行方式带来的影响。二、问题的分析根据题目给出的信息以及题目的要求，考虑到价格、时间、舒适度、节能、环保等各方面的因素。对宁波市建立轨道交通进行评价。首先要建立一个预测该城市居民出行强度AP和出行总量AN的数学模型，并以此为基础，进一步建
6、立居民乘坐地铁人口的预测模型。在此用灰色系统模型对其他城市进行居民出行总量的预测并通过类比得出宁波居民出行总量的预测。再查得的三年居民数量的数据建立宁波的logistic人口预测模型，根据查得的信息，对未来几年内宁波居民数量进行预测。出行总量除以居民数量便得到居民出行强度的预测模型。其次由交通规划中的相关模型，考虑价格、时间、舒适度、节能、环保等各方面因素对市民出行的影响，本模型将它们作为五个影响坐地铁比例的因素，并建立以宁波地铁可持续发展指数为目标函数，以城市交通需求总量、交通方式在容许范围内所能承担的最小比例以及最大比例、城市各污染物排放限值以及城市各能源的交通消耗限值作为约束条件，建立A
7、HP层次分析模型来确定三个系数的权重，并得出宁波乘坐地铁比例的预测模型。最后，用宁波乘坐地铁比例乘以居民出行总量再除以居民出行强度便可得到乘坐地铁人口N的预测模型。三、基本假设(1) 所采用的数据具有较好的可信度和典型性。(2) 地铁与其影响因素具有普遍性。(3) 各城市的出行总量，出行强度具有可比性。(4) 人口的发展符合logistic模型规律(5) 地铁的开发不影响该城市居民的出行总量和出行强度的变化趋势四、定义符号说明：出行总量与该城市的总的居民人数的比值：每天该城市的居民用各种交通方式（私家车、公交、地铁等等）出行总的次数：单位时间内人口增加的数量和当时人口数的比例系数：相应年份的出
8、行总量:综合评价的指标五、模型的分析、建立针对问题，首先建立灰色预测模型：通过查阅资料，考虑数据的完整性，采用上海作为类比对象，找出了其近五年的数据（出行强度、城市居民人口），用灰色系统模型对它未来几年的出行强度进行了预测，得出了它的出行强度预测模型，利用GM（1，1）进行建模。对于给定的数据进行处理。灰色系统（Gray system、简称G系统）是指，相对于一定的认识层次，系统内部的信息部分已知，部分未知，即信息不完全。灰色模型（Gray Model）简称GM模型，是灰色系统理论的基本模型，它是以灰色模块（所谓模块是时间数列在时间数据平面上的连续曲线或逼近曲线与时间轴所围成的区域）为基础，以
9、微分拟合法而建成的模型。GM模型有以下特点：a.建模所需信息较少，通常只需4个以上数据即可建模（查阅相关资料得到四年数据）；b.不必知道原始数据分布的先验特征，对无规或服从任何分布的任意光滑离散的原始序列，通过有限次的生成即可转化成有规序列（出行强度为无规序列）；c.建模的精度较高，可保持原系统的特征，较好的反映系统的实际状况。 灰色预测就是对灰色系统问题进行未来的预测，由于灰色系统理论是一种研究包含确知、未确知系统的理论，目前经常被用于交通运输客运量的预测模型，故本文采用该模型，利用GM（1，1）进行建模。预测流程图见下(图1-1)。图1-1对于给定的一组数据：，1）做1-AGO（一次累加生
10、成，即对原始数列中各时刻的数据依次累加，从而形成新的序列，如：对X(0)作一次累加生成，即令新生成的数据列为一条单调增长的曲线，增加了原始数据列的规律性，而弱化了波动性。此时就可以把时间序列转化为微分方程，从而建立抽象系统的发展变化动态模型。建立如下微分方程： (1-1)按最小二乘法得到其中： 2）建立预测模型易求得上述微分方程的解为： (1-2) 3）还原数据 (1-3)由此得到了城市居民出行强度的预测模型，有了初始年的出行强度值就可以用上述模型算出未来几年的，然后通过累减生成（累加操作的逆操作）便可得到未来几年的，其中和是参数。4）类比假定认为题中所提到的城市的和两个参数与其它城市存在一定
11、的类比关系，这样在研究其它城市数据的基础上建立类比关系就可得到该城市未来几年居民出行强度的预测值，在以后每一年中可以得到实际的出行强度的值，并用这些值不断的返回去修正和这两个参数，这样的预测模型将会越来越准确。在得到居民出行总量的预测模型基础上，便可以进行居民出行强度的预测，两者有如下的关系式： （1-4）因此，为了对城市居民出行强度进行预测，需要有每年的居民总数，查阅统计年鉴可得2004、2006、2007这三年的居民总数，因此可以对每年的城市居民总数建立一个人口模型进行预测。A、Logistic人口模型 假设：单位时间内人口增加的数量和当时人口数成正比，且比例系数为人口数的减函数（由于资源
12、与环境对人口增长的限制，当达到某一最大允许量，应有净增长率，当人口数超过时，应当发生负增长） 基于如上想法，可令由此导出的微分方程模型是 (1-5)其中：，容易解出 (1-6)用题目中所提供的三个已知值代入上述方程（2004年的居民总数作为，2009年和2015年的居民总数作为和），便可以解出参数和， 从而可以预测出任意一年的居民总数。最后建立乘坐地铁人口的预测模型，在考虑乘坐地铁人口预测模型之前，先要考虑城市各种出行方式的大致比例分布模型，可得到乘坐地铁人口的比例，最后由关系式： （1-7）就可求出乘坐地铁人口预测模型。 B、乘坐地铁出行的比例预测模型考虑到题目所提到的城市的规模会不断扩大，
13、人口会不断增加，人民生活水平会不断的提高，同时对地铁的需求也会不断变化。但在满足人民群众的出行需要的同时，也要考虑到减少环境污染和资源消耗，实现可持续的发展。在参考有关资料的基础上，对交通方式的比例采用以下预测模型：（1）、时间方面考虑： (1-9)式中为单位路径费时水平，值越小，说明系统的简便指数越高；为交通方式的选择集； 为第种交通方式的分担客运量；为第种交通方式的常规运行速度; 为使用第j种交通方式所运行的路程；为政府对第j种交通方式的期望单位站点费时。并对t做标准化处理得T。（2）、价格方面考虑： (1-10)式中为可达性，值越小，说明廉价性越高；为第种交通方式单位站点的平均费用；为城
14、市人均收入。并对m做标准化处理得M。（3）、节能方面考虑： (1-11) 式中：为能耗及污染性，越小，说明能耗越小；为第种交通方式能源消耗因子；为政府对第种交通方式的期望能源消耗因子。（4）、环保方面考虑： 式中：为能耗及污染性，越小，说明污染越小；为第种交通方式污染因子；为政府对第种交通方式的期望污染因子。并对h做标准化处理得H。（5）、舒适度方面考虑： (1-12)式中：为舒适度指标，越大，说明舒适度越好；为第种交通方式一次性运输的最大容纳量；为第种交通方式的容纳量。并对s做标准化处理得S。 至此我们便可以根据现有的交通容量和需求状况，综合考虑交通方式的各种效应，基于可持续发展的理念，使经
15、济可持续、社会可持续及生态可持续达到量化平衡最优，从而得到各种交通方式的结构比例。六、模型的求解对灰色预测模型的求解：对从宁波统计年鉴上得到的数据（见附录一）进行处理，根据公式，做1-AGO从而形成新的序列， 把时间序列转化成微分方程，建立微分方程式，已知 根据最小二乘法，可由MATLAB求得接着可求得微分方程为，将数据还原得到。 编制MATLAB程序，把查得的上海市综合交通大调查的数据（见表1-1）：表1-1 上海近几年出行强度与城市居民数表上海各年份19861995199820002001200220032004城市居民（万人）缺失缺失缺失1673.77 1614.00 1625.00 1
16、711.00 1742.15 先对数据进行插值，获得连续五年的出行强度和城市居民人口数，代入得出：=而经过类比，上海的居民数量是题中所提到城市居民数量的100倍，分析可知是一个无量纲的系数，而是一个有量纲的系数（量纲为：万人次），这就说明是和人口规模有关的一个系数，因此应该给予调整，从而得到：进而做一次累减生成，得到最后的人口数量预测模型为： 其中代表该城市2004年人口数量。预测得2015其人口数量为 （万人次）对Logistic人口模型的求解：首先对宁波2015年的人口进行预测，由宁波市统计年鉴上得到的宁波近几年的居民人口，可以对每年的城市居民总数建立一个人口模型进行预测。由Logisti
17、c人口模型的假设，以及微分方程， 解得：用题目中所提供的三个已知值代入上述方程（2004年的居民总数作为，2010年和2015年的居民总数作为和），运用MATLAB， 从而可以预测出任意一年的居民总数。根据，其中t=0,1,2,(t=0表示2004年)代入得到预测人口为在得出以上两个模型的基础上，便可得到出行强度预测的模型：由，代入上面两个模型的表达式得到出行强度预测模型： ，由MATLAB编程得到出行强度为2.5431.根据以上结果可以求得出行总量为1149.693万人次。根据乘坐地铁人口的预测模型，以及乘坐地铁人口的比例，得到将数据代入得到乘坐地铁的人数对乘坐地铁出行的比例预测模型的求解：
18、根据题目中要求的价格、时间、舒适度、节能、环保五个需要考虑的因素建立的模型，从以下几个方面进行考虑：时间方面考虑： 价格方面考虑： 节能方面考虑： 环保方面考虑： 舒适度方面考虑： 利用层次分析法的原理对模型进行求解，通过比较时间、价格、节能、环保、舒适度，确定这五个因素的尺度，分别为9、7、3、1、5，运用MATLAB求出这五个因素的成对比较矩阵 接着求出该矩阵的特征值，得到成对比较矩阵的最大特征值,该特征值对应的归一化特征向量为,则，为综合评价指标，值越小，则效果越好。由MATLAB解得最优W为21.6023其相对应的a，b取值为a=0.1，b=0.5七、结果分析、模型检验对于灰色预测模型
19、的结果，从中可以看出宁波市在2015的人口数量与近几年并没有发生多大的差别。根据上海的统计结果，与其相比较可以知道结果相对来说是正确的。对Logistic人口模型的结果，求得的数据中看出，宁波市2015年的出行量相对来说比较大，说明轨道交通对市民的出行相对来说影响较大。考虑到几个相关因素之后，根据层次分析法得出的各个因素间的关系，可知这几个相关因素对模型的结果有一定的影响。八、模型推广该论文运用了灰色预测模型，该模型不仅可以用于轨道交通对市民出行影响的预测，还可以应用于旅游环境对客流量的影响预测，还可以用来预测社会经济的增长。对Logistic人口模型的应用，该模型还可应用于某些增长形势与人口
20、增长形势的相类似的模型。九、模型与改进本文在以上模型的基础上，对交通规划模型做了改进。根据现有的地铁信息，完全可以对宁波地铁路线图做简化处理如下：设计规划地图原图图9-1简化图图9-2在简化图的基础上，利用CAD技术可以大致处理各站点间距离。由于轻轨交通的普及必将影响公交路线，因此，可以参照铺设轻轨交通系统已比较完善的上海轻轨交通系统对与地铁站点相关的公交站点以及公交路线。综合考虑公交路线与地铁路线在价格、时间、舒适度、节能、环保各方面的差异，以及公交公交、公交地铁和地铁地铁三种不同的乘坐方式，对任意两站点间的最优路线进行计算机模拟，并根据交通规划模型中的价格、时间、舒适度、节能、环保五个方面
21、的指标对乘坐地铁的人口进行评估。人口老龄化同样是影响各类交通系统分担量的重要因素。可以在logistic人口预测模型中加入老龄化模块，同时在交通规划中考虑到一天中的交通需求量分早高峰以及晚高峰，我们可以结合部分时段交通流量，建立微分方程对一天的交通流量进行模拟。模型五由于地铁刚铺设完整时处于外界的竞争时期，居民对地铁的使用力度受外界影响主要跟该产品的客流量以及客流量与最大客流量的差值有关。由此，根据统计筹算率可以建立地铁营运初期的客流量与时间的相关方程：假设需求有一个上界为,当前的总客流量为Y，与某时刻t时的客流量y(t)存在如下关系， （1）这里的k表示相关系数； 根据（1）式可以得到关于总
22、客流量Y的方程，对Y求导就可以得到y（t），由此就可以画出钟形曲线。模型六在这里，我们考虑了居民者的偏爱因素，由于地铁的宣传以及乘客的反馈，居民的偏爱度会随之改变。因为地铁客流增长趋势是长期的，而居民出于对日常工作的安排以及日常消费考虑，决策较慎重，所以在初始阶段，居民的偏爱度对购买力的影响就显得尤为突出。基于这方面的考虑，在模型五的基础上我们建立了如下模型： （2）其中表示普通情况下受偏爱度影响较小的居民的需求量，表示受偏爱度影响较大的居民的需求量，则他们的和就是总需求量，也就是地铁的总客流量。对Y求导得y(t)，然后代人相关数据，即可得到各个系数，并画出双峰曲线图。用简便方法估计参数并用m
23、atlab作图可得：图9-3参考文献：1 徐运 钟晖，上海市民长距离出行爱轨交 出行选公交者降两成，http:/ 1.97 2.21 2.29 2.36;o=size(x,2);k=0;for y1=x k=k+1; if k1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加生成 z1(k-1)=-0.5*(x1(k)+x1(k-1); %计算B yn1(k-1)=x(k); else x1(k)=x(k); endendsizez1=size(z1,2); z2=z1;z3=ones(1,sizez1);YN=yn1; %转置B=z2 z3;au0=inv(B*B)*B*YN;au=au0;
24、afor=au(1)ufor=au(2)/3ua=afor./ufor; %输出预测的 a u 和 u/a的值%二次拟合constant1 = x(1)-ua;afor1 = -afor;k2 = 0;for y2 = x1 k2 = k2 + 1; if k2 k else ze1(k2) = exp(-(k2-1)*afor); endendsizeze1 = size(ze1,2);z4 = ones(1,sizeze1);G=ze1 z4;X1 = x1;au20=inv(G*G)*G*X1;au2 = au20;Aval = au2(1); %Aval,Bval输出预测的 A,B的值
25、Bval = au2(2) ;%一次拟合累加值nfinal=o;for k3=1:nfinal x3fcast(k3) = constant1*exp(afor1*k3)+ua;end%一次拟合预测值for k31=nfinal:-1:0 if k311 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x3fcast(k31-1); else if k310 x31fcast(k31+1) = x3fcast(k31)-x(1); else x31fcast(k31+1) = x(1); end endendx31fcast;for k4=1:nfinal x4fcast(k4)
26、 = Aval*exp(afor1*k4)+Bval; %x4fcastend%二次拟合预测值for k41=nfinal:-1:0 if k411 x41fcast(k41+1) = x4fcast(k41)-x4fcast(k41-1); else if k410 x41fcast(k41+1) = x4fcast(k41)-x(1); else x41fcast(k41+1) = x(1); end endendx41fcastx;%精度检验p Ck5 = 0;for y5 = x k5 = k5 + 1; if k5 o else err1(k5) = x(k5) - x41fcast
27、(k5); %err1绝对误差 endendxavg = mean(x); %xavg,x平均值err1avg = mean(err1); %err1avg,err1平均值k5 = 0;s1total = 0 ;for y5 = x k5 = k5 + 1; if k5 o else s1total = s1total + (x(k5) - xavg)2; endends1suqare = s1total ./ o; %s1suqare 残差数列x的方差s1sqrt = sqrt(s1suqare); %s1sqrt 为x方差的平方根S1k5 = 0;s2total = 0 ;for y5 =
28、 x k5 = k5 + 1; if k5 o else s2total = s2total + (err1(k5) - err1avg)2; endends2suqare = s2total ./ o; %s2suqare 残差数列err1的方差S2Cval = sqrt(s2suqare ./ s1suqare);Cval %Cval C检验值k5 = 0;pnum = 0 ;for y5 = x k5 = k5 + 1; if abs( err1(k5) - err1avg ) 0.6745 * s1sqrt pnum = pnum + 1; else endendpval = pnum
29、 ./ o;pval %p检验值附录二：%求随机一致性指标RIclccleari=0;CI=0;A=;for i=1:500 %循环500次 for n=1:21 %构造的正互反矩阵对角元素为1 A(n,n)=1; end for j=1:21 %设置正互反矩阵中其余元素的随机性 for k=j+1:21 a=randint(1,1,1,7); x=rand(1); %根据rand函数取随机数按照正态分布 if x=6/17 & xdmax dmax=D(i,i); temp=i; vmax=V(:,i); endendsum=0;for i=1:n for j=1:n if i=j sum=
30、sum+b(i,j); end endendsum1=0;dmax;for i=1:n sum1=sum1+vmax(i,1);endfor i=1:n vmax(i,1)=abs(vmax(i,1)./sum1); %归一化endvmax;CI=(dmax-sum)/(sum-1);RI=1.0590; %求出的随机一致性指标RICR=CI/RI;CR;if CR0.1 disp(矩阵通过一致性检验，可按照总排序权向量表示的结果进行决策!);else disp(矩阵没有通过一致性检验，请重新考虑模型！);end附录四：clcclearR=0.3600 0.2800 0.1200 0.0400
31、 0.2000;A=1149.693;%出行总量k=0;for a=0.1:0.05:0.2 for b=0.5:0.05:0.6 k=k+1; T1=a*A; T2=b*A; T3=(1-a-b)*A; T=T1 T2 T3; x=36.05 32 1.02; 4.4/31.395 1.5/31.395 0.049/31.395; 0.2/0.3 0.3/0.4 0.4/0.5; 0.1/0.2 0.3/0.2 0.4/0.3; 4761/5000 45/80 2/5; for i=1:size(x,1) B(i,:)=T.*x(1,:)./sum(x(1,:); end for jj=1:
32、size(R) W(k,jj)=R(1,jj)*B(1,jj); end endendW;s=W(1,1);for jj=1:size(W,2) if W(1,jj)1 x1(k)=x1(k-1)+x(k); %累加迭代 b1(k-1)=-0.5*(x1(k-1)+x1(k); %用于计算B矩阵 y1(k-1)=x(k); %求矩阵Y1 else x1(k)=x(k); endendnb1=size(b1,2);b2=b1;b3=ones(1,nb1);Y1=y1;B=b2 b3;a2=inv(B*B)*B*Y1附录六：clcsyms tf=diff(32200/(1+0.35*exp(-6.5*(t-1.56)+2700/(1+0.65*exp(-20*(t-0.9);t=0.5:0.01:1.5;y0=inline(f);y=y0(t);plot(t,y)a=max(y)xlabel(时间);ylabel(地铁客分担客流量);title(时间地铁客分担客流量关系图);20