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1、 人教A版必修五余弦定理教学设计衡阳市第八中学 刘亮生 一、教学内容分析:本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第一章余弦定理第一课时，是在学生学习了三角函数、向量等知识之后，是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛.余弦定理的教学分为以下这几个步骤：第一，教师通过实际问题引入，让学生将实际问题转化数学问题；第二，类比同起点两向量的夹角与他们终点关系，举出特例，提出猜想；第三，采用“向量法”、“构造直角三角形法”、“坐标法”三种方法证明了余弦定理；第四，通过对余弦定理公式的变形得到推论，进一步运用定理
2、判定三角形的形状；第五，利用定理，解决引入问题，并进行简单的应用.学生通过对任意三角形中余弦定理的探索、发现和证明，感受“观察探究猜想证明应用”这一数学思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神.二、学情分析: 对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦.三、设计思想： 本节课采用探究式问题教学模式，即在教学过程中，在教师的启发
3、引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力.四、教学目标：1通过对任意三角形边角关系的探索，引导学生通过观察，探究，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，能运用余弦定理解决解斜三角形的两类基本问题.2通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生
4、的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.3培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.五、教学重点与难点： 教学重点：余弦定理的发现与证明；余弦定理的简单应用。 教学难点：余弦定理的猜想提出过程，余弦定理的证明。 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器。六、教学过程：（一）创设情境，提出问题：情境:如图1所示的两地之间隔着一座小山，现要在之间修建的一条隧道，在以外的点测得，,如何求两地之间隧道的长度（精确到）？ 问题1:上述问题是解决三角形当中有关什么问题？ 学生：解关于
5、知道三角形两边及它们夹角，求第三边问题. 教师：能否用正弦定理解决？ 学生：不能. 教师：本节课我们将要探究的问题是:在已知三角形两条边的前提下,其夹角与第三条边的长度之间关系，这正是余弦定理所揭示的规律-引入课题.设计意图：通过实例创设情境，引发学生对本节课的兴趣，同时抽象出数学问题引入新课.（2） 问题化归，构建模型：CAB 问题2:如图2，已知,如果确定，当变化时，向量的长度的变化趋势如何？ 教师：（用制作的动画演示，让学生发现规律） 学生：当变大时，向量的长度变大.设计意图：让学生发现在已知三角形两边的前提下，找到他们的夹角的变化对第三边的变化的影响。（3） 特例探究，提出猜想：CBA
6、 问题3:已知,若的范围为，当、三种特殊情况时,则分别为多少？A 学生：当时，；CB 当时，；CAB 当时，. 教师：以上三种特殊位置，可以用统一的形式表示： 当时,； 当时,； 当时,设计意图：从三个特殊角度与第三边之间的关系去找到它们的共同特征，让学生提出合理猜想。CAB 问题4:请你根据上述三个特例的结果，试猜想：在中，已知,当，线段的长度为多少？ 学生:当时，（四）证明猜想，得出定理： 问题5：你能证明该猜想吗？试一试，看能用几种方法证明？ 教师：刚才我们研究了：在两向量的大小确定的前提下，两向量的夹角的变化对两向量终点连线的长度变化的影响，我们可以用向量的方法证明猜想吗？（学生思考并
7、小组讨论）学生：可以用向量的数量积求边长.ABC方法一：（构造向量数量积） 证明：如图，因为，所以， 即 即，猜想成立. 教师：这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积.方法二：（构造直角三角形）ACBbaD 证明：(1)当为锐角时,过点A作于D.则 =.(2)当为直角时,结论显然成立.(3)当为钝角时, 过点A作交BC的延长线于D.ACBbaD 则 =.综上所述,均有,故猜想成立. 教师：这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要注意这里要分三种情况讨论.方法三：（建立直角坐标系） 证明：ACBBB建立如图所示的直角坐标系，则
8、，根据两点间的距离公式，可得，所以，即,故猜想成立. 教师：这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类讨论了且运算简单.设计意图：让学生以小组为单位讨论解决问题的方法，老师适当引导点拨 ，由学生自己证明，充分体现学生的主体地位. 问题6：以上结论为余弦定理，如何用文字语言与符号语言表示以上定理？你能说出来吗？ 教师：大家观察我们刚才证明的式子，如果把它们平方就可以得出结论？ 学生：，即. 教师：同理这个式子也可以用来求另外两边，你能把其他两边也用式子表示出来吗？ 学生：可以，； . 教师：很好,这三个式子就是余弦定理的符号语言表述形式,这个式子非常美观,便
9、于记忆,希望大家好好记忆,请问那位同学能用文字语言把它表述出来吗? 符号语言： ； ； . 文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍.设计意图：让学生用两种数学语言表述已经证明的定理，加深对定理的理解，提高学生的语言表达能力及数学语言间的转换能力，特别是符号语言表述结构具有轮换对称美，便于记忆.（5） 合理变型，深化理解： 教师：我们已经得到了一个非常漂亮的定理，其符号语言表述具有轮换对称美，请大家请思考下面的问题？ 问题7：余弦定理是关于三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。应用余弦定理，我们可以由三角形的三边来确定三角形的角吗？怎么确定
10、？ 学生：求角我们可以把上面的式子变形，使角和边分离. 教师：很好，那大家动手写一下，看看公式变成什么样子？ 学生：；. 教师：看来大家都不错，我们把刚才变形之后的公式叫做余弦定理的推论.余弦定理推论：； ；.设计意图：对公式进行变形，学生很明确就能发现如何知道三角形的三边求角. 问题8：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形三边的平方之间的关系，如何看待这两个定理之间的关系？ 教师：你们如何看待以上的问题？能得到什么结论？ 学生：勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.教师：能否根据余弦定理的推论来判定三角形的每个角是锐角、直角钝角？如何判断
11、？ 学生：可以，将各边代人余弦定理的推论式子，根据式子的符号来判定角的余弦的符号，若，则A是锐角；若，则A是直角；若，则A是钝角.教师： （大家一起归纳） 1. ； 2. ； 3. . 教师：判定三角形形状关键是判定哪个角？ 学生：判定最大角. 教师：说得好，在知道三角形三边的前提下，要判断三角形形状，只要判断最大角的大小即可；刚才我们对余弦定理及推论进行了探讨，大家议议，余弦定理可以解决一些什么问题？ 学生：1.已知三角形两边及夹角，求第三边； 2.已知三角形三边，求任意一角；3.判定三角形形状.设计意图：发现勾股定理与余弦定理之间的区别与联系，并能运用定理判断角的范围，从而判定三角形的形状
12、.（6） 运用定理，解决问题： 例1.在，,求边的长度（精确到）？ 解：根据余弦定理， 例2.在，,求该三角形的最大角与最小角的余弦值，并请判定该三角形的形状. 解：，,根据余弦定理，;.,为锐角三角形.（7） 随堂训练，巩固反馈： 1.已知在中，那么等于（ B ） A、 B、 C、 D、 2.已知在中，则等于( A ) A、123 B231 C132D312 3.若三条线段的长为5、6、8，则用这三条线段（ C ） A、能组成直角三角形 B、能组成锐角三角形 C、能组成钝角三角形 D、不能组成三角形七.课时小结：（一）.探究过程： 1.创设情境，提出问题；2.问题化归，构建模型；3.特例探究
13、，提出猜想； 4.证明猜想，得出定理；5.合理变型，深化理解；6.运用定理，解决问题； 7.随堂训练，巩固反馈.（二）.知识体系： 1.余弦定理： 文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍. 符号语言： ； ； . 2.余弦定理推论：; ;. 3.余弦定理的应用： 1.已知三角形两边及夹角，求第三边；2.已知三角形三边，求任意一角；3.判定三角形形状.（三）.探究思想方法： 1.从特殊到一般思想；2.转化化归思想；3.归纳猜想思想；4.数形结合思想.八作业：必做：教材P10 习题1.1 A组 3、4.选做：教材P10 习题1.1 B组 2.
14、思考题：已知a、b、c为ABC的三边，且a2-a-2b-2c0，a2b-2c30，求这个三角形的最大内角九教学反思：本课的教学应具有承上启下的目的，因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题.本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探
15、讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题.学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构.本教学设计的创新之处1.教学目标创新 (1)培养学生从特殊到一般地探究问题的能力；(2)培养学生转化化归的数学思想；(3)培养学生归纳猜想的数学解题思想；(4)培养学生数形结合的数学素养；(5)培养学生的问题数学探究能力；(6)让学生感受数学的严谨美以及公式的对称美.2.教学方法创新 充分调动学生的积极性、主动性，以学生为主体、老师为主导的问题探究式教学，提高课堂效率.3.学生能力培养创新设计了运用余弦定理来解决实际问题解决的例子, 为学生提供运用余弦定理来研究等三角形形状的探究问题，以培养学生的问题解决能力和数学探究能力,体现了现代数学教育的价值取向.