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1、第24章 图形的相似一、知识要点1、 相似图形： 2、 成比例线段：注：线段的比有顺序性，线段成比例也有顺序性；在求线段的比或是运用线段成比例性质时，单位必须统一。3、 比例中项：，则b叫做比例中项。4、 相似三角形：形状相同，大小不一定相同的三角形。相似比：相似图形（三角形）的对应边的比值。5、 全等三角形：形状、大小都相同的三角形；相似比等于1时的相似三角形。全等三角形是特殊的相似三角形。6、 三角形的中位线及定理： 7、 三角形的重心及性质： 8、 梯形的中位线及定理： 9、 判断四条线段是否成比例的方法：（1） 将四条线段按大小顺序排列，计算前两条线段的比与后两条线段的比，若两比相等，
2、则四条线段成比例；若不相等，则不成比例。（2） 计算最长线段与最短线段的积以及另两条线段的积，若两积相等，则四条线段成比例；若不相等，则不成比例。1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；（1）（3）（2）几何表达式举例：(1) DEBC (2) DEBC (3) DEBC 2比例的基本性质： a:b=c:d ad=bc ； 3定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例：DEBCADEABC4定理：“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两
3、个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：A=A又AED=ACBADEABC5定理：“SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：又A=AADEABC 6“双垂” 出相似：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 几何表达式举例：(1) ACCB又CDABACDCBDABC7相似三角形性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、 周长的比都等于相似比；（3） 相似三角形面积的比，等于相似比的平方。(1) ABCEFG BAC=FE
4、G (2) ABCEFG 又AD、EH是对应中线(3) ABCEFG8、 位似图形的性质：对应顶点的连线经过位似中心；对应边平行或在同一条直线上；对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比。9、 位似图形的画法：确定位似中心，找关键点，连线10、 表示物体的位置用坐标确定位置；用角度和距离确定位置；11、 图形的变换与坐标：平移、旋转、轴对称、放大或缩小平移：左右平移、上下平移坐标的变化轴对称：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称的坐标变化放大或缩小：位似中心为坐标原点时，放大或缩小后的各点坐标变化三 常识：1三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.2相似形有传递性；即：
5、 12 23 13四、位似1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比2、掌握位似图形概念，需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似中心只有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应
6、点到位似中心的距离等于位似比（相似比）BACDE4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小作图时要注意:首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形专题1 比例及成比例线段例1：如图，ABC是顶角为36的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若ABC、BDC、DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE= 例2：已知a、b、c是ABC的三边，满足（1） 试求a
7、、b、c的值；（2） 判断ABC的形状。专题2 相似三角形的判定例3：如图，ABC是等边三角形，CE是外角角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E。（1）求证：ABDCED；（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长。DCBAEFBCDAE专题3 相似三角形的性质例4：在一长为8、宽为的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形上。其中面积EDCBA最小的直角三角形的较短直角边的长是 。专题4 相似三角形的应用例5：如图，AB=3AC，BD=3AE，又BDAC，点B、A、E在同一条直线上。（1） 求证：ABDCAE；（2） 如果AC=BD，AD=BD
8、，设BD=a，求BC的长。专题5 三角形、梯形的中位线D2C2B2A2D1C1B1A1DCBA例6：如图，四边形ABCD中，顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，在顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有 （1） 四边形A2B2C2D2是矩形；（2）四边形A4B4C4D4是菱形；（3）四边形A5B5C5D5的周长是；（4）四边形AnBnCnDn的面积是。专题6 位似例7：如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）A、2
9、DE=3MN B、3DE=2MN C、3A=2F D、2A=3F专题7 图形在坐标系中的变换例8：如下图，在对RtOAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到.(1) 在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2) 设P（x，y)为OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标。xyABCACBQPCBA例9(分类讨论）：如图，ABC中，C=90，BC=8cm，5AC-3AB=0，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动。若P、Q同时出发，经过多长时间CPQCBA？EDCBA例10（转化思想）：如图，梯形ABCD中，ABCD，CE平分BCD，CEAD于点E，DE=2AE.设CED的面积为S1，四边形ABCE的面积为S2，若S1=1，求S2的值。