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1、 1 / 11 一、选择题一、选择题 1(2019广元)如图,ABC 中,ABC90,BABC2,将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 DEC,连接 BD,则 BD2的值是_ 【答案】8+4 3 【解析】 连接 AD,过点 D 作 DMBC 于点 M,DNAC 于点 N,易得ACD 是等边三角形,四边形 BNDM 是正方形,设 CMx,则 DMMBx+2,BC2,CDAC2 2,在 RtMCD 中,由勾股定理可求 得,x3 - 1,DMMB3 +1,在 RtBDM 中,BD2MD2+MB28+4 3. 2（2019 滨州） 滨州） 如图， 在OAB 和OCD 中， OAOB， OCOD，
2、OAOC， AOBCOD40， 连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论：ACBD；AMB40；OM 平分BOC； MO 平分BMC其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 AOB=COD， AOC=BOD， 又OA=OB， OC=OD， AOCBO D ， AC=BD， 知识点知识点 30直角三角形、勾股定理直角三角形、勾股定理 2 / 11 故正确； AOCBO D ， MAO=MBO， 如图， 设 OA 与 BD 相交于 N， 又ANM=BNO， AMB=AOB=40 ，故正确；如图，过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足分别是
3、 E，F， AOCBO D ， AC=BD， OE=OF， MO 平分BMC， 故正确； 在AOC 中， OAOC， ACO OAC， AOCBO D ， OAC=OBD， ACOOBM， 在OCM 和OBM 中， ACO OBM，OMC=OMB，COMBOM，故错误，所以正确故选 B 3(2019广元)如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E.使得CDE15,连接 BE 并延长 BE 到 F,使 CFCB,BF 与 CD 相交于点 H,若 AB1,有下列结论:BEDE;CE+DEEF;SDEC 13 4 - 12 ,2 3 1 DH HC =-.则其中正确的结论有( ) A.
4、B. C. D. 【答案】A 【解析】利用正方形的性质,易得BECDEC,BEDE,正确;在 EF 上取一点 G,使 CGCE, CEGCBE+BCE60,CEG 为等边三角形,易得DECFGC,CE+DEEG+GFEF, 正确;过点 D 作 DMAC 于点 M,SDECSDMCSDME 13 412 -,正确;tanHBC23, HC23,DH1HC31,3+1 DH HC =,错误.故选 A. 3 / 11 4 （2019绍兴）绍兴）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水， 水 面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2
5、是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】【答案】A 【解【解析析】如图所示：设 DMx，则 CM8x， 根据题意得：（8x+8）33335， 解得：x4，DM6， D90，由勾股定理得：BM 2222 43BDDM+=+5， 过点 B 作 BHAH，HBA+ABMABM+ABM90， HBA+ABM，所以 RtABHMBD， BHBD ABBM =，即 3 85 BH =，解得 BH 5 24 ，即水面高度为 5 24 5 （2019益阳）益阳）已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AM=MN=2，NB
6、1，以点 A 为圆心，AN 长为半 径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC、BC，则ABC 一定是（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 【答案】【答案】B 【解析】如图所示， AM=MN=2，NB1， AB=AM=MN+NB2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， AB2= 52= 25，AC 2 = 42=16，BC 2 = 32= 9, H M B A D C 4 / 11 AC 2 + BC 2 = AB2， ABC 是直角三角形. 6.（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若
7、一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线 平分该平行四边形的面积如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形P 是其中 4 个小正方形 的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等 的两部分，则剪痕的长度是（） A22 B5 C 3 5 2 D10 【答案答案】D 【解析】【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心 O，作直线 OP，得线段 AB，则沿折痕 AB 裁剪，即可将 该图形面积两等分过点 A 作 ACBD 于点 C，则ACB90由中心对称的性质可知，BDEF AG，从而 BC1又 AC3，故在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB
8、 22 31+10故选 D 7. (2019宁波宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方 形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（） A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】【答案】C 【解题过程】【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可 知,c2a2b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重叠,即 S阴影S
9、重叠,故选 C. 8.（2019重庆重庆 B 卷）卷）如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 与点 E， AE=1.连接 DE，将AED 沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF，连接 DF.过点 D 作 DGDE 交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( ) 5 / 11 A.8 B.4 2 C.2 24+ D.3 22+ 【答案】【答案】D 【解析】【解析】ABC=45，ADBC， ABC 是等腰直角三角形， AD=BD. BEAC，ADBD， DAC=DBH， DBHDAC（ASA）. DGDE， BDG=ADE， DBGDAE（ASA
10、） ， BG=AE，DG=DE， DGE 是等腰直角三角形， DEC=45. 在 RtABE 中，BE= 22 312 2-= ， GE=2 21- ， DE= 2 2 2 - . D，F 关于 AE 对称， FEC=DEC=45， EF=DE=DG= 2 2 2 - ， DF=GE=2 21- ， 四边形 DFEG 的周长为 2（2 21-+2- 2 2 ）=3 2+2.故选 D F C B A D E G 6 / 11 二、填空题二、填空题 1 （2019苏州）苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方 魔板”图是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7
11、块制作成的“七巧板” ，图是用该“七巧板”拼成的 一个“家”的图形该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）. （图） （图） 【答案】 5 2 2 【解析】【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形与等腰三角 形全等，且它们的斜边长都为 1 2 10=5cm，设正方形阴影部分的边长为 xcm，则 5 x =sin45= 2 2 ， 解得 x= 5 2 2 ，故答案为 5 2 2 . 第 1题答图 2 （2019威海） 如图， 在四边形 威海） 如图， 在四边形 ABCD 中，中， ABCD， 连接， 连接 AC， BD.若若ACB9
12、0， ACBC,ABBD,则则ADC 【答案答案】105 【解析】【解析】过点 D 作 DE AB 于点 E， 过点 C 作 CFAB 垂足为 F，由ACB90，ACBC,得得 ABC 是等腰直角三角形，由三线合一得 CF 为中线，从而推出 2CF AB，由 ABCD 得得 DECF，由 7 / 11 ABBD 得 BD2DE， 在 RtDEB 中利用三角函数可得ABD30， 再由 ABBD 得得BADADB 75，最后由 ABCD 得得BADADC180求出求出ADC105. 3 （2019苏州）苏州）如图，一块舍有 45角的直角三角板，外框的一条直角边长为 8 cm，三角板的外框 线 和与
13、其平行的内框线之间的距离均为2cm， 则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号） （第 3 题） 【答案】10+12 2 第 3题答图 解析：解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，所以ABC 与DEF 有公共 内心 O，连接 AD、BE、FC 并延长相交于点 O，过 O 作 OGAB 于 G，交 DE 于 H.则 GH=2，SABC= 1 2 OG（AB+AC+BC）= 1 2 ABAC，OG= 8 8 84 2 888 2 ABAC ABACBC = + ，OH=85 2， DEAB，ODEOAB， OHDE OGAB = 8-5 2 88-4 2 DE =，
14、解得 DE=6-2 2， S阴影= SABC-SDEF= () 2 2 11 862 21012 2 22 =+. 4 （2019江西）江西）在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA1，CPDP 于点 P，则点 P 的坐标为 . 8 / 11 【答案】【答案】 （ 4 2322216+ ，0）或（）或（ 4 2322216+ ，0） 【解析】设点【解析】设点 P 的坐标为（的坐标为（x，0） ，） ， （1）当点）当点 D 在线段在线段 AB 上时，如图所示：上时，如图所示： DA=1，点 D
15、的坐标为（ 2 2 4， 2 2 ）. 222 ) 2 2 4() 2 2 4(4+=CD 22 ) 2 2 (2416) 2 2 (+=2417=， 222 ) 2 2 () 2 2 4(+= xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2+=xx 2417)28( 2 +=xx， 222 4)4(+= xPC328 2 +=xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC=+， 2417)28( 2 +xx328 2 +xx2417=， 即032)216(2 2 =+xx， =3224)216( 2 =23220， 原方程无解，即符合要求的点 P 不存在. （2）当点）
16、当点 D 在线段在线段 BA 的延长线上，如图所示：的延长线上，如图所示： 9 / 11 DA=1，点 D 的坐标为（ 2 2 4+， 2 2 ）. 222 ) 2 2 (4) 2 2 4(4+=CD 22 ) 2 2 4() 2 2 (+=2417+=， 222 ) 2 2 () 2 2 4(+= xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2+=xx 2417)28( 2 +=xx， 222 4)4(+= xPC328 2 +=xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC=+， 2417)28( 2 +xx328 2 +xx2417+=， 即032)216(2 2
17、=+xx， =3224)216( 2 +=2322+0， 22 2322216 + =x 4 2322216+ =， 点点 P 的坐标为（的坐标为（ 4 2322216+ ，0）或（）或（ 4 2322216+ ，0）. 5（2019株洲）（2019株洲）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，E、F 分别 为 MB、BC 的中点，若 EF1，则 AB 10 / 11 【答案】4 【 【答案】4 【解析】 因为 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，所以 AB=2CM,又因为 E、F 分别为 MB、 BC 的中点，所以 EF 为中位线，所以
18、CM=2EF,从而 AB=4EF=4。 6. (2019枣庄)把两个同样大小含 45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与 另一个三角尺的直角顶点重合于点 A,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB2,则 CD _. 【答案】62 【解析】 在等腰直角ABC 中,AB2,BC2 2,过点 A 作 AMBD 于点 M,则 AMMC 1 2 BC 2,在 RtAMD 中,ADBC2 2,AM2,MD6,CDMDMC62. 7. (2019 巴中)如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,分别连接 AP,BP,CP,若 AP6,BP8,CP10,则 SABP+S BP
19、C_. 11 / 11 【答案】163+24 【解析】将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60到CBP,连接 PP,所以 BPBP,PBP60,所以BPP 是等边三角形,其边长 BP 为 8,所以 SBPP163,因为 PP8,PCPA6,PC10,所以 PP2+PC2PC2, 所以PPC 是直角三角形,SPPC24,所以 SABP+SBPCSBPP+SPPC163+24. 三、解答题三、解答题 1.(2019巴中巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点 C 在直线 m 上,分别过点 A,B 作 AE直线 m 于 点 E,BD直线 m 与点 D. （1）求证:ECBD; （2）若设AEC 三边分别为 a,b,c,利用此图证明勾股定理. 证明：证明： （1）ABC 是等腰直角三角形, ACB90,ACBC, ACE+BCD90, AEEC, EAC+ACE90,BCDCAE, BDCD, AECCDB90, AECCDB(AAS), ECBD. （2）AECCDB,AEC 三边分别为 a，b，c,， BDECa,CDAEb,BCACc, S梯形 1 2 (AE+BD)ED 1 2 (a+b)(a+b), S梯形 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab， 1 2 (a+b)(a+b) 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab, 整理可得 a2+b2c2,故勾股定理得证.