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1、第2讲 合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 . 归纳推理:. 2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( ) A.小前提错B.结论错 C.正确的D.大前提错 【答案】 C 【解析】 这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确. 3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b平面直线平面则直线b直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误
2、 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【答案】 A 【解析】 由演绎推理的三段论可知答案应为A. 4.观察下列各式:2 401,则的末两位数字为( ) A.01B.43C.07D.49 【答案】 B 【解析】 (方法一)由题意得由于 401末位为1,倒数第二位为0,因此2 的末两位定为01.又343,的末两位定为43. (方法二)用归纳法:16 117 543,由上知末两位有周期性且T=4. 又的末两位与的末两位一样,为43. 5.在等差数列中,若则有等式且N成立.类比上述性质,相应地,在等比数列中,若则有等式 成立. 【答案】 【解析】 对于等差数列,若有根据等差中项的知识,有
3、0,所以必有N. 此时有即k=10. . 类似地:对于等比数列,若由等比中项的知识,有=. . k=9. . 课后作业夯基基础巩固1.下列表述正确的是( ) 归纳推理是由部分到整体的推理; 归纳推理是由一般到一般的推理; 演绎推理是由一般到特殊的推理; 类比推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理. A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: “mn=nm”类比得到“ab=ba”; “(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b) c
4、=ac+bc”; “”类比得到“（ab）c=a（bc）”; “”类比得到“p0, a p=xpa=x”; “|=|m|n|”类比得到“| ab |=|a|b|”; “”类比得到“”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 【答案】 B 【解析】 正确;错误. 3.已知ABC中,求证:ab. 证明: a|AB|,则P点的轨迹为椭圆 B.由求出猜想出数列的前n项和的表达式 C.由圆的面积猜想出椭圆的面积S=ab D.以上均不正确 【答案】 B 【解析】 从猜想出数列的前n项和是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理. 6.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时
5、,其离心率为此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中, . .而 .在等号两边同除以得. 7.观察下列等式:,根据上述规律,第四个等式为 . 【答案】 或 【解析】 , 所以. 8.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按如下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,
6、以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)= ;f(n)= (答案用n表示). 【答案】 10 【解析】 f(1)=1,由题图可得 f(2)=3+1=4 f(3)=6+3+1=10. f(4)=10+6+3+1=20. 可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足1,3,6,10,其通项公式是. f(5)=f(4)+15, f(n)=f. . . 9.观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第五个等式应为 . 【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】 观
7、察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连续9个自然数的和,第一个数为5,第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=1第二行9=3第三行25=5第四行49=7则第5行应为81=9 第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 10.设等差数列的前n项和为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为则 , 成等比数列. 【答案】 【解析】 对于等比数列,通过类比,可得成等比数列. 11.已知等式:sin+;
8、; ;. 由此可归纳出对任意角度都成立的一个等式,并予以证明. 【证明】 归纳已知可得: )+sincos. 证明如下: sincos)+sincos) =sincossinsincossin =sincossincossin =sin. 等式成立. 12.已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明. 【解】 类似的性质为:若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为、时,那么与之
9、积是与点P的位置无关的定值. 证明:设点M、P的坐标分别为(m,n)、(x,y), 则N(-m,-n). 因为点M(m,n)在已知双曲线上, 所以.同理. 则定值). 13.已知等差数列的公差d=2,首项. (1)求数列的前n项和; (2)设求;并归纳出与的大小规律. 【解】 . 2n+3)-5, . . . 由此可知当时. 归纳猜想:当N时. 拓展延伸14.设N计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确. 解: . 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当N时的值都为质数.n=40时40+1)+f(40)是合数. 因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确. 7用心 爱心 专心