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1、高三数学导数综合（文）人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数综合二. 重点、难点：1. 导数应用题2. 函数（）定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间（，0）（0，+）图象 3. （） 定义域R，值域为R，有两根（，）（）（，+）（，）（）（，+）R上无极值R上无极值【典型试题】例1 研究函数的性质。解：（，1）（1，1）（1，+） 定义域R，值域 奇函数例2 已知二次函数的图像过原点和点（m，0）与点（m+1，m+1）（I）求的表达式；（II）设且在和（）处取到极值。（1）求证：；（2）若，则过原点且与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？解：（I）设（）
2、，由题意得，解得 （II） 由题意知，为方程的两个实根又， 两根分布在（0，n）（n，m）内又 设两切点的横坐标分别为，则切线的方程为又过原点， 解得或，同理或， 例3 已知函数在x=0处取得极值，曲线过原点和点P（1，2），若曲线在点P处的切线与直线的夹角为45，且该切线的倾斜角为钝角。（1）求的表达式；（2）求的单调区间。解：（1） 曲线过原点 ，又是的极值点 （2分）又 过点P（1，2）的切线斜率为，又由题意解得：（不合题意，舍去）由即解得 （2），令得或所以在区间（，2）和（0，+）在内为增函数令得，所以在区间（2，0）内为减函数综上知的单调区间为（，2），（0，+），（2，0）例4
3、已知函数，当时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值。（1）求的值及函数的极小值；（2）若对任意，不等式恒成立，试确定实数的最小值。（1）解：， 及x=3时取得极值 1，3是方程的根，即为的两根由一元二次方程根与系数的关系，有 时极大值是7， ，极小值 极小值为25（2）解：由（1）知在（1，0）上是减函数且在1，0上最大值，在1，0上最小值对任意（1，0）恒有成立 ，即的最小值为5例5 已知函数，其中。（1）求证：函数取极大值和极小值的点各有一个；（2）当的极大值为1，极小值为1时，过曲线上一点P（3，）作这条曲线的切线，求此切线的方程。（1）证明：令，即（*） ，故方程（*）有两个不等的实
4、根，记为，不妨设，的变化情况如下表：（，）（，）（，+）0+0极小值极大值由表可见，取极大值和极小值的点各有一个（2）解：由（1），可知即两式相加，得 又，代入，得 而 ，代入（*），得 ，代入，得 函数解析式为当x=3时， P（3，）又 ，由点斜式知所求切线方程为例6 已知函数（1）若在上是单调减函数，求实数的取值范围；（2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。（1）令在上是减函数由，得 在上是增函数，对0恒成立又 恒成立，即 ，故，可得， 综上可得（2）=令， ，则，令当时，显然不成立当时，当且仅当时，取最小值 当时，在为减函数且恒成立解，得 当，则，即不成立综上得例7 已知在时取
5、得极值，且。（1）试求常数的值；（2）试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由。解：（1） 是函数的极值点， 是方程，即的两根由根与系数的关系，得又 由解得（2）， 当或时，当时， 函数在（，1）和（1，+）上是增函数，在（1，1）上是减函数 当x=1时，函数取得极大值，当x=1时，函数取得极小值例8 已知，且（1）设，求的解析式；（2）设，试问：是否存在实数，使在（，1）内为减函数，且在（1，0）内是增函数。解：（1）由题意得 ， ， （2）若满足条件的存在，则 函数在（，1）上是减函数， 当时，即对于（，1）恒成立 ， ， ，解得又函数在（1，0）上是增函数， 当1x0时，即对于（1，0
6、）恒成立， ， ，解得故当时，在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数，即满足条件的存在。例9 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最少？解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距离D点xkm，则 BD=40，AC=50x， 又设总的水管费用为y元，依题意有：，令，解得在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义函数在x=
7、30（km）处取得最小值，此时AC=50x=20（km） 供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省解法二：设BCD=Q，则BC=，CD=（） 设总的水管费用为，依题意，有 令，得根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时 AC=5040cot=20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。例10 某隧道长a米，最高限速为米/秒。一匀速行进的车队有10辆车，每车长米，相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k，从第一辆车车头进隧道至10辆车车尾离开隧道所用的时间是t秒。（1）求出的解析式并求出定义域；（2）求出的最小值，并求出取最小值时的
8、的值。分析：本例不是很难，关键是明确车队所走的总路程应是隧道长加上10个车身和9个间距。解析：（1） 相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k， 整个车队走完隧道的总路程为：， 所用的时间为：故的解析式为，其定义域为（2）解法一： （当且仅当，即时取等号）， 当时，当时， ， ， 当时，解法二： ， 令， ， （1）当时，可列下表：0+t极小值 当时，（2）当时，函数在上为减函数，即当【模拟试题】1. 函数在区间内是减函数，则应满足（ ）A. 且b=0B. 且C. 且D. 且2. 点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 已知
9、曲线与曲线在处的切线互相垂直，则（ ）A. B. C. D. 4. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 6. 设在上可导，且，则当时，有（ ）A. B. C. D. 7. 函数的值域是（ ）A. B. C. D. 8. 设函数的图象上的点的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（ ）9. 函数在（0，1）内有极小值，则（ ）A. B. C. D. 10. （2007，全国II）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1 D. 11. （2007，福建）已知对任意实数x，有
10、，且时，则时（ ）A. B. C. D. 12. （2007，江苏）已知二次函数的导数为，对于任意实数x，有，则的最小值为（ ）A. 3B. C. 2D. 13. 设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。14. 设x=1与x=2是函数的两个极值点。（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值还是极小值，并说明理由。15. 设关于x的方程的两根为，函数，（1）求的值；（2）证明是上的增函数；（3）当a为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小？【试题答案】1. B 2. D3. A4. A5. A6. C7. B8. A 9. A10. A11. B12. B13. 解：若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾若， ，也只有一个单调区间，矛盾若 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和，单调增区间为 14. 解：（1）由极值点的必要条件可知：即，且，解方程组可得 （2），当时，当时，当时，故在x=1处函数取得极小值，在x=2处函数取得极大值。15. 解：（1），（2）设，则当时， 函数在上是增函数（3）函数在上最大值，最小值 当且仅当时取最小值4，此时