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1、不等式恒成立问题的解法,1,含参数不等式恒成立问题的解法,不等式恒成立问题的解法,2,一、方法引入： .数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ,，则： f(x)0恒成立 f(x)0恒成立,含参数不等式恒成立问题的解法,不等式恒成立问题的解法,3,（2）ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： _。,同理， ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： _。,不等式恒成立问题的解法,4,2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 f(x)恒成立的充要条件是：_; f(x)恒成立的充要条件是：_ 的思想，去解不等式的方法。,
2、不等式恒成立问题的解法,5,二、典型例题： 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) （1）当| x | 2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | 2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .,当1-m1, (*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为：,解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；,(1-m)(-2)2+(m-1)(-2)+ 3 0,当1-m0时，即m1 ,(*)式在x -2,2时恒成立的充 要条件为：,=(m-1)2-12(I-m)0 ，,解得: -11m1；,解得: 1m,综上可知: 适合条件的m的
3、范围是: （-11， ）,不等式恒成立问题的解法,6,则 g(m)0恒成立,解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m -2,2）, x （ ， ）,例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 . (*) （1）当| x | 2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | 2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .,不等式恒成立问题的解法,7,练习1: 对于一切 |p| 2，pR，不等式x2+px+12x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： ,（-，-1）（3，+）,小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。,2、二次函数型问题，结
4、合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。,不等式恒成立问题的解法,8,例2、若不等式x2 0,对x -3,3恒成立，则实数k 的取值范围是 .,在同一坐标系下作它们 的图象如右图:,由图易得: a 1,不等式恒成立问题的解法,9,-,y=kx,y=2 x,y= - 2 x,解：原不等式可化为：x2+2kx,例2、若不等式x2 0,对x -3,3恒成立，则实数k的 取值范围是 .,设 y1= x2+2 (x -3,3) y2= kx,在同一坐标系下作它们的图 象如右图:,由图易得: -2 k2,(- , ),不等式恒成立问题的解法,10,小结: 3、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想
5、转化为函数 图象的关系再处理。,练习2、 若 kx-1 对x 1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范 围是：_。,2，+）,不等式恒成立问题的解法,11,例3、若不等式x +2 a(x+y)对一切正数x、y恒成 立，则实数a的取值范围是 。,令 （t 0）,解: 分离参数得: a ,又 令1+2t=m（m 1），则,f(m)=, a f (x) max= 即a ,(当且仅当m= 时等号成立),恒成立, 则 a （t 0） 恒成立,不等式恒成立问题的解法,12,小结： 4、 使用分离参数法，将问题转化为f(x) （或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。,注意：f(
6、x)恒成立的充要条件是：_; f(x)恒成立的充要条件是：_。,f (x) max,f (x) min,不等式恒成立问题的解法,13,例、已知a0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b1，证明对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件是: b-1a2 ； （2）当0b1时,讨论:对任意的x 0,1，|f(x)|1充要条件。,不等式恒成立问题的解法,14, x (0,1， b1 bx+ 2 (x= 时取等号 ),故 x (0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2, ( bx- )max=b-1 (x=1时取得 ),又 bx - 在(0,1上递增,又 x=0时，|f(x)|1恒成立, x
7、 0,1时原式恒成立的充要条件为: b-1a2,不等式恒成立问题的解法,15,故 ( bx+ )min =b+1 (x=1时取得),(2) 0b1时，对x (0,1，|f(x)|1 恒成立,此时 ( bx- )max=b-1 (x=1时取得),故 （*）式成立的充要条件为: b-1ab+1, x (0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,而 bx + 在(0,1上递减,又 x=0时，|f(x)|1恒成立, x 0,1时原式恒成立的充要条件为: 0 a b+1,又 a0,不等式恒成立问题的解法,16,三、方法小结：,2、对于f(x)g(x)型问题， 或利用数形结合思想转化为函数图象的关
8、系处理； 或利用分离参数法，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。,1、数形结合法：即对于一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解；对于二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。,不等式恒成立问题的解法,17,4 、已知f(x)= (x R) 在区间 -1，1上是增函数。 （1）求实数 a 的值所组成的集合A； （2）设关于x 的方程f(x)= 的两根为x1、x2，试问：是否存在实数m，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意a A及t -1，1 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。,1、当x (0,1)时，不等式x2 loga(x + 1)恒成立，则实数a的取值范围是_。,3、若不等式ax2-2x+20 对x (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。,2、若不等式|x-a|+|x-1|2 对x R恒成立，则实数a的取值范围是_。,四、练习题：,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,