2016年四川省绵阳市高一下学期期末数学试卷与解析答案.pdf

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1、2015201620152016 学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的 1（4 分） 如图， 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 则图中与相等的向量是 （） ABCD 2 （4 分）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中， 着色的小三角形个数构成数列an的前 4 项，则an的通项公式可以是（）

2、Aan=3n1Ban=2n1Can=3nDan=2n1 3 （4 分）已知平面向量 ， 满足 =1，且| |=2，| |=1，则 ， 的夹角为 （） ABCD 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） AB2C4D8 5 （4 分）设m，n 是不同的直线， 是不同的平面，以下四个命题中正确的 第 1 1 页（共 1717 页） 是（） A若 ，m，则 mB若 ，m，n，则 mn C若 ，m，n，则 mnD若 ，n，m，则 mn 6 （4 分）如图正方体ABCDA1B1C1D1中，点E 是棱 A1B1的中点，则直线AE 与 直线 B1C 所成角的余弦值为（） ABC D 7

3、 （4 分） Asin3+cos3 化简的结果为（） Bsin3+3cos3 Csin3cos3 Dsin33cos3 8 （4 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 则ABC 的形状是（） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 9 （4 分）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A 处时测得公路 北侧一铁塔底部 C 在西偏北 30的方向上，行驶 200m 后到达 B 处，测得此铁塔 底部 C 在西偏北 75的方向上，塔顶D 的仰角为 30，则此铁塔的高度为（） =， AmB50m C100m D100 |=2， | m =2，

4、则=10（4 分） 在ABC 中， C=90， 且| （） A1B2C3D4 |=3， 点 M 满足 第 2 2 页（共 1717 页） 11 （4 分）如图所示，AO平面 BOC，OAB=30，AOC 与AOB 全等，且 二面角 BAOC 是直二面角，动点 P 在线段 AB 上，则 CP 与平面 AOB 所成角 的正切的最大值为（） A1BCD 12 （4 分）等差数列0，2，4，6，8，10，按如下方法分组： （0） ， （2，4） ， （6， 8，10） ， （12，14，16，18） ，则第 n 组中 n 个数的和是（） A 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小

5、题 3 3 分，满分分，满分 1212 分）分） 13 （3 分）计算：cos215sin215= 14 （3 分）等差数列an满足 a3+a8=2，则该数列前 10 项和 S10= 15 （3 分）已知 tan（）=，tan= ，则 tan（+）= Bn（n21） Cn31D 16 （3 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，其中 ABAC， SAAC，SA=2，AB=AC= 为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 4 小题，共小题，共 4040 分。解答应写出文字说明，证明过程或演分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤算步骤. . 17 （10 分）已知

6、锐角ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足 a=2bsinA （1）求角 B 的大小； （2）若 b=，a+c=4，求ABC 的面积 ，若顶点 S 到 BC 边中点的距离为，则球 O 的体积 18 （10 分）已知向量 =（sinx，） ， =（cosx，1） 第 3 3 页（共 1717 页） （1）当 时，求 tan2x 的值； （2）设函数 f（x）=（ + ） ，已知 f（）=且 0，求 的值 19 （10 分）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD， ABCD，AB=AD=2，CD=4，M 为 CE 的中点 （I）求证：BM平面

7、 ADEF； （）求证：平面 BDE平面 BEC 20 （10 分）数列an中，a1=1，设 Sn是an的前 n 项和，且满足 Sn+ 1=2Sn+1 （1）证明数列Sn+1是等比数列，并求出数列an的通项公式； （2）设bn=，Tn为数列bn的前 n 项和，函数 f（x）= x2+2axa2+a1，若Tnf（x）对所有的nN*和 xR 都成立，求实数a 的范 围 第 4 4 页（共 1717 页） 2015201620152016 学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷学年四川省绵阳市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12

8、12 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的 1（4 分） 如图， 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 则图中与相等的向量是 （） ABCD 【解答】解：如图示： 与相等的向量是：， 故选：C 2 （4 分）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中， 着色的小三角形个数构成数列an的前 4 项，则an的通项公式可以是（） Aan=3n1Ban=2n1Can=3nDan=2n1 【解答】解：着色的小三角形个数构成数列an的前 4

9、 项，分别为：a1=1，a2=3， a3=33=32，a4=323， 因此an的通项公式可以是：an=3n1 故选：A 3 （4 分）已知平面向量 ， 满足=1，且| |=2，| |=1，则 ， 的夹角为 （） 第 5 5 页（共 1717 页） ABCD 【解答】解：平面向量 ， 满足 =1，且| |=2，| |=1， 设 ， 的夹角为 ， 可得 cos= 可得 故选：B 4 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） =， AB2C4D8 【解答】解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半 径直径为 2，高为 2 体积 V= 故选：A 5 （4 分）设m

10、，n 是不同的直线， 是不同的平面，以下四个命题中正确的 是（） A若 ，m，则 mB若 ，m，n，则 mn C若 ，m，n，则 mnD若 ，n，m，则 mn = 【解答】解：若 ，m，则 m、 的位置关系不确定，故 A 不正确； 若 ，m，n，则 mn，故 B 不正确； 若 ，m，n，则 mn 或 m，n 相交或 m，n 异面，故 C 不正确； 在 内作直线 a 垂直于两个平面的交线 l，则 al，a，n， 第 6 6 页（共 1717 页） an，m，a，ma，mn，正确 故选：D 6 （4 分）如图正方体ABCDA1B1C1D1中，点E 是棱 A1B1的中点，则直线AE 与 直线 B1C

11、 所成角的余弦值为（） ABCD 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系 不妨设 AB=2，则 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ， C（0，2，0） ，E（2，1，2） ，B1（2，2，2） =（0，1，2） ，=（2，0，2） cos= 直线 AE 与直线 B1C 所成角的余弦值为 故选：A 7 （4 分）化简的结果为（ Asin3+cos3Bsin3+3cos3 Csin3cos3 Dsin33cos3 【解答】解： = 第 7 7 页（共 1717 页） ） =sin3+cos32cos3 =sin3cos3 故选：C 8 （4 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为

12、a，b，c，若 则ABC 的形状是（） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【解答】解：因为： 所以由正弦定理可得： 整理可得：acosA=bcosB， 所以 sinAcosA=sinBcosB，所以 2A=2B 或 2A= 2B， 所以 A=B 或 A+B=90 所以三角形是等腰三角形或直角三角形 故选：D 9 （4 分）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A 处时测得公路 北侧一铁塔底部 C 在西偏北 30的方向上，行驶 200m 后到达 B 处，测得此铁塔 底部 C 在西偏北 75的方向上，塔顶D 的仰角为 30，则此铁塔的高度为（） =，可得：

13、， =， =， AmB50m C100m D100 h， m 【解答】解：设此山高 h（m） ，则 BC= 在ABC 中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600 根据正弦定理得 解得 h= ， （m） 第 8 8 页（共 1717 页） 故选：A 10（4 分） 在ABC 中， C=90， 且| （） A1B2C3D4 |=2，|=3，点 M 满足=2， |=2， |=3， 点 M 满足=2， 则= 【解答】解：ABC 中，C=90，且| 则 = =0， =（ + +）=（+）=+（）=（+） =32+0=3， 故选：C 11 （4 分）如图所示，AO平面 BOC，OAB=3

14、0，AOC 与AOB 全等，且 二面角 BAOC 是直二面角，动点 P 在线段 AB 上，则 CP 与平面 AOB 所成角 的正切的最大值为（） A1BCD 【解答】解：AO平面 BOC，OAB=30，AOC 与AOB 全等，且二面角 B AOC 是直二面角， BOC=90， 则 CO平面 AOB， 连接 CP，OP， 则CPO 是 CP 与平面 AOB 所成的角， 第 9 9 页（共 1717 页） 设 OB=OC=1，则 AB=2，OA= 且 tanCPO=， ， 当 OP 最小时，tanCPO 最大， 即 OPAB，OP=，tanCPO=， 即 tan， CP 与平面 AOB 所成角的正

15、切值的最大值是 故选：D 12 （4 分）等差数列0，2，4，6，8，10，按如下方法分组： （0） ， （2，4） ， （6， 8，10） ， （12，14，16，18） ，则第 n 组中 n 个数的和是（） ABn（n21） Cn31D 【解答】解：由已知可得，前 n1 组含有非负偶数个数为 1+2+3+（n1） =（n2） ， ， 则第 n 组的第一个数为： 第 n 组中 n 个数的和是 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1212 分）分） 13 （3 分）计算：cos215sin215= 【解答】解：由二倍角的余弦公式可

16、得， cos215sin215=cos30= 第 1010 页（共 1717 页） 故答案为： 14 （3 分）等差数列an满足 a3+a8=2，则该数列前 10 项和 S10=10 【解答】解：等差数列an满足 a3+a8=2， 该数列前 10 项和： S10= 故答案为：10 15 （3 分）已知 tan（）=，tan= ，则 tan（+ 【解答】解：tan（）=，tan=， 则 tan=tan（）+=， ）= = tan（+）=， 故答案为： 16 （3 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，其中 ABAC， SAAC，SA=2，AB=AC= 为 ，若顶点 S 到 B

17、C 边中点的距离为，则球 O 的体积 【解答】解：取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，则 ABAC，AB=AC= BC=2，AD=1 SA=2，顶点 S 到 BC 边中点的距离为 SAAD， SAAC，ADAC=A， SA平面 ABC， ABAC， 三棱锥 SABC 可以扩充为长方体，三边长为 第 1111 页（共 1717 页） ， ， ，2， 长方体是对角线长为=2， ， 三棱锥 SABC 的外接球的半径为 球 O 的体积为 故答案为： = 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 4 小题，共小题，共 4040 分。解答应写出文字说明，证明过程或演分。解答应写出文字说明，证明过程

18、或演 算步骤算步骤. . 17 （10 分）已知锐角ABC 中内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足 a=2bsinA （1）求角 B 的大小； （2）若 b=，a+c=4，求ABC 的面积 【解答】 （本题满分为 10 分） 解： （1）由a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，（2 分） sinA0， sinB=， （4 分）则由ABC 为锐角三角形，得 B= （2）b=，a+c=4，B=， 由余弦定理有 b2=a2+c22accosB，（6 分） 得 b2=（a+c）22ac2accosB， 即 7=162ac（1+） ，解得 ac=3（9 分） 第

19、 1212 页（共 1717 页） ABC 的面积 S=acsinB= （10 分） 18 （10 分）已知向量 =（sinx，） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 tan2x 的值； （2）设函数 f（x）=（ + ） ，已知 f（）=且 0，求 的值 【解答】解： （1）向量 =（sinx，） ， =（cosx，1） ， cosx+sinx=0，于是 tanx=，（2 分） tan2x=（4 分） （2）函数 f（x）=（ + ） =（sinx+cosx，）（cosx，1） ） =sinxcosx+cos2x+ = =sin（2x+ + ）+，（8 分） ）+=，即 sin（2+

20、2+， （10 分） ）=，由题得 由 0 2+= sin（2+ ，得 ，解得 19 （10 分）如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD， ABCD，AB=AD=2，CD=4，M 为 CE 的中点 （I）求证：BM平面 ADEF； （）求证：平面 BDE平面 BEC 第 1313 页（共 1717 页） 【解答】证明： （I）取 DE 中点 N，连接 MN，AN 在EDC 中，M，N 分别为 EC，ED 的中点 MNCD，且 MN=CD， 由已知中 ABCD，AB=AD=2，CD=4， MNAB，且 MN=AB 四边形 ABMN 为平行四边形 BMAN 又AN

21、平面 ADEF BM 平面 ADEF BM平面 ADEF （II）ADEF 为正方形 EDAD 又正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，且 ED 平面 ADEF ED平面 ABCD EDBC 在直角梯形 ABCD 中，AB=AD=2，CD=4，可得 BC=2 在BCD 中，BD=BC=2 BCBD BC平面 BDE 又BC 平面 BEC 平面 BDE平面 BEC ，CD=4 20 （10 分）数列an中，a1=1，设 Sn是an的前 n 项和，且满足 Sn+ 1=2Sn+1 （1）证明数列Sn+1是等比数列，并求出数列an的通项公式； 第 1414 页（共 1717 页） （

22、2）设bn=，Tn为数列bn的前 n 项和，函数 f（x）= x2+2axa2+a1，若Tnf（x）对所有的nN*和 xR 都成立，求实数a 的范 围 【解答】 （）证明：Sn +1=2Sn+1，n=1 时，S1=a1=1；Sn0，Sn+10 变形为：Sn +1+1=2（Sn+1） ， 数列Sn+1是等比数列，首项为 2，公比为 2 Sn+1=2n，于是 Sn=2n1， n2 时，an=SnSn 1=2 n1，n=1 时也满足上式 数列an的通项公式为 an=2n1，nN* （）解：由（）知，bn= 数列bn的前 n 项和 Tn=3 ， 显然 Tn是单调递增数列，故当 n=1 时，Tn取得最小

23、值（Tn）min= 又由函数 f（x）=x2+2axa2+a1=（xa）2+a1，f（x）max=a1， Tnf（x）对所有的 nN*和 xR 都成立， 由题意（Tn）minf（x）max，即a1，解得 a 即实数 a 的取值范围为 【模型三】【模型三】 双垂型：图形特征：双垂型：图形特征： = + + =3 =3 =3 ， 赠送初中数学几何模型赠送初中数学几何模型 第 1515 页（共 1717 页） 6060 运用举例：运用举例： 1.在 RtABC 中，ACB90，以斜边 AB 为底边向外作等腰三角形PAB，连接 PC. （1）如图，当APB90时，若 AC=5，PC6 2，求 BC 的

24、长； （2） 当APB90时，若 AB=4 5，四边形 APBC 的面积是 36，求ACB 的周长. P P A A C CB B 2.已知：如图，B、C、E 三点在一条直线上，ABAD，BCCD. （1）若B90，AB6，BC2 3，求A 的值； （2）若BADBCD180，cosDCE AB3 ，求BC的值. 5 第 1616 页（共 1717 页） A A D D B B C CE E 3.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，DAB=BCD=90， （1）若 AB=3，BC+CD=5，求四边形 ABCD 的面积 （2）若 p= BC+CD，四边形 ABCD 的面积为 S，试探究 S 与 p 之间的关系。 C C D D A AB B 第 1717 页（共 1717 页）