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1、第5章 特征值与特征向量,5.1 矩阵特征值与特征向量,5.2 相似矩阵,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,考研园地,下页,5.1 矩阵特征值与特征向量,1. 矩阵的特征值与特征向量的定义,2. 矩阵的特征值与特征向量的性质,本章,上页,下页,5.1 矩阵特征值与特征向量,1. 矩阵的特征值与特征向量的定义,定义1,设A为n阶方阵, 是一个数,若存在非零列向量x,使得,则称是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值,的特征向量.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,它有非零解的充分必要条件是系数行列式,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,上页,下页,本节,5
2、.1 矩阵特征值与特征向量,是一个关于的n次多项式,记作f().,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,定义2,是一个未知量,则矩阵 EA称为A的,特征矩阵,其行列式,称为A的特征多项式,称为的特征方程,其根即为A的特征值,又称为特征根.,设n阶矩阵A特征方程,的n 个特征根为,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,定义3,是阶方阵,则,A的迹,记作 tr(A).,为方阵的一个特征值,则由方程,可求得非零解,特征向量,上页,下页,本节,例1,求矩阵,解,5.1 矩阵特征值与特征向量,的特征值与特征向量.,对应的全部特征向量为,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,
3、对应的全部特征向量为,上页,下页,本节,例2,求矩阵,解,5.1 矩阵特征值与特征向量,的特征值与特征向量.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,对应的全部特征向量为,对应的全部特征向量为,上页,下页,本节,例3,求矩阵,解,5.1 矩阵特征值与特征向量,的特征值与特征向量.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,对应的全部特征向量为,对应的全部特征向量为,上页,下页,本节,例4,求n阶数量矩阵,解,5.1 矩阵特征值与特征向量,的特征值与特征向量.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系.,取单位坐标向量,作为基础解系,
4、则矩阵A的全部特征向量为,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,2. 矩阵的特征值与特征向量的性质,性质1,设 A 是 n 阶方阵, 则 A 与 A有相同的特征值.,证,A 与 A有相同的特征多项式,因而有相同的特征值.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质2,n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值,证,若A可逆, 则,若A的任意一个特征值都不等于零,即,都不等于零.,设n阶方阵A的n个特征根为,从而A可逆.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质3,设A是n阶可逆阵, 是A的特征值, 则,证,A可逆,是方阵 A 的特征值,存在非零向量x, 使,
5、上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质4,设A是n阶可逆阵, 是A的特征值, 则,证,是方阵 A 的特征值,存在非零向量x, 使,其中 k 是一个非负整数.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质5,设,证,是阶矩阵, 若,有一个成立,则矩阵的所有特征值,的模小于1, 即,设为A的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,对矩阵A的所有特征值, 定理成立.,A与A有相同的特征值,对A的所有特征值, 定理成立.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质6,设,证,是
6、方阵A 的s 个互不相同的特征值,依次是与之对应的特征向量, 则,线性无关.,用数学归纳法证明.,特征向量不为零,因此定理成立.,设s1时, 定理成立,即方阵A的s1个不相同的特征值,对应的特征向量,线性无关.,下面证对于A的s 个不相同的特征值,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,对应的特征向量,线性无关.,(1),(2),上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,线性无关.,线性无关.,上页,下页,本节,5.1 矩阵特征值与特征向量,性质7,设,是方阵A 的s 个互不相同的特征值,A 的对应于 i的线性无关的特征向量为,则向量组,线性无关.,上页,下页,本节,例5,设 1
7、和 2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向,解,5.1 矩阵特征值与特征向量,量依次为,证明,不是 A的特征向量.,反证法.,是A的特征向量, 则应存在数,使,矛盾.,上页,下页,本节,5.2 相似矩阵,定义1,设 A,B 为 n 阶矩阵,若存在 n 阶可逆矩阵 P, 使得,则称矩阵A 与B 相似, 记作,相似变换矩阵.,本章,上页,下页,例1,设,5.2 相似矩阵,则 P可逆, 且有,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,相似具有以下性质:,(1) 反身性:,设A是n阶方阵, 则,证,(2) 对称性:,(3) 传递性:,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,定理1,设为n阶矩阵 A与 B
8、相似, 则,(1) A 与 B 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.,(2) A 与B 有相同的迹.,(3) A 与B 有相同的行列式.,(4) A 与B 的秩相等.,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,(1),存在n阶可逆矩阵P, 使得,证,故 A与 B有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.,A 与 B有相同的特征值,(2),一个方阵的迹等于它的所有特征值的和,A 与 B有相同的迹.,(3),取行列式,本章,上页,下页,例如,5.2 相似矩阵,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,定理2,设为n阶矩阵 A与 B相似, 则,(1) A 与B 有相同的可逆性.,(2) 若A与B可逆, 则
9、,(3) 若m为正整数, 则,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,(1),证,同时为零或不为零,(2),即A 与B 或都可逆, 或都不可逆.,且都可逆,则存在可逆矩阵P, 使得,定理1,本章,上页,下页,例2,设,5.2 相似矩阵,则P、Q都可逆, 且,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,定理3,n 阶矩阵 A 与n 阶对角矩阵,相似的充分必要条件是矩阵 A有n个线性无关的特征向量.,必要性.,证,若n阶矩阵A与阶对角矩阵相似,则存在可逆矩阵 P 使,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,是 P 的列向量组, 则,都是非零向量,都是 A 的特征向量, 且这n个
10、特征向量线性无关.,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,充分性.,是A的n个线性无关的特征向量,它们所对应,的特征值依次为,线性无关,可逆,且,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,推论,若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵,相似.,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,注意,A有n个相异特征值只是A与对角矩阵相似的充分条件,而非必要条件.,定义2,若n阶方阵A与对角矩阵相似, 则称矩阵A可以对角化.,例3,则P可逆, 且,本章,上页,下页,例4,5.2 相似矩阵,对应的特征向量为,则P可逆, 且,本章,上页,下页,5.2 相似矩阵,定理4,n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每
11、,例如,因此, 矩阵 A 不能对角化.,本章,上页,下页,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,1. 向量的内积,2. 正交向量组,3. 正交矩阵,本章,上页,下页,4. 实对称矩阵的特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,1. 向量的内积,的夹角的余弦为,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义1,称为向量,的内积, 记作,都是列向量时,有,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,内积有下列性质:,(1) 对称性:,(2) 线性性:,(3) 非负性:,上页,下页,本节,对于,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理1,(柯西许瓦茨不等式)
12、,中的任意两个向量,证,其中等号成立,当且仅当,先证不等式成立.,定理显然成立.,对任意实数t,有,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,再证等号成立,当且仅当,存在k, 使得,即对任意实数k,反之, 若,矛盾.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义2,向量的长度具有下列性质:,(1) 非负性:,(2) 齐次性:,(3) 三角不等式:,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,证,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,长度为1的向量称为单位向量.,单位化,定义3,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,2
13、. 正交向量组,定义4,记作,零向量与任意一个向量都正交.,上页,下页,本节,例1,中求与这两个向量都正交,解,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,的单位向量.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义5,则称该组向量为正交向量组.,则称该组向量为正交单位向量组.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理2,证,同理可证,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义6,V的一个标准正交基.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,坐标的计算公式,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,施密特(Schimi
14、dt)正交化方法:,正交化,单位化:,上页,下页,本节,例2,解,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,设线性无关的向量组,试将这组向量标准正交化.,施密特正交化方法.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,3. 正交矩阵,定义7,则称为正交矩阵,简称正交阵.,正交矩阵具有下述性质:,(1) 若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或1,即,(2) 若Q为正交矩阵, 则Q可逆, 且,(3) 若P,Q 都是正交矩阵, 则 PQ 也是正交矩阵.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理3,证,其列(行)向量组是
15、正交单位向量组.,设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是,Q为正交矩阵,上页,下页,本节,例3,解,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,验证下面的矩阵是正交矩阵:,Q的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以Q是正交矩阵.,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,4. 实对称矩阵的特征值与特征向量,定理4,实对称矩阵的特征值为实数.,设A是n阶实对称矩阵, 是A的特征值, x是A对应于,证,的特征向量,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理5,设A是n阶实对称矩阵,是A的两个不同的特征值,分别是对应的特征向量,证,上页,下页,本节,5.3 实
16、对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理6,设A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵Q, 使,为对角矩阵.,例4,设实对称矩阵,求一个正交矩阵Q, 使,为对角矩阵.,解,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,正交化: 令,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,本节,例5,解,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,A为实对称矩阵,A可对角化.,即存在可逆矩阵Q及对角矩阵,使,上页,下页,本节,5.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,上页,下页,本节,
17、特征值与特征向量问题,例1,解,考研园地,设A是n阶实对称矩阵, P是n阶可逆矩阵. 已知n维列向量,向量是( ) .,A为实对称矩阵,本章,上页,下页,例2,设n阶矩阵,(1) 求A的特征值和特征向量.,(2) 求可逆矩阵P, 使得,解,(1)观察矩阵, 可知,本章,上页,下页,若设B的列向量为,矩阵A对应于特征值,(k为任意非零常数),本章,上页,下页,A对应于特征值,的全部特征向量为,A的特征值:,任意n维非零列向量均为特征向量.,本章,上页,下页,A有n个线性无关的特征向量,对任意可逆矩阵P, 均有,本章,上页,下页,例3,设A为三阶实对称矩阵, 且满足条件,的秩,已知A,解,求 A的全部特征值.,设是矩阵A的任一特征值,是对应特征值的特征向量,A是实对称矩阵, 必可对角化, 且,本章,上页,下页,