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1、四川省南充市四川省南充市 2018-20192018-2019 学年高二下学期第一次月考学年高二下学期第一次月考 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 一、选择题（一、选择题（6060 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 1抛物线 y=4x2的准线方程是（） Ay=1 By=1Cy=Dy= 2函数 y=sinxcosx，则 f（）的值是（） A1 B0C1D 3抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2=1 的渐近线的距离是（） ABC1 D 4函数 y=f（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的图象可能是（） A B C D 5焦点为（0，6） ，且与双曲线=1 有相同的渐近线的双曲线方程是（
2、 AB CD 6函数函数 f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（） A （，2） B （0，3） C （1，4） D （2，+） 7设函数的极大值为 1，则函数 f（x）的极小值为（ ） AB1 C D1 ） 8曲线 y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） Ae2B2e2 Ce2De2 9已知直线 y=ax 是曲线 y=lnx 的切线，则实数 a=（） ABC D 10已知抛物线 C：y2=2px（p0） ，过其点 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，若|AF|：|BF|=3： 1，则直线 l 的斜率等于（） AB1 C D 11若椭圆 Ax+y3=0 的弦被
3、点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（） Bx+2y4=0C2x+13y14=0Dx+2y8=0 的左、右焦点，过F1且垂直于 x 轴的直线与12已知点F1、F2分别是椭圆 椭圆交于 A、B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（） A （0， 二、填空题（二、填空题（2020 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 13 f（2） =函数 f（x） 的图象在点 （2，） 处的切线方程为 2xy3=0， 则 f（2）+f （2） 1）B （1，1）C （0，1）D （l，1） 14点 P 是曲线 y=x2上任意一点，则点 P 到直线 y=2x2 的最小距离为 1
4、5设M 是椭圆 求椭圆的离心率 16若以曲线 y=f（x）上的任意一点 M（x，y）为切点作切线 L，曲线上总存在异于 M 的点 N （x1，y1） ，使得过点 N 可以作切线 L 1，且 LL1，则称曲线 y=f（x）具有“可平行性”下面有 四条曲线： y=x3xy=x+ y=sinx y=（x2）2+lnx 其中具有可平行性的曲线为 （写出所有满足条件的曲线编号） 三、解答题（本答题共三、解答题（本答题共 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 上一点，F1，F2为焦点，如果MF1F2=75，MF2F1=
5、15， 17已知函数 f（x）=x2+xlnx （1）求 f（x） ； （2）求函数 f（x）图象上的点 P（1，1）处的切线方程 18已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点坐标为（1，0） （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线 l：y=x1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB| 19已知函数 f（x）=x3+bx2+cx1 在 x=2 时取得极值，且在点（1，f（1） ）处的切线的 斜率为3 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间1，2上的最大值与最小值 20已知双曲线 C 与椭圆 （1）求双曲线 C 的方程； （2） 若直线 求 k 的取值范围
6、21已知函数 f（x）=x+ +lnx，aR （）若 f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值； （）若 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求 a 的取值范围； （）讨论函数 g（x）=f（x）x 的零点个数 22已知椭圆 C： +y2=1（a0） ，过椭圆 C 右顶点和上顶点的直线 l 与圆 x2+y2= 相切 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B， 且（其中 O 为原点） ， 有相同的焦点，实半轴长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两 条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+
7、k2=2，证明：直线 AB 过定点 四川省南充市四川省南充市 2018-20192018-2019 学年高二下学期第一次月考学年高二下学期第一次月考 数学试卷（文科）参考答案数学试卷（文科）参考答案 一、选择题（一、选择题（6060 分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 1抛物线 y=4x2的准线方程是（） Ay=1 By=1Cy=Dy= 【考点】K7：抛物线的标准方程 【分析】将抛物线化成标准方程得 x2= y，算出2p= 且焦点在 y 轴上，进而得到 = 该抛物线的准线方程 【解答】解：抛物线 y=4x2化成标准方程，可得 x2= y， 抛物线焦点在 y 轴上且 2p= ，得 = 因此抛
8、物线的焦点坐标为（0， 故选：D 2函数 y=sinxcosx，则 f（）的值是（） A1 B0C1D ， ，可得 ） ，准线方程为 y= 【考点】63：导数的运算 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得 f（x）=cosx+sinx，令 x= 计算可得 f（） ，即 可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）=sinxcosx， 则 f（x）=cosx+sinx，f（）=cos+sin=1； 故选：A 3抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2 ABC1 D =1 的渐近线的距离是（） 【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质 【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点 F
9、（1，0） 由双曲线标准方程，算出它 的渐近线方程为 y= 求距离 【解答】解：抛物线方程为 y2=4x 2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（1，0） 又双曲线的方程为 x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所 a2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= 双曲线的渐近线方程为 y= 化成一般式得： ， ，即 y=x， 因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= 故选：B = 4函数 y=f（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的图象可能是（） A B C D 【考点】3O：函数的图象；63：导数的运算 【分析】先看定义域，然后先依据原函数的单调性，判断导函
10、数的符号，还无法辨别的再根据 原函数增减的快慢判断导函数的绝对值的大小 【解答】解：依据原函数图象可看出当 x0 时，函数 y=f（x）递增，所以此时 f（x）0， y=f（x）的图象在 x 轴上方； 当 x0 时，函数 y=f（x）递减，所以 f（x）0，y=f（x）的图象在 x 轴下方 故选 D 5焦点为（0，6） ，且与双曲线 AB =1 有相同的渐近线的双曲线方程是（） CD 【考点】KC：双曲线的简单性质 【分析】设所求的双曲线方程是 方程是， ，由 焦点（0，6）在 y 轴上，知 k0，故双曲线 据 c2=36求出 k 值，即得所求的双曲线方程 【解答】解：由题意知，可设所求的双曲
11、线方程是 0， 所求的双曲线方程是，由k+（2k）=c2=36，k=12， ，焦点（0，6）在 y 轴上，k 故所求的双曲线方程是 故选 B ， 6函数函数 f（x）=（x3）ex的单调递增区间是（） A （，2） B （0，3） C （1，4） D （2，+） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】首先对 f（x）=（x3）ex求导，可得 f（x）=（x2）ex，令 f（x）0，解可得答 案 【解答】解：f（x）=（x3）ex+（x3） （ex）=（x2）ex，令 f（x）0，解得 x2 故选：D 7设函数的极大值为 1，则函数 f（x）的极小值为（ ） AB1 C D1 【考点】
12、6D：利用导数研究函数的极值 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值 即可 【解答】解： f（x）=x21， 令 f（x）=x21=0，解得 x=1， 当 x1 或 x1 时，f（x）0， 当1x1 时，f（x）0； 故 f（x）在（，1） ， （1，+）上是增函数，在（1，1）上是减函数； 故 f（x）在 x=1 处有极大值 f（1）= +1+m=1，解得 m= f（x）在 x=1 处有极小值 f（1）= 1+ = ， 故选：A 8曲线 y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） Ae2B2e2 Ce2De2 ， 【考点】6H：
13、利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先 利用导数求出在 x=2 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率最后求出切 线的方程，从而问题解决 【解答】解析：依题意得 y=ex， 因此曲线 y=ex在点 A（2，e2）处的切线的斜率等于 e2， 相应的切线方程是 ye2=e2（x2） ， 当 x=0 时，y=e2 即 y=0 时，x=1， 切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S= e21= 故选 D 9已知直线 y=ax 是曲线 y=lnx 的切线，则实数 a=（） ABC D 【考点】6H：利用导数研究曲线
14、上某点切线方程 【分析】欲求 k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值， 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】解：y=lnx，y= 设切点为（m，lnm） ，得切线的斜率为 ， 所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm= （xm） 它过原点，lnm=1，m=e， a= 故选 C 10已知抛物线 C：y2=2px（p0） ，过其点 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，若|AF|：|BF|=3： 1，则直线 l 的斜率等于（） AB1 C D 【考点】K8：抛物线的简单性质 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，
15、A 在第一、三象限，利用|AF|：|BF|=3：1，求出 A 的坐 标，即可求出直线 l 的斜率 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，A 在第一象限， |AF|：|BF|=3：1， 故 y1=3y2，x1 =3（ x2） ， x1= p，y1=p， = 直线 l 的斜率等于 同理 A 在第三象限，直线 l 的斜率等于 故选：D 11若椭圆 Ax+y3=0 的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（） Bx+2y4=0C2x+13y14=0Dx+2y8=0 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系 【分析】设直线交椭圆于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，把两点坐标代入
16、椭圆方程，利用点差法求 得斜率，然后求解直线方程 【解答】解：设直线与椭圆交于点 A，B，再设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由题意得， 两式相减，得（x12x22）+2（y12y22）=0， 即=， 点 M（2，1）是 AB 的中点， kAB=1， 则所求直线方程为 y1=（x2） ，即 x+y3=0； 故选：A 12已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于 x 轴的直线与 椭圆交于 A、B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（） A （0，1）B （1，1）C （0， 1）D （l，1） 【考点】K4：椭圆的简单性质 【分析】由题设知
17、 F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（c， 角三角形，知 tanAF2F11，所以 ） ，B（c，） ，由ABF2是锐 ，由此能求出椭圆的离心率 e 的取值范围 【解答】解：点 F1、F2分别是椭圆的左、右焦点， 过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点， F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（c， ABF2是锐角三角形， AF2F145，tanAF2F11， ， ） ，B（c，） ， 整理，得 b22ac， a2c22ac， 两边同时除以 a2，并整理，得 e2+2e10， 解得 e 0e1， 椭圆的离心率 e 的取值范围是（ 故选 B 二、填空题（二、填空题（2020
18、分，每小题分，每小题 5 5 分）分） 13函数f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线方程为2xy3=0，则f（2）+f（2）=3 ，或 e， （舍） ， ） 【考点】63：导数的运算；62：导数的几何意义 【分析】先将 x=2 代入切线方程可求出 f（2） ，再由切点处的导数为切线斜率可求出 f（2）的 值，最后相加即可 【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象在点（2，f（2） ）处的切线方程为 2xy3=0，即 y=2x3， 则有 f（2）=1， 又由切线的斜率 k=2，则 f（2）=2； 则 f（2）+f（2）=1+2=3； 故答案为：3 14点 P 是曲线 y=x2上任意一点，
19、则点 P 到直线 y=2x2 的最小距离为 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系 【分析】 作直线 y=2x2 的平行线 y=2x+m， 使此平行线和曲线相切， 把 y=2x+m 代入曲线 y=x2， 利用=0 可得 m 值，再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离 【解答】解：作直线 y=2x2 的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为 y=2x+m 的形式 把 y=2x+m 代入曲线 y=x2得x22xm=0，由=4+4m=0 得，m=1 故曲线的切线方程为 y=2x1，由题意知，这两平行线间的距离即为所求 这两平行线间的距离为： 故答案为： 15设M 是椭圆 求椭圆的离心
20、率 【考点】K4：椭圆的简单性质 【分析】根据题意，MF1F2是以 F1F2为斜边的直角三角形利用直角三角形三角函数的定义， 可得=，最后结合椭圆的定义和离心率的公式，可求出椭圆的离心率 上一点，F1，F2为焦点，如果MF1F2=75，MF2F1=15， =， 【解答】解：MF1F2中，MF1F2=75，MF2F1=15， F1MF2=90，即MF1F2是以 F1F2为斜边的直角三角形 M 是椭圆 |MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c RtMF1F2中，sinMF1F2=，sinMF2F1= = 上一点， +=，即= 因此椭圆的离心率 e= 16若以曲线 y=f（x）上的任意一点
21、M（x，y）为切点作切线 L，曲线上总存在异于 M 的点 N （x1，y1） ，使得过点 N 可以作切线 L 1，且 LL1，则称曲线 y=f（x）具有“可平行性”下面有 四条曲线： y=x3xy=x+ y=sinx y=（x2）2+lnx 其中具有可平行性的曲线为 （写出所有满足条件的曲线编号） 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程 y=a（a 是导数值）至少有两个根”，利 用：y=1 时，x 的取值唯一判断不符合；对于和分别求出导数列出方程化简后判断； 对于求出导数化简后，再由=0 时解唯一判断不符合 【解答】解：由题意得，曲线具有
22、可平行性的条件是 方程 y=a（a 是导数值）至少有两个根 由 y=3x21 知，当 y=1 时，x 的取值唯一，只有 0，不符合题意； 由 y=1=a（x0 且 a1） ，即=1a，此方程有两不同的个根，符合题意； 由 y=cosx 和三角函数的周期性知，cosx=a（1a1）的解有无穷多个，符合题意； 由 y=2x4+ （x0） ，令 2x4+ =a，则有 2x2（4+a）x+1=0，当=0 时解唯一，不符 合题意， 故答案为： 三、解答题（本答题共三、解答题（本答题共 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
23、骤） 17已知函数 f（x）=x2+xlnx （1）求 f（x） ； （2）求函数 f（x）图象上的点 P（1，1）处的切线方程 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；64：导数的加法与减法法则 【分析】 （1）利用导数公式进行求解即可 （2）利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程 【解答】解： （1）根据导数公式可得 f（x）=2x+lnx+1 （2）当 x=1 时，f（1）=2+1=3， 所以切线斜率 k=3， 所以函数 f（x）图象上的点 P（1，1）处的切线方程为 y1=3（x1） ， 即 y=3x2 18已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点坐标为（1
24、，0） （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线 l：y=x1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB| 【考点】K8：抛物线的简单性质 【分析】 （1）利用抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点坐标为（1，0） ，求出 p，即可求抛物线的 标准方程； （2）若直线 l：y=x1 与抛物线 C 交于 A，B 两点，结合抛物线的定义可得 AB|=x1+x2+p，并 结合 x1+x2=6，即可得到弦长 AB 【解答】解： （1）由题意，p=2，抛物线的标准方程是 y2=4x； （2）直线 l：y=x1 与抛物线 C 联立可得 x26x+1=0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，
25、则 x1+x2=6， |AB|=x1+x2+2=8 19已知函数 f（x）=x3+bx2+cx1 在 x=2 时取得极值，且在点（1，f（1） ）处的切线的 斜率为3 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间1，2上的最大值与最小值 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导 数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （1）根据函数 f（x）在 x=2 处有极值，且在 x=1 处切线斜率为3，列出方程组； （2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值； 【解答】解： （1）f（x）=3x2+2bx+c 依题意得解得：
26、， 函数 f（x）的解析式为 f（x）=x3+3x21 （2）由（1）知 f（x）=3x2+6x令 f（x）=0， 解得 x1=2，x2=0 列表： x f（x） f（x） 1（1，0） 0（0，2） + 增函数 2 减函数1119 从上表可知，f（x）在区间1，2上的最大值是 19，最小值是1 20已知双曲线 C 与椭圆 （1）求双曲线 C 的方程； （2） 若直线 求 k 的取值范围 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；KB：双曲线的标准方程 【分析】 （1）设双曲线的方程为 平方关系即可求得 b 值； （ 2 ） 设A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 则 由 = ， 可
27、得 2，联立方程组消 ，由已知易求 a，c，根据 a，b，c 的 与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B， 且（其中 O 为原点） ， 有相同的焦点，实半轴长为 掉 y，根据韦达定理即可得到关于 k 的不等式，注意判别式大于 0，解出即得 k 的范围 【解答】解： （1）设双曲线的方程为 由题意知， 故双曲线方程为 （2）将 由得 代入 ，b2=c2a2=1，解得 b=1， ，得 ，且 k21， ， ， ， ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则由 得 = ，得 又 k21， ，解得 ）（ ， ，1） 所以 k 的取值范围为（1， 21已知函数 f（x）=x+ +lnx，aR
28、（）若 f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值； （）若 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求 a 的取值范围； （）讨论函数 g（x）=f（x）x 的零点个数 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断；6D：利用导数 研究函数的极值 【分析】 （）求出函数的导数，由题意可得 f（1）=0，即可解得 a，注意检验； （）由条件可得，f（x）0 在区间（1，2）上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范 围，即可得到 a 的范围； （）令 g（x）=0，则 a=x3+x2+x，令 h（x）=x3+x2+x，x0，求出导数，求得单调区间和 最值，结合图象对 a
29、讨论，即可判断零点的个数 【解答】解： （）函数 f（x）=x+ +lnx（x0） ， f（x）=1+ =， f（x）在 x=1 处取得极小值， 即有 f（1）=0，解得 a=2， 经检验，a=2 时，f（x）在 x=1 处取得极小值 则有 a=2； （）f（x）=1+ =，x0， f（x）在区间（1，2）上单调递增， 即为 f（x）0 在区间（1，2）上恒成立， 即 ax2+x 在区间（1，2）上恒成立， 由 x2+x（2，6） ， 则 a2； （）g（x）=f（x）x=1 令 g（x）=0，则 a=x3+x2+x， 令 h（x）=x3+x2+x，x0， 则 h（x）=3x2+2x+1=（3
30、x+1） （x1） ， 当 x（0，1） ，h（x）0，h（x）在（0，1）递增； 当 x（1，+） ，h（x）0，h（x）在（1，+）递减 即有 h（x）的最大值为 h（1）=1， 则当 a1 时，函数 g（x）无零点； 当 a=1 或 a0 时，函数 g（x）有一个零点； 当 0a1 时，函数 g（x）有两个零点 22已知椭圆 C： +y2=1（a0） ，过椭圆 C 右顶点和上顶点的直线 l 与圆 x2+y2= 相切 + x，x0， （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两 条直线的斜率分别为 k
31、1，k2，且 k1+k2=2，证明：直线 AB 过定点 【考点】K4：椭圆的简单性质 【分析】 （1）椭圆 C 的右顶点（a，0） ，上顶点（0，1） ，设直线 l 的方程为： +y=1，化为： x+aya=0，由于直线 l 与圆 x2+y2= 相切，可得 的方程 （2）对直线AB 的斜率分类讨论：当直线 AB 的斜率不存在时，利用k1+k2=2，及其斜率计算公 式即可得出当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y=kx+m（m1） ，A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，直线方程与椭圆方程联立化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算 公式即可得出 【解答】解：
32、（1）椭圆 C 的右顶点（a，0） ，上顶点（0，1） ， =，a0，解得 a，即可得出椭圆 C 设直线 l 的方程为： +y=1，化为：x+aya=0， 直线 l 与圆 x2+y2= 相切， =，a0，解得 a= 椭圆 C 的方程为 （2）当直线 AB 的斜率不存在时， 设 A（x0，y0） ，则 B（x0，y0） ， 由 k1+k2=2 得 当直线 AB 的斜率存在时， ，得 x0=1 Ay1）By2）设 AB 的方程为 y=kx+m （m1） ， （x1， （x2， 得， 即 由 m1， （1k） （m+1）=kmk=m+1， 即 y=kx+m=（m+1）x+mm（x+1）=yx， 故直线 AB 过定点（1，1） ， ，