最新数列中an与Sn的关系资料.pdf

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1、精品文档 课题课题浅谈数列中浅谈数列中 a an n与与 S Sn n的递推公式的应用的递推公式的应用 对于任意一个数列，当定义数列的前 n 项和通常用 Sn表示时，记作 Sna1a2an，此时通项公 S1，n1， 式 an SnSn1，n2 而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系， 在解题时又应该从哪些方向去灵活应用anSnSn1(n2) 去解决不同类型的问题呢？ 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与 Sn相关的问题： 归纳起来常见的角度有： 角度一：直观运用已知的Sn，求 an； 角度二：客观运用 anSnSn1(n2)，求与 an，Sn有关的结论； 角度三：an与 Sn的

2、延伸应用 角度一：直观运用已知的角度一：直观运用已知的 S Sn n，求，求 a an n 方法：已知方法：已知 S Sn n求求 a an n的三个步骤的三个步骤( (此时此时 S Sn n为关于为关于 n n 的代数式的代数式) )： (1)先利用 a1S1求出 a1； (2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系， 利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式； (3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公 式合写；如果不符合，则应该分如果不符合，则应该分 n n1 1 与与 n n2 2 两段来写两段来写

3、 同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识， 这样才能更好的运用 Sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中 a12a23a3nan表示数列 nan的前 n 项和 1已知数列an的前 n 项和 Snn22n2，则数列an的通项公式为() Aan2n3Ban2n3 1，n11，n1 CanDan 2n3，n22n3，n2 【解析】当 n2 时，anSnSn12n3当 n1 时，a1S11，不满足上式 【答案】C 2 (2015河北石家庄一中月考)数列an满足： a13a25a3(2n1)an(n1) 3n+13(nN N*)， 则数列的通项公式

4、 an 精品文档 精品文档 【解析】当 n2 时，a13a25a3(2n3)an1(n2) 3n3；则用已知等式减去上式得(2n 1)an(2n1)3n，得 an3n；当 n1 时，a13，满足上式；故 an3n 【答案】an3n 3(2015天津一中月考)已知an的前 n 项和为 Sn，且满足 log2(Sn1)n1，则 an 【解析】由已知得 Sn12n 1，则 Sn2n 11；当 n2 时，anSnSn12n 112n12n；当 3，n1 n1 时，a1S13，不满足上式；故 an n 2 ，n2 3，n1 【答案】an n 2 ，n2 4(2015四川成都树德期中)已知an是一个公差大

5、于 0 的等差数列，且满足a3a545，a2a614 (1)求an的通项公式； b1b2bn (2)若数列bn满足： 2nan1(nN N*)，求bn的前 n 项和 222 【解】(1)设等差数列an的公差为 d，则 d0， 由 a2a614，可得 a47 由 a3a545，得(7d)(7d)45，解得 d2 或 d2(舍) ana4(n4)d72(n4)，即 an2n1 bn (2)令 cn n，则 c1c2c3cnan12n 2 当 n2 时，c1c2c3cn12(n1) 由得，cn2， 当 n1 时，c12，满足上式； bn 则 cn2(nN N*)，即 n2，bn2n 1， 2 故数列

6、bn是首项为 4，公比为 2 得等比数列， 4(12n) n2 数列bn的前 n 项和 Sn24 12 角度二：客观运用角度二：客观运用 a an nS Sn nS Sn n 1 1( (n n 2)2)，求与求与 a an n，S Sn n有关的结论有关的结论 此类题目中，已知条件往往是一个关于an与 Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论那么 我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn那么，主要从两个方向 精品文档 精品文档 利用 anSnSn1(n2)： 方向一：方向一：若所求问题是与 an相关的结论，那么用SnSn1an (n2)消去等式中所有

7、 Sn与 Sn1，保留 项数 an，在进行整理求解； 1(2015广州潮州月考)数列an的前 n 项和记为 Sn，a11，an12Sn1(n1，nN N *)，则数列的 通项公式是 【解析】当 n2 时，an2Sn11，两式相减得 an1an2(SnSn1)，即 an1an2an，得 an1 3an；当 n1 时，a23，则 a23a1，满足上式；故an是首项为 1，公比为 3 得等比数列，an3n 1 【答案】an3n 1 2数列an的前 n 项和为 Sn，若 an14Sn1，a11 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解】(1)当 n2 时

8、，an4Sn11，又 an14Sn1， an1 an1an4an，即3(n2)， an 又 a 24a113，a11， 数列an是首项为 a11，公比为 q3 的等比数列， an(3)n 1 (2)由(1)可得 bnn(3)n 1， Tn1(3)02(3)13(3)2(n1)(3)n 2n(3)n 1， 3Tn1(3)12(3)2(n2)(3)n 2(n1)(3)n 1n(3)n， 4Tn1(3)1(3)2(3)n 1n(3)n， 1(4n1)(3)n 所以，T n 16 方向二：方向二：若所求问题是与 Sn相关的结论，那么用 anSnSn1(n2)消去等式中所有项数an，保留 Sn 与 Sn

9、1，在进行整理求解 1 1已知数列an的前 n 项和为 Sn且满足 an2SnSn10(n2)，a1 2 1 (1)求证：S是等差数列； n (2)求 an的表达式 【解】(1)证明：anSnSn1(n2)，又 an2SnSn1， Sn1Sn2SnSn1，Sn0 精品文档 精品文档 11 因此 2(n2) SnSn 1 1 11 故由等差数列的定义知S 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 S1a1 n 111 (2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即 Sn SnS12n 1 当 n2 时，a n2SnSn1 ， 2n(n1) 1 又a 1 ，不适合上式2 2，n1， a 1 2n(n

10、1)，n2. n 1 2(2015江西名校联盟调考)已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 a2 n2Snan10 (1)求数列Sn的通项公式； 11112 (2)求证：2(Sn+11)(提示：) S1S2Sn n n1 n 【解】(1)anSnSn1(n2)，由 a2 n2Snan10， 2得(S nSn1) 22S n(SnSn1)10，整理得 S 2 nSn11 当 n1 时，a2 12S1a110，且 a10，解得 a11， 2故由等差数列的定义知S n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 S2 nn，则 Sn n 1122 (2)由(1)知2( n1 n)， Sn n2 n n

11、1 n 111 2( 21)2( 3 2)2( n1 n)2( n11) S1S2Sn 111 即2(Sn11) S1S2Sn 【总结】【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握 角度三：角度三：a an n与与 S Sn n的延伸应用的延伸应用 S1，n1， 解此类题目中不仅需要深刻理解 “数列的前 n 项和”的实际意义，还需要对 an关系 SnSn1，n2 式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换 当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向 方向一：关于双重前方向一：关于双重前 n n 项和项和 精品文档

12、 精品文档 此类题目中一般出现“数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn”的条件，在解答时需要 确定清楚求的是与 an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向但一般是求解最底层的an 1(2015湖北武汉质检)设数列an的前 n 现和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2Snn2，n N N* (1)求 a1的值； (2)求数列an的通项公式 【解】(1)当 n1 时，T12S11，且 T1S1a1，解得 a11， (2)当 n2 时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1 Sn2Sn12n1 则 Sn12Sn2n1 由，得

13、 an12an2， an12 an122(an2)，即2(n2)， an2 a22 易求得，a123，a226，则2， a12 数列an2是首项为 3，公比为 2 的等比数列， an232n 1，则 an32n 12(nN N*) 2(2015安徽滁州期末联考)设数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn，且 2Tn4Sn(n2 n)，nN N* (1)证明：数列an1为等比数列； n1 (2)设 bn，证明：b1b2bn3 an1 【解】(1)当 n1 时，2T14S12，且 T1S1a1，解得 a11， 当 n2 时，2T 22(a1a1a2)4(a1a2)6，解得 a

14、23， 当 n2 时，2T n14Sn1(n1) 2(n1) 2Sn2Tn2Tn14Sn(n2n)4Sn1(n1)2(n1) 整理得 S n2Sn1n 则 Sn12Snn1 由，得 an12an1， an11 an112(an1)，即2(n2)， an1 精品文档 精品文档 a21 显然2， a11 数列an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列， n1 (2)由(1)知，an12n，则 bn n 2 n1 234 则 b 1b2bn 23n ， 2222 n1 234 令 T n 23n ， 2222 1234nn1 则 Tn 234n n1 ， 222222 11111n1 由，得 Tn1

15、 234n n1 222222 11 2(1 n1)2 2 n13n33 1 n1 n1 12222 12 则 T n3，即 b1b2bn3 方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解 此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列an”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行 符号的判定，对因式进行的取舍 1(2015山东青岛一模)各项均为正数的数列an满足 a2 n4Sn2an1(nN N *)，其中 Sn 为an的前 n 项和 (1)求 a1，a2的值； (2)求数列an的通项公式 【解】(1)当 n1 时，T12S11；又 T1S1a1，则 a12a1

16、1，解得 a11； (2)当 n2 时，SnTnTn1(2Snn2)2Sn1(n1)22Sn2Sn12n1， 整理得 S n2Sn12n1 Sn12Sn2n1 由，得 a n12an2 an12 an122(an2)，即 2(n2) an2 又 T 22S24；得 a24 a12 当 n1 时，a 123，a226，则 2， a22 精品文档 精品文档 数列a n2是以 3 为首项，2 为公比的等比数列 则 a n232 n 1，所以 a n32 n 12 anan1 2已知数列an的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且 Sn，nN N* * 2 (1)求证：数列an是等差数列； 1 (2)设

17、 bn，Tnb1b2bn，求 Tn 2Sn a1(a11) 【解】(1)由已知得，当 n1 时，a1S1(an0)，a11 2 2 2Snanan， 当 n2 时，由 2 2Sn1an1an1 2得 2a na 2 nanan1an1 即(a nan1)(anan11)0， anan10，anan11(n2) 所以数列a n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 n(n1) 1111 (2)由(1)可得 ann，Sn ，b n 22Sn nn1 n n1 111111n Tnb1b2b3bn1 1 223n n1n1n1 方向三：需对已知等式变形后，再求解方向三：需对已知等式变形后，再求解 1

18、(2015江西五校联考)已知正项数列an中，其前 n 项和为 Sn，且 an2 Sn1 (1)求数列an的通项公式； 1 (2)设 bn，Tn= b1b2b3bn，求 Tn anan+1 【解】(1)由已知得，4Sn(an1)2 当 n2 时，4S n1(an11) 2， 则 4S n4Sn1(an1) 2(a n11) 2，整理得 (a n1) 2(a n11) 20， (a nan12)(anan1)0 又 a n0，则 anan12， 当 n1 时，4S 1(a11) 2，得 a 11； 精品文档 精品文档 故数列a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列； a n2n1 1111 1

19、1 (2)由(1)可得 bn 2n12n1，anan+1 2n1 2n1 2 1111 Tn b1b2b3bn 11 1111 1 2 3352n12n1 1 1n 1 2n1 22n1 2(2015浙江温州中学月考)设数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 a12，a28， Sn14Sn15Sn(n2)， Tn是数列log2an的前 n 项和 (1)求数列an的通项公式； (2)求 Tn 【解】(1)当 n2 时，Sn14Sn15Sn， S n1Sn4(SnSn1)，即 an14an， 当 n1 时，a 24a1； 故数列a n是以 2 为首项，4 为公比的等比数列 an24n 122n 1

20、 (2)由(1)可知 log2anlog222n 12n1， Tnlog2a1log2a2log2a3log2an 1352n1 n(12n1) 2n 2 3(2015江西三县联考)已知数列an的各项均为正数，记 A(n)a1a2an，B(n)a2a3 an1，C(n)=a3a4an2，其中 nN N* (1)若 a11，a25，且对任意 nN N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，求数列an的通 项公式； (2) a11，对任意 nN N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为 q 的等比数列，求数列an的前 n 项和 An 精品文档 精品文档 【解】(1

21、)任意 nN N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列， B(n)A(n)C(n)B(n)， 则 a n1a1an2a2，即 an2an1a2a14， 故数列a n是首项为 1，公差为 4 的等差数列； a n1(n1)44n3 (2)若对任意 nN N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为 q 的等比数列， B(n)qA(n)，C(n)qB(n)， 则 C(n)B(n)qB(n)A(n)， 得 a n2a2q(an1a1)，即 an2qan1a2qa1， 当 n1 时，由 B(1)qA(1)，可得 a2qa1； an2a2 则 an2qan1a2qa10，又

22、 an0，则 q， an1a1 故数列a n是以 1 为首项，q 为公比的等比数列 n，q1， An1qn，q1. 1q 4(2015辽宁沈阳诊断考试)设数列an的前 n 项和为 Sn，a110，an19Sn10 (1)求证：lg an是等差数列； 3 (2)设 Tn是数列(lg a )(lg a )的前 n 项和，求 Tn； nn1 1 (3)求使 Tn (m25m)对所有的 nN N*恒成立的整数 m 的取值集合 4 【解】(1)证明：当 n2 时，an9Sn110， an1 an1an9(SnSn1)，则 an110an，即 10， an a2 当 n1 时，a 29a110100，则

23、10， a1 故数列a n是以 10 为首项，10 为公比的等比数列 an10n，则 lg ann， lg an1lg ann1n1， 精品文档 精品文档 故数列lg a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列 (2)解：由(1)知 1 33 1 3n ， n1(lg an)(lg an 1) nn1 111111 3n Tn31223nn131n1 n1 3n3 (3)Tn3， n1n1 3 当 n1 时，T n 取最小值 2 31 依题意有 (m25m)，解得1m6， 24 故整数 m 的取值集合为0,1,2,3,4,5 1(2015江苏扬州外国语中学模拟)已知数列an的前 n 项和 Sn

24、2n3，则数列an的通项公式 为 【解析】当 n2 时，anSnSn12n32n 132n 1当 n1 时，a1S11，不满足上式 1，n1 【答案】an n1 2 ，n2 a2an 2(2015辽宁沈阳二中月考)已知数列an满足 a1a2n1，求数列an的通项公式 2n an1a2 【解】当 n2 时，a1a2n 21 2n1 an 由已知等式减去上式，得 a2n1a2n 21(a21)a2n 2， n ann(a21)a2n 2， 当 n1 时，a 1a 21，满足上式； ann(a21)a2n 2 3(2015安徽江淮十校联考)已知函数 f(x)是定义在(0， )上的单调函数，且对任意的

25、正数x，y 都 有 f(xy)= f(x)f(y)，若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 f(Sn2)f(an)= f(3)(nN N *)，则 an为() A2n1Bn 3n 1 D 2 C2n1 【解析】由 f(xy)= f(x)f(y)，f(Sn2)f(an)= f(3)，得 Sn23an，Sn123an1(n2)，两式相减得 精品文档 精品文档 3 2an3an1；当 n1 时，S123a1a12，则 a11所以数列an是首项为 1，公比为 的等比数列 2 3n 1 【答案】an 2 3 4(2015辽宁鞍山二中期中)设数列an是等差数列，数列bn的前 n 项和 Sn满足 Sn (

26、bn1)，且a2 2 b1，a5b2 (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设 cnanbn，Tn为cn的前 n 项和，求 Tn 3 【解】(1)当 n2 时，Sn1 (bn11)， 2 33 则 b nSnSn1 (bn1) (bn11)，整理得 bn3bn1，22 3 当 n1 时，b 1 (b11)，解得 b13；2 故数列b n是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 bn3n， 设等差数列a n的公差为 d，由 a2b13，a5b29， a1d3， 则解得 d2，a 11，an2n1， a14d3， an2n1，bn3n (2)由(1)知 cnanbn(2n1)3n， Tn3332

27、533(2n1)3n， 3Tn32333534(2n3)3n(2n1)3n 1， 由，得 2Tn32(32333n )(2n1)3n 1 32(13 n 1) 32(2n1)3n 1(22n)3n 16， 13 Tn(n1) 3n 13 5在数列an中，已知 a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN N* *)，则数列的通项公式 是 【解析】由已知 n2 时，an2Sn1；当 n3 时，an12Sn2 1， n1， an 整理得 3 (n3)，a n 23n 2， n2.an1 精品文档 精品文档 1， n1， 【答案】an 23n 2， n2. 2 6(2015广东桂城摸底)已知

28、各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 anan2Sn (1)求 a1； (2)求数列an的通项公式； 15 1 1 1 (3)若 bn 2(nN N*)，Tnb1b2bn，求证：Tn 提示：222n1 2n1an3 n 【解】(1)当 n1 时，a2 1a12S1，且 an0，得 a11； 2 (2)当 n2 时，a2 n1an12Sn1 ；且 anan2Sn； 由，得(anan1)(anan11)0， 又 an0，则 anan11， 故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a nn 11 (3)证明：由(2)知，bn 22， ann 5 当 n1 时，b11 ，不等式

29、成立； 3 114 1 1 当 n2 时， 2 2 2n12n1，n14n21 2 n 4 111111 11125 Tnb1b2bn1 2221235572n12n11 ， 23n33 5 Tn3 7(2015大连双基测试)已知数列an的前 n 项和 Snn22n1(nN N*)，则 an_ 4，n1， 【解析】 当 n2 时，anSnSn12n1，当 n1 时，a1S14211，因此 an 2n1，n2. 4，n1 【答案】 2n1，n2 1 8(2014烟台一模)已知数列an前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 ，an，Sn成等差数列 2 (1)求数列an的通项公式； 1 (2)数列b

30、n满足 bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求数列b的前 n 项和 n 精品文档 精品文档 11 【解】(1) ，a n，Sn 成等差数列，2a nSn ，22 11 当 n1 时，2a 1S1 ，a1 ，22 11 当 n2 时，S n2an ，Sn12an1 ， 22 an 两式相减得：a nSnSn12an2an1， 2， an1 11 n1n2所以数列a n是首项为 ，公比为 2 的等比数列，即a n 2 2 22 (2)bn(log2a2n1)(log2a2n3)(log222n12)(log222n32)(2n1)(2n1)， 1111 1 1 ， bn 2n1 2n1

31、22n12n1 1 数列b的前 n 项和 n 11 1 1 11111111n 11 Tn 335b1b2b3bn2 2n12n122n1 2n1 9(2014山西四校联考)已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn2ann，则 an_ 【解析】当 n2 时，anSnSn12ann2an1(n1)，即 an2an11，an12(an11)， 数列an1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列，an122n 12n，an2n1 【答案】2n1 n2n 10(2014湖南卷)已知数列an的前 n 项和 Sn，nN N * 2 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2an(1)nan，求数列b

32、n的前 2n 项和 【解】(1)当 n1 时，a1S11； n2nn12n1 当 n2 时，anSnSn1n 22 又 a 11 满足上式，故数列an的通项公式为 ann (2)由(1)知，bn2n(1)nn，记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T 2n(2 12222n)(12342n) 2122n 2n1记 A2 2 2 ，B12342n，则 A22， 12 122n B(12)(34)(2n1)2nn 故数列b n的前 2n 项和 T2nAB2 2n 1n2 精品文档 精品文档 11已知数列an是各项均为正数的等比数列，a34，an的前 3 项和为 7 (1)求数列an的通项公式

33、； 1111 (2)若 a1b1a2b2anbn(2n3)2n3， 设数列bn的前 n 项和为 Sn， 求证： 2 S1S2Snn 2 a1q 4， a11， 【解】(1)设数列an的公比为 q，由已知得 q0，且 a1a1q47，q2. 数列an的通项公式为 an2n 1 (2)【证明】当 n1 时，a1b11，且 a11，解得 b11 当 n2 时，a nbn(2n3)2 n3(2n23)2n 13(2n1)2n 1 an2n 1，当 n2 时，bn2n1 b11211 满足 bn2n1， 数列bn的通项公式为 bn2n1(nN N*) 数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 Snn

34、2 11 当 n1 时， 12 S11 11111 当 n2 时， 2 Snnn(n1)n1n 111111111 2 2 S1S2Sn112nn1n Sn 12设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an2 (n1) (nN N* *) n (1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和 Sn关于 n 的表达式； S2S3Sn (2)是否存在自然数 n，使得 S1(n1)22 013？若存在，求出 n 的值；若不存在， 23n 请说明理由 Sn 【解】(1)由 an 2(n1)，得 S nnan2n(n1) (nN N * *) n 当 n2 时，a nSnSn1nan(n1)an14(

35、n1)，即 anan14， 故数列a n是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列 a1ann 于是，a n4n3，Sn 2n2n (nN N* *) 2 Sn (2)由 Snnan2n(n1)，得 2n1 (nN N* *)， n 精品文档 精品文档 S2S3Sn 又 S 1 (n1)21357(2n1)(n1)2n2(n1)22n1 23n 令 2n12 013，得 n1 007，即存在满足条件的自然数n1 007 11 1已知 Sn为正项数列an的前 n 项和，且满足 Sn a2 an(nN N*) n22 (1)求 a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列an的通项公式 111 2

36、1 【解】(1)由 Sna2 n an，可得 a1a1a1，解得 a11； 2222 11 S2a1a2a2a ，解得 a 22；同理，a33，a442222 1 2 1 (2)Snanan， 22 11 当 n2 时，S n1 a 2 n1 an1，22 得(a nan11)(anan1)0 由于 a nan10，所以 anan11， 又由(1)知 a 11， 故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 ann 2在数列an中，a15，a22，记 A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3 a4an2(nN N*)，若对于任意 nN N*，A(n)，B(n)，C(n

37、)成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列|an|的前 n 项和 【解】(1)根据题意 A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，A(n)C(n)2B(n)， 整理得 a n2an1a2a1253， 数列an是首项为5，公差为 3 的等差数列， an53(n1)3n8 3n8，n2， (2)|an| 记数列|a n|的前 n 项和为 Sn 3n8，n3， n583n3n213 当 n2 时，S n n； 222 精品文档 精品文档 n213n83n213 当 n3 时，S n7 n14， 222 综上，S 3 13 n 2 2 n14，n3. n 2 313 n2n，n2， 22

38、22 3(2014广东卷)设各项均为正数的数列an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn满足 S2 n(n n3)Sn3(n n)0，nN N* (1)求 a1的值； (2)求数列an 的通项公式； 1111 (3)证明：对一切正整数 n ，有 a1a11a2a21anan1 3 22* 【解】(1)由题意知，S2 n(n n3)Sn3(n n)0，nN N 22令 n1，有 S2 1(1 13)S13(1 1)0， 2可得 S 1S160，解得 S13 或 2，即 a13 或 2， 又 a n 为正数，所以 a 12 22* (2)由 S2 n(n n3)Sn3(n n)0，nN N 可得， (

39、Sn3)(Snn2n)0，则 Snn2n 或 Sn3， 又数列a n的各项均为正数， S nn 2n，S n1(n1) 2(n1)， 当 n2 时，a nSnSn1n 2n(n1)2(n1)2n 又 a 1221，所以 an2n 1111 (3)证明：当 n1 时， 成立； a1a11 2363 1111 1 1 当 n2 时， ， anan12n2n12n12n1 22n12n1 精品文档 精品文档 1111111 1 1 352n12n162 a1a11a2a21anan1 111 1 111 3 622n1663 1111 所以对一切正整数 n，有 a1a11a2a21anan1 3 精品文档