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1、教学设计教学设计 2 24.24.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 整体设计 教材分析教材分析 “抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用 本节知识在生产、 生活和科 学技术中经常用到， 也是大纲规定的必须掌握的内容， 还是将来大学学习的基础知识之一 对 于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、 离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程， 求它的焦点坐标 和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x(或 y)，则 x 轴(或 y
2、 轴)是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准 方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p. 课时分配 本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图、例3 及其他例题；第二课时主要内容为焦半径公式、例4、例 5、例 6. 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 1抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质 2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物 线图形； 3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 过程与方法 1使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出的条
3、件求抛物线的标准方程 2掌握抛物线的画法 情感、态度与价值观 1培养学生数形结合及方程的思想 2训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用 重点难点 教学重点： 掌握抛物线的几何性质， 使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和 一些实际应用 教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用 教学过程 复习引入 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程 图形 2 标准方程 y 2px(p0) y 2px(p0) 2 焦点坐标 p ( ，0)
4、2 p ( ，0) 2 准线方程 p x2 p x2 x 2py(p0) 2 p (0， ) 2 p y2 x 2py(p0) 2 p (0， ) 2 p y2 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点 12pp 在对称轴上关于原点对称. 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 . 442 不同点：(1)图形关于 x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为2px、左端 为 y ；图形关于 y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为2py，左端为 x .(2) 开口方向为 x 轴(或 y 轴)正向时，焦点在 x 轴(或
5、y 轴)的正半轴上，方程右端取正号； 开口 为 x 轴(或 y 轴)负向时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程右端取负号 讲解新课 22 唐朝王翰在 凉州词 中有“葡萄美酒夜光杯， 欲饮琵琶马上催”的句子， 诗中提到“夜 光杯” 提出问题 1：如果测得酒杯口宽 4 cm，杯深 8 cm， 试求酒杯轴截面所在曲线的方程 活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论教师巡视指导，再由一名学生板 演 解：如图建立平面直角坐标系， 则可知 A(2,8)，B(2,8) 所以设抛物线的方程为： x 2py(p0) 1 A、B 点在抛物线上，代入抛物线方程，可得p， 4 1 2 则所求的抛物线方
6、程为：x y. 2 2 提出问题 2：这一节我们来研究抛物线的标准方程y 2px(p0)的几何性质请同学们 思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你应从哪几个方面进行研究？ 学情预测：学生会给出很多方面，此时教师引导学生观察图象给出性质 2 1范围 2对称性 3顶点 4离心率 5通径 探索研究 活动设计：先由学生合作讨论，再由一、两名学生代表发言，教师适时补充 1范围 学情预测：一般情况下，学生会从图像观察到：x0，yR.此时教师可引导学生从方 程角度思考，可得到： 因为 p0，由方程 y 2px(p0)可知，这条抛物线上的点 M 的坐标(x，y)满足不等式 x0，所以这条抛物线在 y 轴的右侧；
7、当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸 2对称性 学情预测：一般情况下，学生会从图象观察到：关于x 轴对称此时教师可引导学生从 方程角度思考，可得到： 以y 代 y，方程 y 2px(p0)不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴 3顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程 y 2px(p0)中，当 y0 时，x0， 因此抛物线 y 2px(p0)的顶点就是坐标原点 4离心率 活动设计：此处可由教师给出定义 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表 示由抛物线的定义可知，e1.
8、 多媒体给出下表的第 1、2 行和第 1 列，由学生得出其他几种形式的方程的几何性质： 标准方程 y 2px (0,0) (p0) y 2px (0,0) (p0) x 轴 2 2 2 2 2 2 图形顶点对称轴焦点 p ( ，0) 2 准线 p x2 离心率 x 轴e1 p ( ，0) 2 p x2e1 x 2py (0,0) (p0) x 2py (0,0) (p0) 注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离 y 轴 2 2 y 轴 p (0， ) 2 p y2e1 p (0， ) 2 p y2e1 补充说明：1.抛物线只位于半个平面坐标内， 虽然它可以无限延伸但它没有渐近线 因 此抛
9、物线不是双曲线的一支 2抛物线只有一条对称轴，没有对称中心 3抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线 4抛物线的离心率是确定的且为1. 附：抛物线不存在渐近线的证明(反证法) 假设抛物线 y 2px 存在渐近线 ymxn，A(x，y)为抛物线上的一点， A0(x，y1)为渐近线上与 A 横坐标相同的点如图， 则有 y 2px和 y1mxn. |y1y|mxn n |x|mx 2px| 2 2p|. x 当 m0 时，若 x，则|y1y|. 当 m0 时，|y1y| 2 2px|，当 x，则|y1y|. 这与 ymxn 是抛物线 y 2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线 提出问题：椭圆的
10、圆扁程度、双曲线的张口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大 小由什么决定？ 下面我们来看一个例题 在同一坐标系中画出下列抛物线的草图： 1 2222 (1)y x；(2)y x；(3)y 2x；(4)y 4x. 2 活动设计：由学生自己完成，教师可将学生所画的图象投影展示 学情预测：从图象观察到抛物线标准方程中的p 越大，开口越开阔 探究问题：在抛物线的标准方程中2p 的几何意义是什么？ 通径的定义： 通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点， 连接这两点的线段 叫抛物线的通径 提出问题：由学生求出通径的长度 通径的长度：2p. 反思应用 1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐
11、标原点，并且经过点M(2，2 2)，求它的 标准方程，并用描点法画出图形 分析：分析： 由已知条件求抛物线的标准方程时， 首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的 类型，再求出方程中的参数p. 解：解：由题意，可设抛物线方程为y 2px，因为它过点 M(2，2 2)， 所以(2 2) 2p2，即 p2. 因此，所求的抛物线方程为y 4x. 将已知方程变形为 y2 x， 根据 y2 x计算抛物线在 x0 的范围内几个点的坐标， 得 x y 0 0 1 2 2 2.8 3 3.5 4 4 2 2 2 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分 点评：点评：在本题的画图过程中，
12、如果描出抛物线上更多的点， 可以发现这条抛物线虽然也 向右上方和右下方无限延伸， 但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线， 也就是说，抛 物线没有渐近线 提出问题：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 M(2，2 2)的抛物线有几 条？求出它们的标准方程 活动设计：先由学生独立完成或合作讨论，再由一名学生上黑板板演 学情预测：易得到结果：y 4x 或 x 2y. 2 若抛物线的通径长为 7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程 解：解：设抛物线方程为 y 2px 或者 x 2py(p0)， 通径长 2p7，所以 所求抛物线方程 y 7x 或者 x 7y. 3 过抛物线 y
13、2px 的焦点 F 任作一条直线 m，交抛物线于 A、B 两点， 2 22 22 22 求证：以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切 分析：分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 证明：如图设 AB 的中点为 E，过 A、E、B 分别向准线 l 引垂线 AD、EH、BC，垂足为 D、H、C，则 |AF|AD|，|BF|BC|. |AB|AF|BF|AD|BC|2|EH|. 所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径，且 EHl，因而圆 E 和准线 l 相切 达标检测 1 2 1抛物线的标准方程为x y，则其通径的长为() 2 111 A B. C. D1 224 2已知M 为抛
14、物线 y 4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|MF| 的最小值为() A3 B4 C 5 D6 3过抛物线y 4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹 2 2 方程是_ 4定长为3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y x 上移动，求AB 中点 M 到 y 轴距离的 最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标 525 2 答案：答案：1.B2.B3.y 2(x1)4.M( ，)，M 到 y 轴距离的最小值为 . 424 本课小结 1抛物线的性质； 2灵活运用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程及描点法画图. 布置作业 课本
15、习题 2.4A 组 4. 补充练习 1过抛物线 xay 的焦点的一条直线和抛物线交于A(x1，y1)B(x2，y2)，则 x1x2 _. 2下列说法中，错误的是() A任何抛物线的离心率都是1 B在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短 C过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条 D抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短 3过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若A、B 在准线上的射影是 A2、B2， 则A2FB2等于_ x 2 4以椭圆 y 1 的右焦点 F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆 5 的右准线所得的弦长 1 答案：答案：1. 2 2.
16、C3.904.4 5 16a 设计说明 二次曲线是平面解析几何的主要研究对象， 在教学时， 注意挖掘它们之间的内在联系和 区别， 不要孤立地和静止地看待抛物线 因此在研究抛物线的几何性质时采用对比的方法进 行教学，让学生对照椭圆、双曲线的几何性质，去探求抛物线的几何性质，在进行对比时， 要注意横向和纵向两种对比， 也就是既要注意每种曲线内部的对比， 同时也要注意几种曲线 之间的对比 本节课引导与组织学生研究抛物线的几何性质， 而抛物线几何性质的研究项目、 方法和 2 2 2 结果同椭圆、双曲线很类似学生很自然地用类比的方法填充给出的表， 不仅可以使 3 种圆 锥曲线的性质得到对比，而且可以提高
17、学生对新知识的探索能力 在授课方式上， 教师精心设计提问， 以便引导学生去探索， 去创新 富有艺术性的提问， 能启迪学生思维，发展学生智力和培养学生能力 而问题的设置要从学生的实际出发， 能被 学生所接受，又要富有启发性， 能激发学生的学习兴趣，调动学生积极思考，有利于教学目 标的实现 备课资料 拋物线的画法及其光学性质应用赏析 一位板球选手击出的球、 小孩向空中掷的石头，它们的行进路线就近似为拋物线 拋物 线至今已有 2 400 多年的历史，画抛物线的方法除了我们课堂上所学习的描点法之外，还有 很多有趣的方法，以下收录几种画法供同学们欣赏 1拉线绘制抛物线 取固定长度的绳子一根，将其一端固定
18、于 F 点，另一端固定于丁字尺 AB 的末梢 B 点； 再将笔放在点 P 处，拉直绳子，慢慢移动丁字尺，即可绘制出拋物线(如图 1) 2折纸折出抛物线 在纸上画一条直线 L 及直线 L 外一点 F. 将点 F 与直线上任意点 P 对折， 其折痕就包络 出一拋物线(如图 2) 3雷达画法作抛物线 作许多半径成比例的同心圆，在圆与 y 轴交点处作 y 轴的垂线，则在某些特定规则下， 直线与圆的交点相连即可成拋物线(如图 3) 图 1图 2图 3 4童军绳上的抛物线 (1)作两线段 AB，CD，分別在AB，CD 上取 20 个等分点，并依反序相连，其包络之图形 即为抛物线(如图 4) (2)任取三点
19、 A，B，C，并连接线段 AB，BC，分別在线段 AB，BC 上取 20 个等分点，并 依反序相连，其包络之图形即为抛物线(如图 5) 图 4图 5图 6 5由函数式 yx 作抛物线 在直角坐标系中的 x 轴上标出单位长 1 及一动点 x；利用两个相似三角形作出 x 的高 度，则点 (x, x ) 的轨迹就是抛物线 yx (如图 6) 亲爱的同学们， 在欣赏了上述抛物线的种种有趣的画法后， 接下来请同学们了解抛物线 的光学性质及简单的应用 一只很小的灯泡发出的光， 会分散地射向各方， 但把它装在圆柱形手电筒里， 经过适当 调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？ 22 2 2 图 7
20、 原来手电筒内， 在小灯泡后面有一个反光镜， 镜面的形状是一个由抛物线绕它的轴旋转 所得到的曲面(如图 7)，叫做抛物面人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出 的光线，经过抛物线上的一点反射后， 反射光线平行于抛物线的轴 平时我们看到的探照灯 也是利用这个原理设计的 图 8 应用抛物线的这个性质， 也可以使一束平行于抛物线的轴的光线， 经过抛物线的反射集 中于它的焦点人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶 (如图 8)在这种太阳 灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜， 当它的轴与太阳光线平行时， 太阳光线经过反射后集 中于焦点处，这一点的温度就会很高 (设计者：姜华) 第第 2 2
21、 课时课时 教学目标教学目标 1灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题； 2会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系； 3训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程 的思想，提高学生的综合能力 重点难点 教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系 教学难点：抛物线几何性质的综合运用 教学过程 复习引入复习引入 (多媒体投影) 活动设计： 以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质， 每个学生独立思考下列问题， 必要时，允许合作、讨论、交流 m 2 抛物线 mxny 0(mn0)的顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(，0)，准线方程 4n
22、mm 是 x，离心率是 1，通径长| |. 4nn 若点 A(3,2)，点 F 为抛物线 y 2x 的焦点，则使|MA|MF|取最小值的抛物线上点 的坐标是(2,2) 这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用 新课讲解 1 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 4x 的焦点，与抛物线相交于A、B 两点，求线段AB 的长 分析：分析：例 1 是直线与抛物线相交问题， 可通过联立方程组求解交点坐标， 然后由两点间 距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点， 便可与抛物线定义发生联系， 利用抛物线定 义将 AB 分段转化成点 A、B 到准线的距离，从而达到求解目的 解法一：如图，由抛物线的标准
23、方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1,0)， 2 2 所以直线 AB 的方程为 yx1. 将方程代入抛物线方程y 4x，得(x1) 4x，化简得 x 6x10. 解之得：x132 2，x232 2. 将 x1，x2的值分别代入方程中，得y122 2，y222 2. 即 A、B 坐标分别为(32 2，22 2)、(32 2，22 2) |AB|4 2 4 2 8. 解法二：如右图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线的定义可知，|AF|等于点 A 到准 线 x1 的距离|AA|，而|AA|x11.同理|BF|BB|x21，于是得|AB|AF| |BF|x1x22. 由此可以看到，本题在得
24、到方程 x 6x10 后，根据根与系数关系可以直接得到 x1 x26，于是可以求出|AB|628. 点评：点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长(运算量一般较大)； 法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长(运算简单) 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 p 焦半径公式：|AF|x1 . 2 提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式 焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点 A，B，连接这两点的线段叫做抛物线 的焦点弦 焦点弦公式：|AB|x1x2p. 提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式 2 过抛物线焦点 F
25、的直线交抛物线于 A，B 两点，通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物 线的准线于点 D，求证：直线 DB 平行于抛物线的对称轴 分析：分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛 物线对称轴之间的位置关系只要证明点D 的纵坐标与点 B 的纵坐标相等即可 2 22 222 证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系设抛物线 的方程为：y 2px y02p 点 A 的坐标为(，y0)，则直线 OA 的方程为 yx(y00) 2py0 p 抛物线的准线方程是 x 2 p 联立，可得点 D 的纵坐标为：y y0 p2py0p 因为点 F 的坐
26、标是( ，0)，所以直线 AF 的方程为 y 22(x ) 2y0p2 其中 y0p . p 联立，可得点 B 的纵坐标为 y y0 由可知，DBx 轴、当 y0p 时，结论显然成立，所以，直线 DB 平行于抛物线的 对称轴 3 已知抛物线的方程为 y 4x，直线l 过定点 P(2,1)，斜率为k.k 为何值时，直线l 与抛物线 y 4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 解：依题意，设直线 l 的方程为 y1k(x2) y1 由方程组 2 y 4x 2 2 22 2 22 2 2 2 (*)消去 x 可得 ky 4y4(2k1)0 2 当 k0 时， 直线与抛物线只有一个公共点，
27、1 2 由方程得 y1, 把 y1 代入 y 4x 得 x . 4 1 此时，直线 l 与抛物线只有一个公共点( ，1) 4 (2)当 k0 时，方程的判别式 16(2k k1) 1 2 由 0, 即 2k k10，解得：k1, 或 k . 2 1 所以， 当 k1 或 k 时，方程只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公 2 共点 2 1 2 由 0, 即 2k k10，解得：k1, 或 k . 2 1 所以， 当 k1 或 k 时， 方程没有实数解， 此时， 直线 l 与抛物线没有公共点 2 综上，可得 1 当 k1, 或 k ，或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点； 2
28、1 当1k ，且 k0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点； 2 1 当 k1, 或 k 时，直线 l 与抛物线没有公共点 2 提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax bxc0. (1)当 a0 时， 直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； (2)当 a0 时， 方程组两组解相交； 方程组一组解相切； 方程组没有解相离 2 2 变式演练：在抛物线 y4x 上求一点，使这点到直线y4x5 的距离最短 解：设点 P(t,4t )到直线 y4x5 的距离为 d， |4t4t 5|4t 4t5 d， 1717 11 当 t 时，d
29、取得最小值，此时 P( ，1)为所求的点 22 22 2 达标检测 1若直线 ykx1 与抛物线 y x 仅有一个公共点，则 k 的值为() 11313 A. B0 或 C0 或 D. 或 44444 2在抛物线 yx 上，到直线 y 3x1 的距离最短的点的坐标是() 2 2 A(1,1) B( 3，3) C( 2 3311 ， ) D( ， ) 2424 3抛物线 y 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和为5，则线段 AB 的中点的横坐标是 _ 4抛物线 y 2x 中被点 A(1,1)平分的弦所在的直线的方程是_ 11 2 5已知抛物线 y 4x 的一条过焦点的弦， 被焦点分为长度是
30、m，n 的两部分， 则 mn _ 答案：答案：1.B2.C3.24.yx5.1 课堂小结 1能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题； 2掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系； 3 学会应用数形结合的思想、 化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题 布置作业 课本习题 2.4 A 组第 6 题，B 组第 2 题. 补充练习 3p 2 1已知直线l 过点 A(，p)且与抛物线 y 2px(p0)只有一个公共点，则直线l 的 2 条数为_ 2过抛物线 y 2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交于点P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 则 y1y2p 是直线 P
31、Q 过抛物线焦点的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 2 3设 F 为抛物线 y 4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则| FA| FB| FC|_. 4已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y2x1 所得的弦长为 15，求抛 物线的方程 3 答案：答案：1.32.C3.8 2 2 2 y 2px 2 4解：解：设抛物线的方程为 y 2px，方程组 y2x1 2 ，消去 y 得 p21 2 4x (2p4)x10，x1x2，x1x2 . 24 |AB| 1k |x1x2| 5x1x24x1x2 5 则 2 22 p2 2 1
32、 4 15， 24 p 2 p 3，p 4p120，p2 或 6. 4 2 2 y 4x，或 y 12x. 设计说明 本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题； 会用二次方程根的判别 式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力， 培养 学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计 . 例 1 是直线与抛物线相交问题， 主要是让学生体会多角度思考问题， 寻找多种解决问题的办法 例 2 则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能 想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，
33、坐标法较容易想到，应 作重点讲解 问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体， 先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律 备课资料 备选例题：备选例题： 1设抛物线y 2px(p0)的焦点为 F，经过点F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点C 在 抛物线的准线上，且 BCx 轴，求证：直线 AC 经过坐标原点 O. p 2 证法一：如图，抛物线y 2px(p0)的焦点为 F( ，0)，经过点F 的直线 AB 的方程 2 p 22 可设为 xmy ，代入抛物线的方程并整理得：y 2pmyp 0 2 2 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1、y2为方程的两
34、个根，所以y1y2p ，点 C 在抛 2 p 2 物线的准线上，且 BCx 轴，点 C 的坐标是( ，y2)，又 y12px1，故直线 CO 的斜率是 2 y22py1y1 kCO ，而 kAO ，kCOkAO，从而 A、O、C 三点共线， py1x1x1 2 所以直线 AC 经过坐标原点 O. 证法二：如图，记准线与x 轴交于点 K，过 A 作 ADl 于点 D， 则 ADFKBC，连结 AC 交 FK 于 E，则 |EK|CE|BF|AF|EF| ，由抛物线的定义知|AF|AD|， |AD|AC|BA|AB|BC| |BF|BC|， |AD|BF|AF|BC| |EK|EF|，即点 E 是
35、 FK 的中点，所以点 O 与点 E 重合，所以 |AB|AB| 直线 AC 经过坐标原点 O. 点评：点评： 这是一道几何味特浓的解析几何题， 利用平面几何知识来解决解析几何问题简捷、 巧妙，应注意体会 2已知抛物线 y 4x，求以点 M(2,1)为中点的弦所在的直线方程及弦长 解：解：设弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 x24，y1 y22. y14x1 由 2 y24x2 2 2 ，两式相减得：(y1y2)(y1y2)4(x1x2)， y1y22. x1x2 即 2(y1y2)4(x1x2)，得 所以所求直线方程为：y12(x2)，即 2xy30 y 4x 联立 2xy30 2 ，消去 y 得 4x 16x90. 2 9 则 x1x24，x1x2 . 4 |AB| 1k x1x24x1x2 35. 点评：点评：利用点差法，设而不求解决中点弦问题 (设计者：姜华) 22