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1、根式的运算根式的运算 平方根与立方根平方根与立方根 一、知识要点一、知识要点 1 1、平方根、平方根： 、定义：如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“ a”（a 称为被开方数）。 、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a”。 2 2、立方根、立方根： 、定义：如果 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作“3a”（a 称为被开方数）。 、性质：正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。 3 3、开平方（开立方）、开平方（开立方）：求一个数的平方根（
2、立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结：二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0 和 1；立方根是其本身的数 是 0 和1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个 数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、 a本身为非负数，即a0；a有意义的条件是 a0。 4、公式：( a)2=a（a0）；3a=3a（a 取任何数）。 5、 非负数的重要性质： 若几个非负数之和等于0， 则每一个非负数都为0 （此性质应用很广， 务必掌握）。 例例 1 1求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）(3)； （3
3、）1 例例 2 2求下列各式的值 （1） 81； （2） 16； （3） 2 115 ； (3)249 9 2 ；（4） (4) . 25 （5） 1.44，（6）36，（7） 例例 3 3、求下列各数的立方根： 343；2 二、巧用被开方数的非负性求值二、巧用被开方数的非负性求值. . 25 （8）(25)2 49 10 ； 0.729 27 大家知道，当当 a a0 0 时，时，a a 的平方根是的平方根是 a，即 ，即 a a 是非负数是非负数. . 例例 4 4、若 2 x 练习：已知y 1 2x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. . 我们
4、知道，当当 a a0 0 时，时，a a 的平方根是的平方根是 a，而 ，而( a) ( a) 0. 例例 5 5、已知：一个正数的平方根是2a-1 与 2-a，求 a 的平方的相反数的立方根. 练习：若2a 3和a 12是数m的平方根，求m的值. 四、巧解方程四、巧解方程 2 例例 6 6、解方程（1）（x+1） =36（2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值五、巧用算术平方根的最小值求值. . 我们已经知道 a 0,即 即 a=0a=0 时其值最小时其值最小, ,换句话说换句话说 a的最小值是零 的最小值是零. . 例例 4 4、已知：y= a 2 3(b1),当 a、
5、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当 y 最小时, 求b的非算术平方根. a x 2 y 6,求y 的立方根. x 2x 1 2,求xy的值. . 练习：练习： 1 1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（ ） A2 B2 C4 D4 2、144 的算术平方根是， 16的平方根是 ； 3、若m的平方根是5a1和a19，则m= 4、327=， 64的立方根是 ； 5、7 的平方根为， 1.21= ； 6、一个数的平方是 9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是； 7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当 x=时， 3x 1有意义；当 x= 时，35x 2有意义；
6、 9、若x416，则 x=；若3n 81，则 n=； 2 10、若 x 3x，则 x= ；若 x x，则 x ； 11、 15的整数部分为 a,小数部分为 b,则 a=_, b=_ 12、解方程：(x 1) 324 0（2） 125(x2) 343 （3 ） 64(x3) 9 0 （4） 13、已知 x3 y3 (z2) 0，求 xyz的值。 14、若y 15、已知：2 的平方根是2,2+7 的立方根是 3，求 + 的平方根 16、若y 22 23 2 1 (x1)38 0 2 2 x24 4 x2 ，求2x y的值 x2 2x 1 1 2x 1，求 xy的值。 二次根式二次根式 一、知识点一
7、、知识点 1. 1.二次根式：二次根式：式子a（a0）叫做二次根式。 2. 2.最简二次根式：最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母不含分母；分母中不不 含根式含根式。 3. 3.同类二次根式：同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 4.二次根式的性质：二次根式的性质： a（a0） 2 2（1）（ a） =a （a0）；（2）a a 0 （a=0）； a（a0） 5. 5.二次根式的运算：二次根式的运算： 二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次
8、根式，然后合并同类二次根式即可。 二次根式的乘除运算： ab=a b（a0,b0）； a a a 0,b 0 b b 【例题讲解】【例题讲解】 一、利用二次根式的双重非负性来解题一、利用二次根式的双重非负性来解题（ （ a 0（ （a a0 0），即一个非负数的算术平），即一个非负数的算术平 方根是一个非负数。）方根是一个非负数。） 例例 1 1 ：x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）（2） 5 x1 （3）(4) x 42x1 . 例例 2 2：若 若2004a a2005 a，则 ，则a20042=_=_； 若y x 3 3 x 4，则x y 【基础训练】【基础训练】 1、下列
9、各式中一定是二次根式的是（）。 A、 3； B、 2、若 x； C、x21；D、 x1 x(x1) xx1，则 x 的取值范围是 3、若 x3 x3 ，则 x 的取值范围是。 x1x1 4、若 20m是一个正整数，则正整数m 的最小值是_ 5、设设 mm、n n 满足满足n m29 9m22 ，则，则 mn= = 。 m3 2 6、若三角形的三边 a、b、c 满足a 4a 4 b3 =0，则第三边 c 的取值范围是 7、若|4x8| x ym 0，且y 0时，则（） A、0 m 1 B、m 2C、m 2D、m 2 二、利用二次根式的性质 利用二次根式的性质a2=| =|a a|=|= a(a
10、b) ( (即一个数的平方的算术平方根等于这个即一个数的平方的算术平方根等于这个 0(a 0) a(a 0) 数的绝对值数的绝对值) )来解题 来解题 【例题讲解】【例题讲解】 例例 1 1 ：已知x33x2x x 3，则（ ） A.x0B.x3.x3D.3x0 例例 2 2 ：化简(x2) 1的结果为（） x2 A、 2 x； B、x2；C、 【基础训练】【基础训练】 x2 D、 2 x 1、已知 ab，化简二次根式a3b的正确结果是（） A a ab B a ab Ca ab Da ab 2、若化简|1-x|-x28x16的结果为 2x-5 则（） A、x 为任意实数 B、1x4 C、x1
11、 D、x4 3、已知 a，b，c 为三角形的三边，则(abc)2 (bca)2 (bca)2= 4、化简| x y | x2(x y 0)的结果是（） Ay 2x By C2x y D y 5、已知：a 12aa2=1，则a的取值范围是（）。 A、a 0； B、a 1；C、a 0或 1；D、a 1 2 2 三、三、二次根式的化简与计算 二次根式的化简与计算（ （主要依据是二次根式的性质：主要依据是二次根式的性质：（ a） ）= =a a （a a0 0） ， 即即a2| a | 以及混合运算法则）以及混合运算法则） 【例题讲解】【例题讲解】 （一）化简与求值（一）化简与求值 例例 1 1：把下
12、列各式化成最简二次根式： 5（1） 3 3 （2）412402（3）25m（4） x4 x2y2 82 例二：例二：计算：2 3 3 1 8 1 12 1 50 325 【基础训练】【基础训练】 1、 下列哪些是同类二次根式： （1）75， 1 ，12，2， 1 ， 3， 1 ；（2）5 a3b3c, 275010 a3b2c3， aab ，a 4bcc 2、计算下列各题： 9a34a6bc252 18 （1） 6 27 (3 3)（2）12ab ；（3）（4）（5） 1 45b3c5a354 24 3、已知x 4、 2 2 x x 2 18 x 10 ，则 x 等于（） A4 B2 C2 D
13、4 1111 122 33 499 100 （二）先化简，后求值：（二）先化简，后求值： 1. 1. 直接代入法：直接代入法：已知x 2. 2.变形代入法：变形代入法： （1 1）变条件：）变条件：已知：x 11yx 22 ( 7 5), y ( 7 5),求(1)x y(2) xy22 2 3 1 ，求x x 1的值。 2 .已知:x= 3 2 , y 3 2 ，求 3x25xy+3y2的值 3 23 2 （2 2）变结论：）变结论： 1、设 3 =a， 30 =b，则 0.9 =。 x y 3 2、已知x 2 1, y 2 1，求 y x xy 3 xy 。 3 3、已知x y 5，xy
14、3，（1）求 x y x yy 的值（2）求的值 xx y 四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题 1.估算 312 的值在哪两个数之间（）A12 B.23 C. 34 D.45 2若 3的整数部分是 a，小数部分是 b，则3a b 3.已知 9+ 13与9 13的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值 a 4.若 a，b 为有理数，且 8+18+1=a+b2，则 b = . 8 五、二次根式的比较大小五、二次根式的比较大小 1 200和2 3 （2）5 6和6 5 （3） 17 15和 15 13 （1） 5 （4）设 a=
15、3 2, b 2 3,c 5 2, 则（） A.a b cB.a c bC.c b aD.b c a 六、实数范围内因式分解：六、实数范围内因式分解： 9x25y24x44x21x4+x26 练习：练习： 1、若x a b, y a b，则 xy 的值为（ ） A2 aB2 bCa bDa b 2、若a2 b3 0，则a2b 3、计算： （1） （3）（4） （2 4、先将 xx2 化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。 x2x32x2 5、如图，实数a、b在数轴上的位置， 化简 ：a2b2(ab)2 6、若 A ，则的取值范围是 BC ，点 D 关于点7、如图，数轴上 点 A
16、 所表示的数是 两点表示的数分别为 1 和的对称点为点，则 BCD 8、已知：a 11 1 10，求a2 2 的值。 aa 9、已知：x, y为实数，且y 10、已知 x1 1 x 3，化简：y3 y28y16。 x 3y x29 x 32 0，求 x 1 y 1 11、先阅读下列的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将 22 a 2 b 化简，若你能找到两个数m和n，使m n a且 mn 则 b ， a 2 b 可 变 为 m2 n2 2mn ， 即 变 成 (m n)2 开 方 ， 从 而 使 得 a 2 b 例如： 化简。 5 2 6 =322 6 =( 3) 2( 2)2 2 2 3
17、 ( 3 2)2 ， 52 6 ( 32)232 请仿照上例解下列问题： （1）52 6 ；（2） 4 2 3 二次根式运算的技巧二次根式运算的技巧 二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的， 但在计算过程中若能巧妙地运用一 些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧： 一、一、巧移因式法巧移因式法 例1、计算(3 2 48)( 18 4 3) 4 3根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先 根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先分析：将分析：将3 2、 把把 48、18化简，然后利用平方差公式计算 化简，然后利用平方差
18、公式计算 解：原式=( 322 48)( 18 423) =( 18 =18-48 =-30 48)( 18 48) 二、二、巧提公因数法巧提公因数法 例 2、计算(5 6)(5 2 2 3) 2 分析：分析：2=2=( 2)5 2 2 3中有公因数中有公因数 2，提出公因数 ，提出公因数 2后，可用平方差公式 后，可用平方差公式 计算计算 2 解：原式=(5 6)5 2 ( 2)3 =(5 6) 2(56) 6)(56) = 2(5 = 2（25-6） =19 2 三、三、公式法公式法 例 3、计算( 2 3 6)( 2 3 6) 分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用
19、，本题用平方差公式分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式 来计算很简便来计算很简便 解：原式=( 2 6) 3( 2 6) 3 22 =( 2 6) ( 3) =2 2 2 6 63 =5 4 3 四、四、因式分解法因式分解法 例 4、计算(x2 xy y)( x y) 分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算 很简便很简便 解：原式=( x)2 2 xy ( y)2( x =( x =x y) y)2( x y) y 五、五、拆项法拆项法 例
20、 5、化简 6 4 3 3 2 ( 6 3)( 3 2) 分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便 解：原式= ( 6 3)3( 3 2) ( 6 3)( 3 2) 1 3 2 3 6 3 = = 3 2 6 3 = 6 2 六、六、配方法配方法 例 6、计算32 2 52 6 198 3 分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的 式子化成完全平方式，使问题便于计算式子化成完全平方式，
21、使问题便于计算 解：原式= (12) ( 3 2) (43) =( 2 1) ( 3 2) (4 3) =-5 222 七、整体代入，别开生面七、整体代入，别开生面 例例 5.5. 已知，求下列各式的值。 （1）（2） 分析：根据分析：根据 x x、y y 值的特点，可以求得值的特点，可以求得 所求的值的式子变形为关于所求的值的式子变形为关于 得多。得多。 ，如果能将，如果能将 或或 xyxy 的式子，再代入求值要比直接代入求值简单的式子，再代入求值要比直接代入求值简单 解：因为 所以 （1） （2） （也可以将 八、巧换元，干净利索八、巧换元，干净利索 变为来求） 例 6. 计算 分析：分析
22、： 此算式中的两个公式互为倒数，此算式中的两个公式互为倒数， 若设若设， 则原式 而 原式 解：设 则 所以原式 例 7. 计算 分析：有两种方法，一种换元，一种配方。分析：有两种方法，一种换元，一种配方。 解法解法 1 1：设 两边平方 因为 所以 即 解法解法 2 2：原式 所以遇到二次根式运算一定认真审题、 仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效 果 二次根式的运算测试题二次根式的运算测试题 姓名姓名班级班级学号学号 一选择题（本题（本题 3030 分，每小题分，每小题 3 3 分）：分）： 1化简 3 3(1 3)的结果是 A3B3 () C. 3D 3 ()2计算( 282 3
23、7) 7 84的结果是 A11 7B15 3C21D24 ()3计算(3 25 3)(3 25 3)的结果是 A57B57C53D53 () 1 2 1 2 4计算 a a 的结果是 a a A2B4C2 aD4 a 5 2( 2 3) 6的值是_； 6化简： 3( 2 3) 24| 63|_ 7计算(50 8) 2的结果是_ 8、计算： 40 5_ 5 9、有下列计算：(m2)3m6； 4a24a12a1；m6m2m3； 27 50 615；2 122 33 4814 3.其中正确的运算有_ 10、计算：( 21)( 21)_ 二、计算题（本题（本题 3030 分，每小题分，每小题 5 5 分）：分）： (1) 8 6；(2)(5 6)(5 22 3)；5 3 27 13 52 2111 23；(4). 3 22131 (3)9 453 a2b (5)3 8( 545 22 6)；(6) a( a2)； b 二、解答题（本题（本题 4040 分，每小题分，每小题 1010 分）：分）： 1、已知 a 52，b 52，求a2b27的值？ 2 2、已知 x1 3 2，x2 3 2，求 x1x2 2？ 3、已知 xy 3，求代数式(x1)22xy(y2x)的值 a22a1 4、先化简，再求值：(a bab)，其中 a 31，b 31. a1 2