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1、第十七章坐标系与参数方程高考导航考试要求重难点击命题展望一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的
2、区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方
3、程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1坐标系典例精析题型一极坐标的有关概念 【例1】已知ABC的三个顶点的极坐标分别
4、为A(5，)，B(5，)，C(4，)，试判断ABC的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得AOB，BOC，AOC.又|OA|OB|5，|OC|4，由余弦定理得|AC|2|OA|2|OC|22|OA|OC|cosAOC52(4)2254cos133，所以|AC|.同理，|BC|.所以|AC|BC|，所以ABC为等腰三角形.又|AB|OA|OB|5，所以AB边上的高h，所以SABC5.【点拨】判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A(5，)在条件：0，(2，0)下极坐标为 ，0，(2，4)下极坐标为；
5、(2)点P(，)与曲线C：cos 的位置关系是 .【解析】(1)(5，)；(5，).(2)点P在曲线C上.题型二直角坐标与极坐标的互化 【例2】O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为xcos ，ysin ，由4cos ，得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0为O1的直角坐标方程.同理，x2y24y0为O2的直角坐标方程.(2) 由解得或即O1，O2的交点为(0,0)和(2，2)两点，故
6、过交点的直线的直角坐标方程为xy0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆3上的点到直线(cos sin )2的距离为d，求d的最大值.【解析】将极坐标方程3化为普通方程x2y29，(cos sin )2可化为xy2.在x2y29上任取一点A(3cos ，3sin )，则点A到直线的距离为d，它的最大值为4.题型三极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2(y1)21于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解析】以O为极点，Ox为极轴，
7、建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y2，则有|PQ|PR|.设P(，)，Q(0，)，则有02sin .因为|PR|PQ|，所以|2sin |2sin |，所以2或sin 1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24或x0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A在直线x5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x5的极坐标方程为cos
8、5.设A(0，0)，P(，)，因为点A在直线cos 5上，所以0cos 05.因为OPA为等腰三角形，且OPA120，而|OP|，|OA|0以及POA30，所以0，且030.把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为cos(30)5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P(x，y).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan 时，其两个焦点F1、F2经变换公式
9、T变换后得到的点F1和F2的坐标；(2)当tan 时，求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义知焦距2c2c，即a2b22.又由已知得a2b24，故由、可解得a23，b21.即椭圆C的标准方程为y21，且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(，0)和F2(，0).对于变换T：当tan=时，可得设F1(x1，y1)和F2(x2，y2)分别是由F1(，0)和F2(，0)的坐标经变换公式T变换得到.于是即F1的坐标为(，)；又即F2的坐标为(，).(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan 时，有x3y，由点P(x，y)C，即P(3y，y)C，得y21因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(，)和(，).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x2y2经过伸缩变换后变成直线2xy4.【解析】总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.5