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1、数学物理方法绪论,物理学进展及其重要性 数学与物理的关系 如何学好数学物理方法 参考书目,主要内容,1,基础课件,一、物理学进展及其重要性,1、发展史（包括：经典与量子）,2,基础课件,（2）量子物理学（Plank, Heisenberg, Dirac, Einstein为代表）,图1：黑体辐射能量密度曲线,背景：二十世纪初出现的几朵乌云，比如黑 体辐射、光电效应等。,3,基础课件,光电效应：只有光照大于临界频率时，光路才导通。光路是否导通与光强无关。,光照能量 ，下图光路导通。,图2：光电效应光路,4,基础课件,2、物理学的发展方向：深度和广度,（1）深度（方向细化）,5,基础课件,（2）广
2、度（学科交叉）,6,基础课件,3、物理学推动的三次技术革命,Watt蒸汽机代替手工 Maxwell为代表的电气化：扩大了生产规模，提高了效率 自动化和新能源革命：纳米科技及量子计算机、自然能与氢能、原子能,7,基础课件,二、数学与物理（相辅相成）,物理推动数学：Dirac引出的算符发展为数学中的算符学；热力学中的熵发展为数学中熵函数。 数学也推动物理：格林函数在物理学中的应用；霍金从数学推断出：宇宙是由无限高密的奇点经大爆炸形成的，并给出守恒方程：,8,基础课件,Fermi把物理研究总结为两类：,把问题简化为物理模型 问题有严谨的数学过程,9,基础课件,三、如何学好数学物理方法,与实变函数联系
3、 把物理规律翻译成数学公式 通过习题练习，掌握数、理互译过程 广泛阅读，掌握多种技能（如：计算软件Matlab、物理实验等）提高综合能力,10,基础课件,参考书：（不同体系）,郭敦仁编数学物理方法，高教社 吴崇试编数学物理方法，北大出版社 潘忠诚编数学物理方法，南开大学 胡嗣柱编数学物理方法，高教社 邵惠民编数学物理方法，科学出版社 姚端正编数学物理方法，科学出版社 王竹溪编特殊函数，北大出版社 季孝达编数学物理方程，科学出版社,11,基础课件,第一章 复变函数,复数的引入 复数的表示 复数运算 复变函数 复数的导数及求导规则 柯西-黎曼方程（C-R条件）,本节内容,12,基础课件,1.1复数
4、及其运算,2、三种表示及关系：,13,基础课件,3、共轭复数z*（或记为 ） 定义：z*=x-iy，与z关于X轴对称。,二、无限远点,定义：复平面上模为无限大的复数归并成的一点，可以 用复数球的北极点来表示。,如图：复平面上A点与 球面上的唯一点A点对 应，复平面上模为无限 大的点与球的北极点N 对应。O为复平面原点， 复数球的南极点。,14,基础课件,三、复数运算,1、和差：,2、积：,3、商：,4、幂：,5、根式：,15,基础课件,四、复运算结果的解释,1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则,16,基础课件,2、根式结果的多值性,令,其中可取k =0，1 n-1共n个值。,17,基础课
5、件,五、共轭运算,1、,2、,3、,4、,5、,18,基础课件,证明,1、,令,得证。,19,基础课件,共同证明,2、,其余作为练习。,20,基础课件,举例：,例1.倍角关系： 1、求cos3j和sin3j的单角表示形式。,解：由cos3j +isin3j =ei3j = (eij)3= (cosj +isinj )3 = (cos3j -3cosj sin2j )+i(3cos2j sinj-sin3j ),比较实部和虚部得：,21,基础课件,例1.2：,求cos4j和sin4j的单角表示形式。(自作）,解：由cos4j +isin4j =ei4j = (eij)4= (cosj +isin
6、j )4 = (cos4j -6cos2j sin2j + sin4j)+i(4cos3j sinj -4cosjsin3j ),得：,22,基础课件,例2.几何意义 1、解释|z-i|2代表的几何意义。,解： 令z =x +iy，,则|z-i|2,代表以（0，1）为圆心，以 2为半径的圆及其内部。,23,基础课件,例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。,解：令z =x +i y，,则|z-i|=|z-2|,代表斜率为2截距为-1.5的直线， 即(0,1)- (2,0)线段的垂直平分线。,推广： |z-a|=|z-b|,24,基础课件,例3：复数化简(下面a, b为实数),1、化
7、简cos(a+ib),解法一：,25,基础课件,解法二：三角函数的和差角公式对复数仍成立(见下节),2、化简ia+ib,解：,作业：P5：1(3,8), 2（4,6），3（1,3,7）,例：二维矩阵运算（略）,26,基础课件,1.2 复变函数,一、定义：w=f(z), zE。,二、概念 1、z0点的邻域： 2、内点z1 、外点z2 和 境界点z3 （见图1） 3、区域二要素：内点组成； 具有连通性（图2） 4、闭区域 ：含境界线,单连通 复连通 非区域 图2,27,基础课件,三、基本复变函数,指数：ez= ex+iy =ex (cosy+isiny)= ez+i2p(多对一） 对数：lnz=l
8、n(|z| eiArgz )= ln|z|+ iArgz（一对多） 三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i), cosz=(eiz+e-iz)/2 双曲： sinhz=(ez-e-z)/2, coshz=(ez+e-z)/2,说明： 1. 三角函数具有实周期2p，其模可大于1； 证明：cosz =(eiz+e-iz)/2 =cosx(e-y+ey)+i(e-y-ey)sinx 从而|cosz|= (e-2y+e2y)+2(cos2x-sin2x)1/2可大于1。 2. 指数和双曲函数具有纯虚数周期2pi。 3. 对数复变函数值不唯一（多值函数）。 4. 令z=iz，则siniz=(e-z
9、-ez)/(2i)= isinhz, cosiz=(e-z+ez)/2= coshz。,28,基础课件,四、初等函数例题,例、（上节例3.2）化简ia+ib,解：利用指数函数的换底公式得,结果同前。,29,基础课件,五、复变函数与实变函数的联系（补充实变函数性质）,复变函数可归结为一对实变函数 记为f (z) = u(x, y)+iv(x, y)； 因此实变函数的许多结论可移植到复变函数。 极限：lim zz0 f (z) =A 定义：当0|z-z0|d时，总有|f (z)-A|e。 点连续： f (z) 在z0邻域内有定义，且存在极限lim zz0 f (z) = f (z0)。 4. 区域
10、连续：当f (z) 在区域B中的每一点都连续。,作业：P9：2（1，3，5，9）、3,30,基础课件,1.3 复数导数,一、可导定义：若单值函数f (z) = w在定义域B上某点z 处存在极限lim z0 f (z+z)- f (z) /z ，且极限 与z0 的方式无关，则称f (z) 在z点可导，极限 记为f (z)或df/dz 。 可微定义：若w= f (z+z)- f (z)可写成 w=A(z)z+(z),其中lim z0 (z) /z 为 0，则称f (z) 在z点可微，其微分dw=A(z)dz，其中 规定dz= z。,31,基础课件,二、C-R方程？,1、证明：因f(z)可导，则z沿
11、任何方向趋于0时极限 都相等，即当 z=iy 0 时(沿y轴方向)，其极限： f (z)/z=iy =f /iy =lim y0 u(x,y+y)+iv(x,y+y)- u(x,y)+iv(x,y )/iy = v/y-iu/y。 而，当 z=x 0 时(沿x轴方向)，极限： f (z)/z=x =f /x = u/x+iv/x。,沿两个方向的极限应相等，即得 此二式便称为Cauchy-Riemann方程 （也叫C-R条件）。,32,基础课件,重要说明：,C-R条件是可导的必要但不充分条件。,例如：函数,在z=0处：,同样，,令,f /z在一、三象限极限为：,即z=0处C-R条件成立。,在一、三象限,在二、四象限,33,基础课件,三、可导的充要条件,在区域B上函数的实部u和虚部v存在连续可导的偏导 数，并满足C-R条件。,证明：因实部u和虚部v连续可导，故存在全微分,故导数存在：,至于其必要性，将在2.4节中给出。,？,34,基础课件,四、复变函数的求导规则,与实变函数的求导规则完全相同：,35,基础课件,五、其它坐标系下的C-R条件,极坐标系：,自然坐标系：,证明：,同理，可证其它。,36,基础课件,