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1、矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,1,基础课件,矩阵的对角化,若当标准型,第 三 章,2,定义1:设 为数域 上的多项式，令,方阵化为对角形是有条件的，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。,3,定义2 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话) 全为零，则称 的秩为 ，记为:,4,对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵,下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置； (2) 非零常数
2、 乘矩阵的某一行(列)； (3) 矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上 去，其中 是 的一个多项式。,5,定理1: 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵 右乘,定义4 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ，则称 与 等价，记之为,定理2: 与 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 与 ，使得,6,行列式因子的定 义：,设 为一个 阶 矩阵,对于任意的正整数 必有非零的 阶子式， 的全部 阶子式的首一最大公因子称为 的 阶行列式因子。记为:,显然，如果 ，则行列式因子一共有 个,7,由于 ，所以 。,显然 而且
3、其余的7个2 阶子式也都包含 作为公因子，所以 另外,8,定理2： 等价 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。,定理3: 设 为 阶 矩阵, 是 的 阶行列式因子,则:,9,定理4 任意一个非零的 阶 矩阵都等价于一个对角矩阵，即:,2, -矩阵Smith标准形的存在性,且,10,证明:由定理2知, 与 有相同的行列式因子 , 而 的行列式因子为,所以, 为 的不变因子,11,解：,12,为不变因子,13,解：,14,15,16,解：,17,18,19,20,21,22,推论1 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。,推论2 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。,与
4、一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：,3,初等因子,设 矩阵 的不变因子为 在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：,23,其中 是互异的复数， 是非负整数。 因为 ,所以满足如下关系:,于是,我们有定义:,24,初等因子的定义 在上式中，所有指数大于零的因子 称为 矩阵 的初等因子,例4 如果 矩阵 的不变因子为,则 的初等因子为,25,定理5 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。,定理6 设 矩阵 为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,此定理也可推广成如下形式：,26,推论3 若 矩阵 则 各个初等因子的全体 就是 的全部初等因子。,
5、27,例5 求 矩阵 的初等因子，不变因子与标准形。,解：记,28,那么 对于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为 的不变因子为,29,因此 的Smith标准形为,30,二,矩阵的Jordan标准形,31,而:,为A的特征值 的若当子块,32,于是可以得到下面的定理,定理7： 设 , 全部初等因子为：,33,解： 先求出 的初等因子。对 运用初等 变换可以得到,例6： 求矩阵,的Jordan标准形。,所以 的初等 因子为,34,故 的标准形为,或,解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到:,35,所以 的初等因子为,故 的Jordan标准形为,或,36,或,37,解：,3
6、8,由定理7知道，方阵与标准型J 是相似的，即 存在可逆矩阵T，使得： ，求法如下：,设 ，,由 得,所以：,解方程并选择适当的 即得。,39,称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的 一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。,解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：,40,故 的初等因子为,从而 的Jordan标准形为,41,再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为 ，则：,从而：,42,整理以后可得一个线性方程组,前面的两个方程为同解方程组， 可以求出它们的一个基础解系：,这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令： 显然 是前两
7、个方程的解，将 代入第三个方程,43,中，为的是选取适当的 ，使：,有解,即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩为1,44,再由第三个方程解出一个特解为,于是：,那么所求相似变换矩阵为,由 ，知：,即A通过相似变换T变成若当标准型J,45,解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：,故 的初等因子为,46,从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵：,设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为,47,从而：,整理后的三个方程为：,前面的两个方程为同解方程组， 可以求出它们的一个基础解系：,48,49,那么所求相似变换矩阵为,50,解：首先用初等变换法 求其Jordan标准形：,三,Jordan标准形的某些应用,初等因子为,51,从而 的Jordan标准形为,再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出,52,从而,53,例10：求解常系数线性微分方程组,解： 令,54,由前面的例题可知存在 使得,那么此方程组可表示成,作线性替换,55,从而可得 整理即得方程,首先得到两个很显然的解,然后再解第三个方程,56,其解为 这样得到,即,其中 为任意常数。,57,Good,Bye,58,