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1、 第 1 页 浦东新区浦东新区 2017 学年度第一学期期末教学质量检测试题学年度第一学期期末教学质量检测试题 高三数学试卷高三数学试卷 2017.12 一一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，分，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分）分） 1. 集合1,2,3,4,1,3,5,7AB，则AB_ 2. 不等式 1 1 x 的解集为_ 3. 已知函数( )21f xx的反函数是 1( ) fx ，则 1(5) f =_ 4. 已知向量(1, 2),(3,4)ab，则向量a在向量b的方向上的投影为_ 5. 已知i是虚数单位，复数z满
2、足 131zi，则| z _ 6. 在 5 (21)x的二项展开式中， 3 x的系数是_ 7. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从中抽取 4 个产品，其中恰好有 1 个二等 品的概率为_ 8. 已知函数( )yf x是定义在R上的偶函数，且在0,)上是增函数，若(1)(4)f af，则实数a 的取值范围是_ 9. 已知等比数列 1 1 , ,1, 9 3 前n项和为 n S，则使得2018 n S 的n的最小值为_ 10. 圆锥的底面半径为 3， 其侧面展开图是一个圆心角为 2 3 的扇形， 则此圆锥的表面积为_ 11. 已知函数( )sin(0)f xx，将(
3、 )f x的图像向左平移 2 个单位得函数( )g x的图像，令 ( )( )( )h xf xg x如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有( )( )(1)h mh xh m成立，则的 最小值为_ 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线 22 1 24 xy 上的两个动点，动点P满足： 2OPOMON，直线OM与直线ON斜率之积为 2已知平面内存在两定点 1 F、 2 F，使得 12 |PFPF为定值，则该定值为_ 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）分） 13. 若实数x、Ry，则命题甲“ 4 4 xy xy ”是命题乙“ 2
4、2 x y ”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 第 2 页 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知ABC总，,1 2 AABAC ， 点P是AB边上的动点， 点Q是AC边上的动点， 则BQ CP 的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 15. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系 kx b ye （2.718e 为自然对数的底数，k、b为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小 时，则该食品在 33的保鲜时间是（ ）小时 A. 22 B. 23 C. 24 D. 33 16. 关于
5、x的方程 2 arcsin(cos )0 xxa恰有 3 个实数根 1 x、 2 x、 3 x，则 222 123 xxx（ ） A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 2 2 三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 17. （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题小题 7 分，第分，第 2 小题小题 7 分）分） 如图，在长方体 1111 A B C DABCD中， 1 2,1,1ABADAA （1）求异面直线 1 BC与 1 CD所成的角； （2）求三棱锥 1 BD AC的体积 18. （本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题小题
6、 7 分，第分，第 2 小题小题 7 分）分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知：(2,1),cos , coscosmncC aBbA， 且mn （1）求C； （2）若 22 7cb，且2 3 ABC S，求b的值 第 3 页 19. （本题满分本题满分 14 分分，第第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分）分） 已知等差数列 n a的公差为 2，其前n项和 2* 2 ,(N ,R) n Spnn np （1）求p的值及 n a的通项公式； （2）在等比数列 n b中， 2132 ,4ba ba，令 * (21) (N ) (2 ) n n n a
7、nk ck bnk ，求数列 n c的前n项 和 n T 20. （本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 6 分）分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F；设点(0, )Ab，在 12 AFF中， 12 2 3 F AF ，周长为42 3 （1）求椭圆方程； （2）设不经过点A的直线l与椭圆相交于B、C两点若直线AB与AC的斜率之和为1，求证：直 线l过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆上一个动点，试根据AEP面积S的不同取
8、值范围， 讨论AEP存在的个数，并说明理由 第 4 页 21. （本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分）分） 已知函数( )f x的定义域为D，值域为( )f D，即( )( ),f Dy yf x xD若( )f DD，则 称( )f x在D上封闭 （1）试分别判断函数 2017 ( )2017log x f xx、 2 ( ) 1 x g x x 在(0,1)上是否封闭，并说明理由； （2） 函数( )1f xxk 的定义域为 , Da b， 且存在反函数 1( ) yfx 若函数( )f x在D上封闭
9、， 且函数 1( ) fx 在( )f D上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数( )f x的定义域是D，对任意x、yD，若xy，有( )( )f xf y恒成立，则称( )f x在 D上 是 单 射 已 知 函 数( )f x在D上 封 闭 且 单 射 ， 并 且 满 足( ) n fDD， 其 中 * 11 ( )( ) ,(N ),( )( ) nn fxffxnf xf x 证明： 存在D的真子集 n D 1n D 3 D 2 D 1 D D，使得( )f x在所有(1,2,3, ) i D in上封闭 A F2F1O x y 第 5 页 参考答案参考答案 一. 填空题 1.1
10、,3 2.01x xx或 3.3 4.1 5. 1 2 6.80 7. 16 33 8.5,3 9.10 10.36 11. 12. 2 10 二. 选择题 13-16.BBCB 16【解】:记函数 2 arcsin cosf xxxa，则 2 arcsin cosfxxxaf x 若 0f x 恰有 3 个解，则必有一解为 1 0 x ，即 2 00arcsin cos00 2 faa 2 arcsin cos 2 f xxx 且另两根 2 x、 3 x满足 23 0 xx，不失一般性，不妨设 2 0 x ； 则 22 2222 arcsin cos0arcsin cos 22 xxxx ，
11、 22 2 1 2 x ， 故x， 2 22 coscosxx； 又 2 0 x 时，只有唯一解，故 2 2222 10 xxxx，解得 233 11xxx 故 222 123 2xxx 三. 解答题 17.（1） 10 arccos 10 ； （2） 1 3 18.（1） 2 3 ;（2）2b 19.（1）1p ，21 n an； （2）当n为奇数时， 2133 28 n n nn T ； 当n为偶数时， 21 33 28 n n nn T 20.（1） 2 2 1 4 x y； （2）定点为2, 1； 第 6 页 （3）05 1S时，有 4 个AEP存在，5 1S 时，有 3 个AEP存在
12、； 5 15 1S 时，有 2 个AEP存在，当5 1S 时，有 1 个AEP存在. 21解： （1）对 2017 2017log x f xx，取 2 1 2017 x ， 则 2 1 1 216 201716 2017 2 1 2017log201722220 2017 f ，故 fx在0,1不是封闭的； 22 1 111 112 1111 xx g xxx xxxx ，若0,1x，则11,2x 对函数 1 h tt t ，当1,2t时，函数递增，故 5 2, 2 h t ，故 1 0,0,1 2 g x ， 故 g x在0,1是封闭的； （2）由题意可设， fx在, a b上的值域为, c d，则 fx在, a b是封闭的，有,a bc d 1 fx 的定义域,f Dc d，值域,Aa b，由 g x在fD是封闭的，有,c da b 故 ,a bc d； 又函数 1f xxk 在定义域内单调递增，故 f aa f bb ，其中1ab ； 故a，b均为方程1xxk 的解； 该方程有解等价于 22 2110 xkxk 在, k 上有两个实数根（可相等） ； 记 22 211m xxkxk，则有 0 0 21 2 m k k k ，解得 5 1 4 k； （3）证明略