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1、第四章第四章三三角角形形 1.应用三角形的三边关系的方法技巧 (1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、 两边之差,第三 边大于两边之差小于两边之和. 【例】若三角形的两边长分别为 6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为() A.2 cmB.3 cm C.7 cmD.16 cm 【标准解答】选 C.设第三边长为 xcm. 由三角形三边关系定理得 9-6x9+6, 解得 3x15. (2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和, 与最长边去比较. 【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是() A.3,8,4B.4,9,6
2、 C.15,20,8D.9,15,8 【标准解答】选 A.分析各选项: A.3+49能构成三角形; C.8+1520能构成三角形; D.8+915能构成三角形. (3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解 决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据. 【例】如图,点 P 是ABC 内任意一点,试说明 PB+PCAB+AC. 【标准解答】延长 BP 交 AC 于点 D, 在ABD 中,PB+PDAB+AD, 在PCD 中, PCPD+CD, +得 PB+PD+PCAB+AD+PD+CD, 即 PB+PCCD,将ABC 沿 AD 剪开,拼成如图
3、 2 的四边形 ABDC. (1)四边形 ABDC具有什么特点? (2)请同学们在图 3 中,用尺规作一个以 MN,NP 为邻边的四边形 MNPQ,使四边形 MNPQ 具有上 述特点(要求:写出作法,但不要求证明). 跟踪训练答案解析 第四章三角形 1.应用三角形的三边关系的方法技巧 【跟踪训练】 1.【解析】选 B.如果满足较小的两条线段之和大于最长的线段,那么这三条线段就能组成三角形. 因为 1+1=2,1+46,2+35. 2.【解析】选 C.设第三边长为 x,则由三角形三边关系定理得 5-2x5+2,即 3x7.故选 C. 3.【解析】选 C.设他所找的这根木棍长为 x,由题意得:3-
4、2x3+2,1x5, x 为整数,x=2,3,4. 4.【解析】各边长度都是整数、最大边长为 8, 三边长可以为: 1,8,8 2,7,82,8,8 3,6,83,7,83,8,8 4,5,84,6,84,7,84,8,8 5,5,85,6,85,7,85,8,8 6,6,86,7,86,8,8 7,7,87,8,8 8,8,8 故各边长度都是整数、最大边长为 8 的三角形共有 20 个. 答案:20 5.【解析】由中线性质,可得 AG=2GD,则 SBGF=SCGE=SABG=SABD =SABC=12=2, 阴影部分的面积为 4. 答案:4 2.求一个角的度数的方法 【跟踪训练】 1.【解
5、析】选 A.如图, 1=60,2=45, =180-45-60=75. 2.【解析】选 C.ABCD, DCE=A=34, DEC=90, D=90-DCE=90-34=56. 3.【解析】选 C.A=60,ABC=42, ACB=180-A-ABC=78. B,C 的平分线为 BE,CD, FBC=ABC=21, FCB=ACB=39, BFC=180-FBC-FCB=120. 4.【解析】选 B.EFAC, EFB=C=60, DFAB, DFC=B=45, EFD=180-60-45=75. 5.【解析】ACD=A+B,A=80,ACD=150, B=70. 答案:70 6.【解析】直线
6、 l1l2, ABC1,ABC2,ABC3 的底边 AB 上的高相等, ABC1,ABC2,ABC3 这 3 个三角形同底,等高, ABC1,ABC2,ABC3 这些三角形的面积相等. 即 S1=S2=S3. 3.确定全等三角形的对应边、对应角的方法 【跟踪训练】 【解析】 选 C.由于1=2,B=D,所以点 C与点 E,点 B 与点 D是对应点,故应表示为ABC ADE,所以选 C. 4.全等三角形 【跟踪训练】 1.【解析】选 C.A、添加 CB=CD,根据 SSS,能判定ABCADC,故 A 选项不符合题意 B、添加BAC=DAC,根据 SAS,能判定ABCADC,故 B 选项不符合题意
7、 C、添加BCA=DCA 时,不能判定ABCADC,故 C 选项符合题意 D、添加B=D=90,根据 HL,能判定ABCADC,故 D 选项不符合题意 故选 C. 2.【解析】ABDE, ABC=DEF, BE=CF,BC=EF, AB=DE,ABCDEF, DF=AC=6. 答案:6 3.【解析】在ABF 和ACE 中, ABFACE(SAS), ABF=ACE(全等三角形的对应角相等), BF=CE(全等三角形的对应边相等), AB=AC,AE=AF, BE=CF, 在BEP 和CFP 中, BEPCFP(AAS),PB=PC, BF=CE,PE=PF, 图中相等的线段为 PE=PF,BE
8、=CF. 4.【证明】(1)ABCD, AEC=ECD,BED=EDC, CE=DE,ECD=EDC, AEC=BED. (2)E 是 AB 的中点,AE=BE, 在AEC 和BED 中, AECBED(SAS),AC=BD. 5.【证明】(1)在四边形 ABCD 中, A=BCD=90, B+ADC=180. 又ADC+EDC=180, ABC=EDC. (2)连接 AC. 在ABC 和EDC 中 ABCEDC. 6.【证明】AEBD,EAC=ACB, AB=AC,B=ACB, B=EAC, 在ABD 和CAE 中, ABDCAE,AD=CE. 5.尺规作图 【跟踪训练】 1.【解析】已知:线段 a,b 和. 求作:ABC,使 BC=a,AC=b,C=(也可以使任意两边分别等于 a 和 b,夹角为). 2.【解析】(1)四边形 ABDC中,AB=DC,B=C(或四边形 ABDC中,一组对边相等,一 组对角相等). (2)作法:延长 NP 以点 M 为圆心,MN 为半径画弧,交 NP 的延长线于点 G 以点 P 为圆心,MN 为半径画弧,以点 M 为圆心,PG 为半径画弧,两弧交于点 Q 连接 MQ,PQ 四边形 MNPQ 是满足条件的四边形.