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1、应用多元统计分析,第二章部分习题解答,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),2,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-1 设3维随机向量XN3(,2I3)，已知,试求Y=AX+d的分布.,解:利用性质2,即得二维随机向量YN2(y,y), 其中：,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),3,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-2 设X=(X1,X2)N2(,)，其中,（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.,解: (1) 记Y1 X1 +X2 (1,1)X, Y2 X1 -X2
2、(1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又,故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),4,第二章 多元正态分布及参数的估计,或者记,由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),5,第二章 多元正态分布及参数的估计,(2) 因,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),6,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知,其中(i) (i1，2)为p维向量,i
3、 (i1，2)为p阶矩阵，(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.,解 :(1) 令,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),7,第二章 多元正态分布及参数的估计,由定理2.3.1可知X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),8,第二章 多元正态分布及参数的估计,(2) 因,所以,注意:由D(X)0,可知 (1-2) 0.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),9,第
4、二章 多元正态分布及参数的估计,2-11 已知X=(X1,X2)的密度函数为,试求X的均值和协方差阵.,解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=12,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),10,第二章 多元正态分布及参数的估计,类似地有,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),11,第二章 多元正态分布及参数的估计,0,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),12,第二章 多元正态分布及参数的估计,所以,故X=(X1,X2)为二元正态分布.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),13,第
5、二章 多元正态分布及参数的估计,解二:比较系数法 设,比较上下式相应的系数,可得:,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),14,第二章 多元正态分布及参数的估计,故X=(X1,X2)为二元正态随机向量.且,解三:两次配方法,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),15,第二章 多元正态分布及参数的估计,即,设函数 是随机向量Y的密度函数.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),16,第二章 多元正态分布及参数的估计,(4) 由于,故,(3) 随机向量,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答
6、),17,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-12 设X1 N(0,1),令,证明X2 N(0,1); 证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.,证明(1):任给x,当x-1时,当x1时,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),18,第二章 多元正态分布及参数的估计,当-1x1时,(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),19,第二章 多元正态分布及参数的估计,若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知, 它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1
7、 , X2 ) 不是二元正态分布.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),20,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-17 设XNp(,),0,X的密度函数记为f(x;,).(1)任给a0,试证明概率密度等高面 f(x;,)= a 是一个椭球面. (2) 当p=2且 (0)时，,概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.,证明(1):任给a0,记,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),21,第二章 多元正态分布及参数的估计,令 ,则概率密度等高面为,(见附录5 P390),应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠
8、璇(第二章部分习题解答),22,第二章 多元正态分布及参数的估计,故概率密度等高面 f(x;,)= a是一个椭球面.,(2)当p=2且 (0)时,由,可得的特征值,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),23,第二章 多元正态分布及参数的估计,i (i=1,2)对应的特征向量为,由(1)可得椭圆方程为,长轴半径为 方向沿着l1方向(b0);,短轴半径为 方向沿着l2方向.,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),24,第二章 多元正态分布及参数的估计,2-19 为了了解某种橡胶的性能，今抽了十个样品，每个测量了三项指标： 硬度、变形和弹性，其数据见表。试计算样本均值，样本离差阵，样本协差阵和样本相关阵.,解：,应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答),25,第二章 多元正态分布及参数的估计,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,