方差的性质(经典实用).ppt

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1、方差的性质,1,性质1: 若X=C,C为常数,则 Var(X)=0 .,性质2: 若b为常数,随机变量X的方差存在, 则bX的方差存在,且 Var(bX) = b2Var(X),Var (aX + b ) = a2 Var(X),结合性质1与性质2就有,方差的性质,2,若随机变量X1, X2, , Xn 的方差都存在,则X1+X2+.+Xn的方差存在,且,性质3:,即,方差的性质,3,若随机变量X1, X2, , Xn相互独立,则,性质4:,n2时由于,Var(XY)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY),若X, Y 独立,则 Var(XY)= Var(X) +Var(

2、Y),方差的性质,4,注:以后若无特殊说明,都认为随机变量的方差大于0。,性质5:,对任意常数C, Var(X ) E(X C)2 , 等号成立当且仅当C = E(X ).,方差的性质,5,例1. 设X B( n , p),求Var(X ).,解: 引入随机变量,故,则,由于,方差的性质,6,例2.标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称,为 X 的标准化随机变量. 显然,,方差的性质,7,例3. 设X1, X2, , Xn相互独立,有共同的期望 和方差 ,,则:,证明:,方差的性质,8,例4.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立,且每

3、个Xi的期望都是0,方差都是1, 令Y= X1+X2+Xn . 求 E(Y2).,解:由已知,则有,因此,,方差的性质,9,例5.设随机变量X 和Y 相互独立,且 XN(1,2),YN(0,1), 试求 Z = 2X-Y+3 的期望和方差。,由已知,有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y独立。因此,,D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.,E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5,解:,注:由此可知 ZN(5, 9)。,方差的性质,10,思考:为什么?,一般地,,方差的性质,11,C. 两个不等式,定理3.2 (马尔可夫(Markov

4、)不等式): 对随机变量X 和任意的 0,有,证明: 设X为连续型, 密度函数为 f (x), 则,方差的性质,12,上式常称为切比雪夫(Chebyshev)不等式,在马尔可夫不等式中取 = 2, X 取为X-EX 得,是概率论中的一个基本不等式.,方差的性质,13,例6.已知某种股票每股价格X的平均值为1元,标准差为0.1元,求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,方差的性质,14,例7. 在每次试验中,事件A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求:n 需要多么大时,才能使得在 n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在0.74 0.7

5、6之间的概率至少为0.90?,解:设X 为n 次试验中事件A 出现的次数,,的最小的n .,则 XB(n, 0.75).,而所求为满足,于是E(X)=0.75n, Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n,方差的性质,15,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.01n,方差的性质,16,解得,依题意,取,即n 取18750时,可以使得在 n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在 0.74 0.76之间的概率至少为0.90 .,方差的性质,17,定理3.3 (C

6、auchy-Schwarz不等式) 设EX2 , EY2 则有,证明: 注意到对任意的 t , 有,所以g(t)作为 t 的二次多项式, 其判别式0, 即,方差的性质,18,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X , Y ):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量, 除了每个随机变量各自的概率特性以外,相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X , Y 之间的某种关系,方差的性质,19,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,方差的性质,20,若Var (X ) 0, Var (Y ) 0 , 称,为X ,Y 的 相关系数,记为,事

7、实上,,方差的性质,21,利用函数的期望或方差计算协方差,若 ( X ,Y ) 为离散型,,若 ( X ,Y ) 为连续型,,方差的性质,22,求 cov (X ,Y ), XY,解:,方差的性质,23,方差的性质,24,例9. 设 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求 XY,解:,方差的性质,25,定理:若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),则X , Y 相互独立,X , Y 不相关,因此,,方差的性质,26,例10.设 U(0, 2), X =cos , Y =cos( + ), 是给定的常数,求 XY .,解:,方差的性质,27,方差的性质,2

8、8,协方差的性质,当且仅当,时,等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,方差的性质,29,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1, 这种线性关系为,方差的性质,30,X , Y 不相关,注:X与Y不相关仅仅是不线性相关,可以非线性相关。,方差的性质,31,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若 X , Y 服从二维正态分布,,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,方差的性质,32,若X , Y 是两个随机变量,用X 的线性函数去 逼近Y 所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小.,例:最小二乘法的思想,若 则线性逼近无意义。 为什么

9、?,方差的性质,33,例11.设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解:,方差的性质,34,例12:设XN(0,4), YP(2), XY =1/2, 求 E(X+Y)2 .,解:,E(X+Y)2 =E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X, Y),把条件代入即得 E(X+Y)2 =,由题设知: EX=0, Var(X)=4, EY=2, Var(Y)=2, XY =1/2, 而,方差的性质,35,设二维随机变量(X,Y), k , l 为非负整数。 mk = E(Xk ) 称为X的k阶原点矩, k = E(X-E(X)k 称为X的k 阶中心矩, mkl = E(X k Y l ) 称为X和Y的(k, l )阶混合原点矩, kl = E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶混合中心矩. 显然数学期望为1阶原点矩, 方差为2阶中心矩, 而协方差为(1,1 )阶混合中心矩.,方差的性质,36,例13.设X服从N(0,1)分布,求 E(X3),E(X4)。,解:X的密度函数为:,注:此例是128页4.17的特例。,此课件下载可自行编辑修改,供参考! 感谢你的支持,我们会努力做得更好!,

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