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1、 一元四次方程的根式解 上海 黄之关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。一，首先，想重复一次三次方程的求根公式，即的零点，首先将g(x)写成： 在形式上，使二次项消失。然后令,计算后可得： 则有： 若方程系数都为实数，则时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当时，g(x)有一个重根，当时，g(x)有三个不相等的实零点：其中也许值得一提的是，实系数方程的根全部都是实数的充分必要条件是：这表明，三个实数r,s,t，则关于复数的方程组：的解都是实数的等价条件为： 上式等号成立，等价于中有某两个数相等.二，现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的
2、四次方程. 即的根，将方程变形，引入一个参数y： 上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：上述关于y的方程即：，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）： 将上面的其中一个y代入，即得到： 则原方程可以化为两个二次方程： 由此，可以得到的根： 三，那么最后，来考虑的零点，先将f(x)写成：形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到. 用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：简化上述p,q的表达式： 而,其对应的y为： 事实上只需要取一个实值的y即可.然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令：（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）故而的四个零点是：可得：而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.四， 事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：，在这种情况下，只需作变换：即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法.提出一些问题供练习:1， 求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.2， 实数x满足，当x取什么值的时候，函数达到最大值？3，证明：，包含了以下三个数：4，证明：