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1、第九章 拉普拉斯变换,9.1 拉普拉斯变换的概念,9.2 拉氏变换的性质,9.3 拉氏逆变换,9.4 拉氏变换的应用,引 言,Fourier变换的限制:,绝对可积,在整个数轴上有定义,指数衰减函数e-bt (b0),单位阶跃函数u(t),演变为拉氏变换,双边拉氏变换:,傅氏变换:,傅氏变换与拉氏变换的关系,9.1 拉普拉斯变换的概念,一、拉氏变换的定义,称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象函数，记为F(s)=Lf(t).,又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆变换)或象原函数，即f(t)=L-1F(s),解: 由拉氏变换的定义有,例1 分别求出单位阶跃函数u(
2、t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换,(Res 0),(Res 0),(Res 0),例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换,解:,(Res Rek),例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换,解: 根据定义有,同理可得,二、拉氏变换的存在定理,拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：,2f (t)在t0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；,3f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数),1当t0时，f (t)=0；,c称为 f(t)的增长指数,三、关于拉氏变换的积分下限问题,f (t)在
3、t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关,f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点,假如包括，我们把积分下限记为0 +；,假如不包括，我们把积分下限记为0-，于是得出了不同的拉氏变换。记,例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.,显然L+d(t)=0,=1.,例5 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)的laplace变换.,解:,解:,Re(s) -,(Res Reb),四、常用函数的拉氏变换公式,(1) 线性性质,设a、b为常数,9.2 拉氏变换的性质,例1: 求常数A的Laplac
4、e变换.,例2: 求函数f(t)=A(1-e-at)的Laplace变换.,解:,解:,例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换,解:,例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换,(2) 相似性质(a为正实数),设Lf(t)=F(s), 则当a为正实数时,证明：,解:,(3)微分性质,推论：,设Lf(t)=F(s), 则有,证明：,例5 求函数 f(t)=coswt 的拉氏变换,例6 求函数 f(t) = t m 的拉氏变换,解: 由于,故,根据线性性质有,解:,故,(4)象函数微分性质,一般地，有,例7 求函数 f(t) = t 的拉氏变
5、换,解: 由于,故,例8 求函数 f(t) = te-at 的拉氏变换,设Lf(t)=F(s), 则,(5)积分性质,解: 由于,故,例9 求函数 f(t) = tsinkt 的拉氏变换,解: 由于,故,设Lf(t)=F(s), 则,推论:,证明：,例10 求函数 的拉氏变换,解: 由拉氏变换积分性质有,由微分性质有,(6)象函数积分性质,若Lf(t)=F(s)，则,证明：,两边对s积分：,交换积分次序:,推论:,例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换,解: 由于,则由象函数积分性质有,= arccots,令s = 0得,(7) 延迟性质,若t 0时 , 则对任一非负实数t
6、0有,证明：,解: 由于,则由延迟性质有,而由相似性质有,(8) 位移性质（设a为常数）,例12 求函数 f(t) = te -at 的拉氏变换,解: 由于,则由位移性质有,例13 求函数 f(t) = e -atsinwt 的拉氏变换,解: 由于,则由位移性质有,同理,2.3 拉氏逆变换,由拉氏变换的定义有,由傅氏逆变换的定义有,两边同乘以ebt,1. 反演积分公式,积分路线是平行于虚轴的直线Res=,反演积分公式,一、求解常微分方程(组),2.4 拉氏变换的应用,象原函数 (方程的解),象函数,微分方程,象函数的代数方程,取Laplace变换,取Laplace逆变换,解代数方程,例19 求解微分方程,解: 设Lx(t)=X(s), 方程两边取拉氏变换,解此方程得:,求拉氏逆变换得:,解:,解此方程组得:,取拉氏逆变换得 x(t) = y(t) = et,解: 设Lx(t)=X(s), Ly(t)=Y(s), 方程取拉氏变换,作 业,P236 T9.2(3)(4)(5)(6) T9.8(3)(4)(7)(8) T9.12(1)(3)(5),此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,