八年级数学上学期全等三角形单元教案人教版.pdf

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1、全等三角形单元教案全等三角形单元教案 第一课时全等三角形 教学目标 1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角 教学过程 一、提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ A A1 B 这两个三角形是完全重合的 C B1C1 2学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上， 画下图形，照图形裁下来，纸样与三 角板形状、大小完全一样 3获取概念 让学生用自己

2、的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有 关的数学符号 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形 要是把两个图形放在一起， 能够完全重合， 就可以说明这两个图形的形状、 大小相同 概括全等形的准确定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等形 请同学们类推得出全等 三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义仔细阅读课本中“全等”符号表 示的要求 二、新课讲解 将ABC 沿直线 BC 平移得DEF；将ABC 沿 BC 翻折 180得到DBC；将ABC 旋转 180得AED A D B A D A E C B C 甲 EF 乙 D B 丙 C 议一议：各图中的两个三角形全

3、等吗？ 不难得出：ABCDEF，ABCDBC，ABCAED （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但形状、大小都没有改变， 所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 例 1如图，OCAOBD，C 和 B，A 和 D 是对应顶点， 说出这两个三角形中相等的边和 角 C O A B D 问题：OCAO

4、BD，说明这两个三角形可以重合， 思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将OCA 翻折可以使OCA 与OBD 重合因为 C 和 B、A 和 D 是对应顶点， 所以 C 和 B 重合，A 和 D 重合 C=B；A=D；AOC=DOBAC=DB；OA=OD；OC=OB 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻转、旋转的方法 例 2如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C， 指出其他的对应边和对应角 A B D EC 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE 和ACD 从复杂的图形 中分离出来 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素， 然后再依据已知

5、的对应元素找 出其余的对应元素常用方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边 （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角 解：对应角为BAE 和CAD 对应边为 AB 与 AC、AE 与 AD、BE 与 CD 例 3已知如图ABCADE，试找出对应边、对应角 （由学生讨论完成） A E O B C D 借鉴例 2 的方法，可以发现A=A， 在两个三角形中A 的对边分别是 BC 和 DE，所 以 BC 和 DE 是一组对应边而 AB 与 AE 显然不重合，所以 AB 与 AD 是一组对应边，剩下的 AC 与 AE 自然是一组对应边了再根

6、据对应边所对的角是对应角可得B 与D 是对应角， ACB 与AED 是对应角所以说对应边为 AB 与 AD、AC 与 AE、BC 与 DE对应角为A 与 A、B 与D、ACB 与AED 做法二：沿A 与 BC、DE 交点 O 的连线将ABC 翻折 180后，它正好和ADE 重合这 时就可找到对应边为： AB 与 AD、AC 与 AE、BC 与 DE对应角为A 与A、B 与D、ACB 与AED 三、课堂练习课本练习 1 四、课时小结 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质， 并且利用性质 可以找到两个全等三角形的对应元素这也是这节课大家要重点掌握的 找对应元素的常用方法有两

7、种： （一）从运动角度看 1翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素 2旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素 3平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素 （二）根据位置元素来推理 1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边 2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角 五、作业 课本习题 1 第二课时三角形全等的条件（一） 教学目标 1三角形全等的“边边边”的条件2了解三角形的稳定性 3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程 教学重点 三角形全等的条件 教学难点

8、寻求三角形全等的条件 教学过程 一、创设情境，引入新课 出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形 已知ABCABC，找出其中相等的边与角 AA BCB C 图中相等的边是：AB=AB、BC=BC、AC=AC 相等的角是：A=A、B=B、C=C 展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ （可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数， 再作出一个三角形使它的边、 角分 别和已知的三角形纸片的对应边、 对应角相等 这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片 全等） 这是利用了全等三角形的定义来作图 那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能 少呢？现在我们就来探究这个问题

9、 二、新课讲解 1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等） ， 画出的两个三角形一定全等 吗？ 2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等 吗？分别按下列条件做一做 三角形一内角为 30，一条边为 3cm 三角形两内角分别为 30和 50 三角形两条边分别为 4cm、6cm 学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流 结果展示： 1只给定一条边时： 只给定一个角时： 2给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边 30 3cm 30 3cm 30 3cm 3050 30 50 4cm 6cm 4cm 6cm 可以发现按这些条件画出的三角形

10、都不能保证一定全等 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？ 归纳：有四种可能即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边 在刚才的探索过程中， 我们已经发现三内角不能保证三角形全等 下面我们就来逐一探索其 余的三种情况 已知一个三角形的三条边长分别为 6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？把你画 的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ 1作图方法： 先画一线段 AB，使得 AB=6cm，再分别以 A、B 为圆心，8cm、10cm 为半径画弧， 两弧 交点记作C， 连结线段AC、 BC， 就可以得到三角形ABC， 使得它们的边长分别为AB=6cm， AC=8cm，

11、BC=10cm 2以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合 这说明这些三角形 都是全等的 3特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形 ABC，根据前面作法，同样可 以作出一个三角形 ABC， 使 AB=AB、 AC=AC、 BC=BC 将ABC剪下， 发现两三角形重合这反映了一个规律： 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 用上面的规律可以判断两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理过程， 叫做证明三角形 全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据请看例题 例如图，ABC 是一个钢架，AB=AC，AD 是连结点 A 与 BC 中点 D 的支架 求证：

12、ABDACD A BD C 分析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等 证明：因为 D 是 BC 的中点 所以 BD=DC AB AC 在ABD 和ACD 中BD CD AD AD(公共边) 所以ABDACD（SSS） 生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的， 而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定 性所以日常生活中常利用三角形做支架 就是利用三角形的稳定性 例如屋顶的人字梁、 大桥钢架、索道支架等 三、随堂练习 如图，已知 AC=FE、BC=DE，点 A、D、B、F 在一条直线上，AD=FB要用“边边边

13、”证 明ABCFDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这 个条件？ A D C B E 2课本练习 F 四、课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件， 发现了证明三角形全等的一个规律SSS 并 利用它可以证明简单的三角形全等问题 五、作业 1复习巩固 1、2 六、活动与探索 如图，一个六边形钢架 ABCDEF 由 6 条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条 钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？ A F E B C D 本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用 结果： （1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线， 把

14、这个六边形划分成四个三角形如 图（1）为其中的一种 （2）也可以把这个六边形划分成四个三角形如图（2） (1) (2) 第三课时三角形全等的条件（二） 教学目标 1三角形全等的“边角边”的条件 2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程 3掌握三角形全等的“SS”条件，了解三角形的稳定性 4能运用“SS”证明简单的三角形全等问题 教学重点三角形全等的条件 教学难点寻求三角形全等的条件 教学过程 一、创设情境，复习提问 1怎样的两个三角形是全等三角形？2全等三角形的性质？ 3指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们 完全重合： 图(1)中：

15、ABDACE，AB与AC是对应边； 图(2)中：ABCAED，AD与AC是对应边 三角形全等的判定的内容是什么？ 二、新课讲解 1三角形全等的判定（二） (1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质那么，怎样才能判定两个 三角形全等呢？也就是说， 具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知 “三条边 相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题： 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO 是否能完全重合呢？ 不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的： AOCO，AOB COD，BODO 如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为

16、OAOC，所以可以使OA与OC重合； 又因为AOB COD，OBOD，所以点B与点D重合这样ABO与CDO就完 全重合 (此外，还可以图1(1)中的ACE绕着点A逆时针方向旋转CAB的度数，也将与 ABD重合图1( 2)中的ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把ADE沿着AE(AB) 翻折180两个三角形也可重合) 由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应 相等而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对 应相等，那么这两个三角形全等 2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验： (1)读句画图：画DAE45，在AD、A

17、E上分别取 B、C，使 AB3.1cm， AC2.8cm连结BC，得ABC按上述画法再画一个ABC (2)把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完 全重合？ 3边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”) 三、例题与练习 1填空： (1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要 三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB(已知)，二是_； 还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？) (2)如图4， 已知ABAC， ADAE， 12， 要用边角边公理证明ABDACE， 需要满足的三个条件中，已具有两个条件

18、： _(这个条件可以 证得吗？) 2、例1已知：ADBC，AD CB(图3) 求证：ADCCBA 问题： 如果把图3中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置(如图5)， 那么要证明 ADF CEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件(AF CE 或AE CF)？怎样证明呢？ 例2已知：ABAC、ADAE、12(图4)求证：ABDACE 四、小结： 1根据边角边公理判定两个三角形全等， 要找出两边及夹角对应相等的三个条件 2找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如 公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理 五、作业： 1已知：如图，AB

19、AC，F、E分别是AB、AC的中点求证：ABEACF 2已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF 求证：ABECDF 第四课时三角形全等的条件（三） 教学目标 1三角形全等的条件：角边角、角角边 2三角形全等条件小结 3掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件 4能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题 教学重点已知两角一边的三角形全等探究 教学难点灵活运用三角形全等条件证明 教学过程 一、提出问题，创设情境 1复习： （1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边 （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各

20、是什么？ 三种：定义；SSS；SAS 2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已 知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ 二、新课讲解 问题 1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1两角和它们的夹边 2两角和其中一角的对边 问题 2：三角形的两个内角分别是 60和 80，它们的夹边为 4cm， 你能画一个三角 形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下， 与同伴比较，观察它们是不是全等， 你能得 出什么规律？ 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等 提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 问题

21、 3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形， 随意画一个三角形 ABC， 能不能作一个 ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？ 先用量角器量出A 与B 的度数，再用直尺量出AB 的边长 画线段 AB，使 AB=AB 分别以 A、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB， EBA=CBA 射线 AD 与 BE 交于一点，记为 C，即可得到ABC 将ABC与ABC 重叠，发现两三角形全等 E C D C A B AB 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 思考： 在一个三角形中两角确定， 第三个角一定确定 我们是不是可以不作图， 用 “ASA”

22、 推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 探究问题 4： 如图，在ABC 和DEF 中，A=D，B=E，BC=EF，ABC 与DEF 全等吗？能利 用角边角条件证明你的结论吗？ A BC E D F 证明：A+B+C=D+E+F=180 A=D，B=E A+B=D+E C=F 在ABC 和DEF 中 B E BC EF C F ABCDEF（ASA） 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （可以简写成 “角角边” 或 “AAS” ） 例如下图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC，B=C 求证：AD=AE 分析AD 和 AE 分别在ADC 和AEB 中，所以

23、要证 AD=AE，只需证明ADCAEB 即 可 证明：在ADC 和AEB 中 A A A AC AB C B 所以ADCAEB（ASA） 所以 AD=AE 三、随堂练习 （一）课本练习 1、2 D B E C （二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由 D D A 45 45 50 50 C E 29 29 B (1) AC (2) B 答案：图（1）中由“ASA”可证得ACDACB图（2）由“AAS”可证得ACE BDC 四、课时小结 至此，我们有五种判定三角形全等的方法： 1全等三角形的定义 2判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS） 推证两三角形全

24、等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径 五、作业 1课本习题 5、6、题 第五课时三角形全等的条件（四） 教学目标 1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推 理。 教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学过程 一、提出问题，复习旧知 1、判定两个三角形全等的方法：、 2、如图，RtABC 中，直角边是、， 斜边是 3、如图，ABBE

25、 于 C，DEBE 于 E， （1）若A=D，AB=DE， 则ABC 与DEF（填 “全等” 或 “不全等” ） 根据（用简写法） （2）若A=D，BC=EF， 则ABC 与DEF（填 “全等” 或 “不全等” ） 根据（用简写法） （3）若 AB=DE，BC=EF， 则ABC 与DEF（填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法） （4）若 AB=DE，BC=EF，AC=DF 则ABC 与DEF（填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法） 二、课堂练习 （一）探索练习： （动手操作） ：已知线段 a ，c(ac) 和一个直角利用尺规作一个 RtABC，使C=， AB=c ，CB= a 1、

26、按步骤作图：ac 作MCN=90， 在射线 CM 上截取线段 CB=a， 以 B 为圆心，C 为半径画弧，交射线CN 于点 A， 连结 AB 2、与同桌重叠比较，是否重合？ 3、从中你发现了什么？ 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （） （二）巩固练习： 1 如图，ABC 中，AB=AC，AD 是高， 则ADB 与ADC（填“全等”或“不全等” ） 根据（用简写法） 2 如图，CEAB，DFAB，垂足分别为 E、F， （1）若 AC/DB，且 AC=DB，则ACEBDF，根据 （2）若 AC/DB，且 AE=BF，则ACEBDF，根据 （3）若 AE=BF，且 CE=DF，则ACEB

27、DF，根据 （4）若 AC=BD，AE=BF，CE=DF。则ACEBDF， 根据 （5） 若 AC=BD，CE=DF（或 AE=BF） ，则ACEBDF，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（） （A） 两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等 （C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等 4、如图，B、E、F、C 在同一直线上，AFBC 于 F，DEBC 于 E， AB=DC，BE=CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由 答： 理由： AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC=（垂直的定义） 在 Rt和 Rt中 _ _ _ _ （） = （） （内错角

28、相等，两直线平行） 5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线 AB 与 DE 是平行的，经过测量这两根旗杆在 太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。 （三）提高练习： 1、判断题： （1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。 （） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（） （3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（） （4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（） （5）两边对应相等的两个直角三角形全等（） （6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（） （7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（） （

29、8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（） 2、如图，D=C=90，请你再添加一个条件，使ABDBAC，并在 添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。 （1）（） （2）（） （3）（） （4）（） 三、课时小结 至此，我们有六种判定三角形全等的方法： 1全等三角形的定义 2边边边（SSS） 3边角边（SAS） 4角边角（ASA） 5角角边（AAS） （仅用在直角三角形中） 四、作业 1课本习题 第六课时角的平分线的性质（一） 教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理 2会用尺规作一个已知角的平分线 教学重点 利用尺规作已知角的平分线 教学难点 角的平分线的作图方法

30、的提炼 教学过程 一、提出问题，创设情境 问题 1：三角形中有哪些重要线段 问题 2：你能作出这些线段吗？ 二、新课讲解 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题： 在AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取 OM=ON， MCOA， NCOB MC 与 NC 交于 C 点 求证：MOC=NOC 通过证明 RtMOCRtNOC， 即可证明MOC=NOC， 所以射线 OC 就是AOB 的平分线 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知AOB 的两边上分别截取 OM=ON，再分别过 M、N 作 MCOA，NCOB，MC 与 NC 交于 C 点，连接OC，那么OC 就是 AOB 的平分线了 思考：

31、这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想， 认为可行） 议一议： 下图是一个平分角的仪器， 其中 AB=AD， BC=DC 将 点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条 射线 AE，AE 就是角平分线你能说明它的道理吗？ 要说明 AC 是DAC 的平分线，其实就是证明CAD=CAB CAD 和CAB 分别在CAD 和CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了 看看条件够不够 AB AD BC DC AC AC 所以ABCADC（SSS） 所以CAD=CAB 即射线 AC 就是DAB 的平分线 作已知角的平分线的方法： 已知：AOB 求作：AOB 的平分线

32、作法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB 于 M、N （2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧两弧在AOB 内部交于点 C 2 （3）作射线 OC，射线 OC 即为所求 议一议： 1在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 MN 的长”这个条件行吗？ 2 2第二步中所作的两弧交点一定在AOB 的内部吗？ 总结： 1去掉“大于 分线 2若分别以 M、N 为圆心，大于 1 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平 2 1 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB 的 2 内部，也可能在AOB 的外部，而我们要找的是AOB 内部的

33、交点， 否则两弧交点与顶点连 线得到的射线就不是AOB 的平分线了 3角的平分线是一条射线它不是线段， 也不是直线， 所以第二步中的两个限制缺一 不可 4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明 练一练： 任意画一角AOB，作它的平分线 探索活动 按以下步骤折纸 1在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A 对折，使得这个角的 两边重合。 2、在折痕（即平分线）上任意找一点C， 3.过点 C 折 OA 边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D 是折痕与 OA 的交点，即垂 足。 4、将纸打开，新的折痕与OB 边交点为 E。 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等 下面用

34、我们学过的知识证明发现： 如图，已知 AO 平分BAC，OEAB，ODAC。 求证：OE=OD。 三、随堂练习 课本练习 练后总结： 平角AOB 的平分线 OC 与直线 AB 垂直将OC 反向延长得到直线 CD，直线CD 与 AB 也 垂直 四、课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识， 探究得到了角平分线仪器的操作原理， 由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质 五、课后作业课本习题 思考：在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目 的图形如图所示， 图中的 BD 是ABC 的平分线，在同学们忙 于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说： “我有个 发现

35、！ ”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分 线的方法他的方法是这样的，在AB 上取点 E，使BE=BC，然 后画 DEAB 交 AC 于 D， 那么 BD 就是ABC 的平分线 有的同学对小明的画法表示怀疑， 你认为他的画法对不对 呢？请你来说明理由 第七课时角的平分线的性质（二） 教学目标 1、 角的平分线的性质 2会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” 3能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 教学重点 角平分线的性质及其应用 教学难点 灵活应用两个性质解决问题 教学过程 一、创设情境，引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的

36、两边叠合在一起， 再把纸片展开， 看到了什么？把对折的纸片再任意折一次， 然后把纸片展开， 又看到了什么？ 分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这 两条折痕是等长的这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对 二、新课讲解 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论 折出如图所示的折痕 PD、PE 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE 是否等长？ 投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的 结论：同学乙的画法是正确的 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而 不是过角平分线上一点作两边的垂

37、线段，所以他的画法不符合要求 问题 1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 生角平分线上的点到角的两边的距离相等 问题 2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话 已知事项：OC 平分AOB，PDOA，PEOB，D、E 为垂足 由已知事项推出的事项：PD=PE 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题 3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言 表示： （略） 讨论：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtPEOPDO（HL） 于是可得

38、PDE=POD 由已知推出的事项：点 P 在AOB 的平分线上 由此我们又可以得到一个性质： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 这两个性质 有什么联系吗？ 分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换 思考： 如图所示，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交 叉处 500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 1集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个 问题？ 2比例尺为 1：20000 是什么意思？ 结论： 1应该是用第二个性质 这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上， 并 且

39、要求离角的顶点 500 米处 2在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位， 这就涉及一 个单位换算问题了1m=100cm，所以比例尺为 1：20000，其实就是图中 1cm 表示实际距离 200m 的意思作图如下： 第一步：尺规作图法作出AOB 的平分线 OP 第二步：在射线 OP 上截取 OC=2.5cm，确定 C 点，C 点就是集贸市场所建地了 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤， 使问题简单化所 以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题， 我们可以直接利用性质解决问题 三、例题与练习 例 如图，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P 求证

40、：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等 分析：点 P 到 AB、BC、CA 的垂线段 PD、PE、PF 的长就是 P 点到三边的距离， 也就是 说要证：PD=PE=PF而 BM、CN 分别是B、C 的平分线， 根据角平分线性质和等式的传 递性可以解决这个问题 证明：过点 P 作 PDAB，PEBC，PFAC，垂足为 D、E、F 因为 BM 是ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上 所以 PD=PE 同理 PE=PF 所以 PD=PE=PF 即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等 练习： 1课本练习 2课本习题 强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等

41、 四、课时小结 今天， 我们学习了关于角平分线的两个性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题 越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、 角相等问题，我们可以直接利用角平分 线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等 五、课后作业 1、课本习题 第八课时全等三角形的应用 教学目标 1.应用三角形全等的有关知识图、测量旗杆的高度 2利用全等概念及其基本的图形变换寻求全等关系 3掌握构造全等三角形的基本方法 4.通过活动，提高学生的建模意识与建模能力， 培养学生的创新意识， 激发他们勇于探 索、热爱科学的精

42、神 教学重点根据三角形全等的知识测量旗杆的高度构造全等三角形的方法与技巧 教学过程 一、提出问题，创设情境 出示投影，提出问题 观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出 生甲两个小圆全等，还有两个锐角三角形全等 生乙两个小“L”形也是全等的 师根据什么可以判断它们全等呢？ 生观察它们形状、大小是否一致，这里可以用工具量，也可以通过平移、翻折、旋转 来看它们是否完全重合，若能就是全等形这是全等的概念 师很好， 生活中许多美妙的图案都是通过全等形拼接出来的 如我们的衣服上好多图 案就是根据全等形设计的图案下面请同学们做活动，体验全等三角形的奇妙作用 二、讲解新课 活动一下图是两个根据全等形

43、设计的图案仔细观察一下，每个图案中有哪些全等 形？哪些是全等三角形？ 通过观察和讨论不难发现： 图甲中四个菱形全等，四个黑色的四边形全等，八个三角形全等 图乙中四个小正方形全等，18 这八个小三角形全等，912 这四个三角形全等 另外我们还可以发现一些拼接后的全等形如： 1、9、2；8、10、7；6、11、5；4、12、 3 分别组成的四个长方形全等还有很多，有兴趣的话下课后继续找 活动二测量旗杆的高度 操场上有一根旗杆你能利用一些简易工具， 根据全等形的有关知识， 测量出旗杆的高 吗？ 师在你的桌子上构建一个操场模型， 以笔作旗杆，试试看，怎样可以解决这个问题？ 同伴间交流操作方法 （给学生

44、充分的思考和讨论时间，一旦有合理的部分就给予鼓励和肯定，并指出不足， 适时引导，使操作方法更趋完善和简便） 生甲我的想法是这样的，人站在离旗杆一定距离处， 看旗杆顶端有一个仰角， 将这个 仰角侧出因为旗杆与地面垂直， 并且旗杆底部与人的距离可以测出， 那这个直角三角形就 是一个确定的三角形 然后我们在操场地面上再作出与这个直角三角形全等的三角形 量出 与旗杆相等的对应边长，就知道旗杆的高了如图所示： 师我们不能爬上旗杆顶端， 通过你的构造解决了一大难题， 把旗杆搬到了地面上， 这 样可以用皮尺量长度了。但老师想问一个问题：你的仰角大小如何测量？ 生甲用量角器啊 生乙你的视线是看上去的一个方向，

45、 这条线没法画，我看用量角器没法量地面上三 角形的角倒是可以量 师有道理 而且这样做由于三角形比较大， 在做直角和量角器测角时都有较大误差 即 使能做也不是理想的做法，那么我们能不能在此基础上改进一下呢 生丙我爸爸是搞工程的， 我见过他有一个测角仪， 用它测角比量角器测角既方便又准 确所以我想这样测可以解决上述两点不足 用一根竹竿，将它平放在旗杆底部， 使它的一 端与旗杆底部重合， 人站在竹竿的另一端用测角仪测得此时的仰角， 然后转身再测一仰角与 刚才的仰角互余，移动竹竿，使其仰角线正好过竹竿顶端 这时利用全等三角形知识可得人 到竹竿的距离即旗杆的高如图所示 ABC EDA AB ED BAC

46、 DEA 所以ABCEDA 所以 AD=CB 量出 AD 的长即旗杆 BC 的高 师很好，你的想法又进一步可是我们没有测角仪，只有一些简单的工具，比如说： 皮尺和竹竿如何改进能测出旗杆的高度呢？请同学们再讨论讨论 生要是不测角的话， 能不能让竹竿立起来保持与旗杆平行， 使人的视线恰好过竹竿顶 端和旗杆顶端， 这样就有两个直角三角形了 并且可以测量出人到竹竿的距离与人到旗杆的 距离但它们不是全等三角形呀那么这两个距离有什么关系呢？ 师你能将你的想法用图表示出来吗？ 生可以 （如图所示） 师你的想法是很有价值， 请同学们想一想， 能不能在这个图形的基础上再构造出一些 全等三角形呢？假如测得BD=

47、1 AB 5 （学生讨论） 生甲我想出来了，可以将 AB 五等分，分别过等分点作AC 的平行线与 BC 有交点，此 时这些交点也将 BC 五等分，再过这些等分点作 AB 的平行线，就可以得出一些小三角形， 这 些小三角形是全等的 （如图所示） 数数看有 5 个三角形全等， 这也就是说旗杆高有 5 个竹竿的长度， 这时我们只要量出竹 竿的长度，再乘以 5，就是旗杆的高度了 生乙我同意他的想法，但我不同意他的算法，我们再观察图 6 和图 7，可以发现 DE 的长度应该等于竹竿高度减去人身高，最后算出的旗杆高度应等于5DE+人身高 生丙假如 AB 不是 BD 的整数倍呢？ 生丁那可调节竹竿的高度嘛

48、生戊那我们能不能推测若 AB=nBD，旗杆高度就是竹竿高度的 n 倍呢？即使 n 不是整 数也可以 师是这样的，这在我们以后学的相似形中会得以证明 同学们，通过探究，我们已经有了基本思路，现在请大家写出一个操作方案来 操作步骤： 第一步：人站定，测量人脚底到旗杆底端的距离 第二步：取一竹竿，移动竹竿使竹竿同时满足下列条件 竹竿与地面垂直 竹竿底端、人脚部、旗杆底端在一条直线上 人看旗杆顶端的视线恰好过竹竿顶端 第三步：测量人脚底到竹竿底端的距离 第四步：测量竹竿的高度 第五步：计算旗杆的高度计算方法如下： 算出人脚底到旗杆底端距离与到竹竿底端距离的倍数n 竹竿高度人身高h 旗杆高度nh人身高

49、这时教师可播放多媒体课件， 使学生能更直观地了解测量过程与测量原理， 获得更大的 感观理解，增强学习信心与兴趣 三、课时小结 通过本节数学活动你有什么收获？ 1复习全等三角形的有关知识 2构造全等三角形的基本方法 3了解数学建模的一般思路 四、课后作业 1观察生活，再找一个利用全等三角形测量距离的实际问题，并亲自实践 2就实践情况，写一份测量报告 五、活动与探究 请你找两个被建筑物隔开的物体， 然后想办法测量这两个物体之间的距离， 并说明利用 什么数学知识 过程：通过室外活动，使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题的基本方法， 体 会数学与实际生活的联系 结果：主要是利用构造全等三角形来测量距离 补充练习 1 要测量河两岸相对的两点A、 B 的距离， 先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、 D， 使 CD=BC ， 再定出 BF 的垂线 DE，使