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1、万有引力题型归纳5.万有引力定律 （1）万有引力定律：宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.公式:（2）应用万有引力定律分析天体的运动 基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 F引=F向得： 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算.天体质量M、密度的估算:（3）三种宇宙速度 第一宇宙速度:v 1 =7.9km/s，它是卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度. 第二宇宙速度（脱离速度）:v 2 =11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. 第三宇宙速度（逃逸速度
2、）:v 3 =16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度. （4）地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度 同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着. （5）卫星的超重和失重 “超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体超重相同.“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），此时，在卫星上的仪器，凡是制造原
3、理与重力有关的均不能正常使用.图4311如图所示，a 、b、 c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是 （ ）Ab、 c 的线速度大小相等，且大于a的线速度Bb、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度Cc加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的cDa卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大一：黄金代换例1、火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( B )A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g二：天体质量，密度例2、登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，
4、周期是120.5 min.已知月球半径是1 740 km，根据这些数据计算月球的平均密度.(G6.671011 Nm2/kg2)例3、2009全国)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( D )A.1.8103 kg/m3 B.5.6103 kg/m3 C.1.1104 kg/m3 D.2.9104 kg/m3三：卫星问题例4、我国发射的“神舟”五号载人宇宙飞船的周期约为90 min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动，
5、飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它们质量相等，下列判断正确的是( )A.飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力B.飞船的动能小于同步卫星的动能C.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径D.发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程需要的能量例5、同步卫星距地心间距为r，运行速率为v1，加速度为a1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球半径为R.第一宇宙速度为v2，则下列比值正确的是()A. B. C. D. 例6、右图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是
6、()A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力例7、某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是（ ）A人造卫星的最小周期为2B卫星在距地面高度R处的绕行速度为C卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4D地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少四：双星问题例8：宇宙中两颗相距较近的天体均为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。
7、设两者的质量分别为m1 和m2， 两者相距L，求： 双星的轨道半径之比；双星的线速度之比；双星的角速度。例9、（01北京.08宁夏卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。（引力常量为G）五：变轨问题例10、人造飞船首先进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆行轨道上，如图所示，试处理下面几个问题（地球的半径R=6370km，g=9.8m/s2）：P地球Q轨道1轨道2（1）飞船在椭圆轨道上运行，Q为近地
8、点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道运行，以下说法正确的是A飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度D飞船在轨道1上P的加速度大于在轨道2上P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，美国的一艘原来在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是A从较低轨道上加速 B从较高轨道上加速 C从同一轨道上加速 D从任意轨道上加速例11发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送人同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，
9、则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是 A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度万有引力与航天测试题（时间 60分钟 满分 100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1下列说法符合史实的是（ ）A牛顿发现了行星的运动规律B开普勒发现了万有引力定律C卡文迪许第一次在实验室里测出了万有引力常量D牛顿发现了海王星和冥王星2下列说法正确的是（ ）A第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度B第一宇
10、宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度C如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点D地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的3关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是（ ）A 轨道半径越大，速度越小，周期越长B 轨道半径越大，速度越大，周期越短C 轨道半径越大，速度越大，周期越长D 轨道半径越小，速度越小，周期越长4两颗质量之比的人造地球卫星，只在万有引力的作用之下，环绕地球运转。如 果它们的轨道半径之比，那么它们的动能之比为（ ）A 8：1B 1：8C 2：1D 1：25科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看
11、，它永远在太阳的背 面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”由以上信息可以确定（ ） A这颗行星的公转周期与地球相等 B这颗行星的半径等于地球的半径C这颗行星的密度等于地球的密度 D这颗行星上同样存在着生命6关于开普勒行星运动的公式k，以下理解正确的是（ ）Ak是一个与行星无关的常量B若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的长半轴 为R月，周期为T月，则CT表示行星运动的自转周期DT表示行星运动的公转周期7若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（ ）A某行星的质量 B太阳的质量C某行星的密度D太阳的密度8
12、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M地（引力常量G为已知）（ ）A月球绕地球运动的周期T及月球到地球中心的距离R1B地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2C人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3D地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R49下列说法中正确的是（ ）A天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作 用B只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的C天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现的D以上均不正确102001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG63015，由于黑洞的
13、强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量（ ）A地球绕太阳公转的周期和速度B太阳的质量和运行速度C太阳质量和到MCG63015的距离D太阳运行速度和到MCG63015的距离二、填空题（每题6分，共18分）11两颗人造卫星A、B的质量之比mAmB=12，轨道半径之比rArB=13，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比vAvB= ，向心加速度之比aAaB= ，向心力之比FAFB= 。12地球绕太阳运行的半长轴为1.51011 m，周期为365 天；月球绕地球运行的轨道半长轴为3.82108m，周期为2
14、7.3 天，则对于绕太阳运行的行星；R3T2的值为_m3s2，对于绕地球运行的物体，则R3T2_ m3/s2.13地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%.经估算，地核的平均密度为_kg/m3.（已知地球半径为6.4106 m，地球表面重力加速度为9.8 m/s2，万有引力常量为6.71011Nm2/kg2，结果取两位有效数字）三、计算题（共32分）14（10分）宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为T，行星的平均密度为。试证明（万有引力恒量G为已知，是恒量）15（10分）在某个半径为的行星表面，对于一个质量kg的砝码，用弹簧称量，
15、其重力的大小。请您计算该星球的第一宇宙速度是多大？（注：第一宇宙速度，也即近地、最大环绕速度；本题可以认为物体重力大小与其万有引力的大小相等。） 16（12分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留两位有效数字）参考答案1C 2B3A4B 5A6AD【解析】 公式k成立的前提条件是绕同一天体运动的行星，故B错.公式中的T指的是行星运转的公转周期，故D正确，C错.由于此公式对所有行星都成立，而各行星质量及其他又相
16、差很多，故k应是与行星无关的常量.故A正确.7B【解析】 根据万有引力充当行星的向心力，得GMm/r2m42r/T2，所以太阳的质量为M42r3GT2.要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.根据行星绕太阳的运动，既不能求行星的质量也不能求行星的密度.8AC【解析】 要求地球的质量，应利用围绕地球的月球、卫星的运动.根据地球绕太阳的运动只能求太阳的质量，而不能求地球的质量，B、D选项错.设地球质量为M，卫星或月球的轨道半径为R，则有GR所以，地球的质量为M再由vR得R，代入上式得M所以，A、C选项正确.9A解析：1781年3月13日晚，恒星天文学之父赫歇耳用自制的大望远镜发现天王星.海王星是继天王
17、星之后发现的第二颗新行星，但与天王星不同，海王星的发现是神机妙算的结果.同理，冥王星也是天文学家分析推算出来的.所以本题A为正确答案.10 D解析：G=m,M=.故D选项正确.11；9：1；9：2 123.41018；1.01013 131.2104【解析】 要计算地核密度，就要计算地球密度，由条件知核2.125而要求地球密度只有R和g为已知量，可以根据地球表面重力近似等于万有引力来求： 即：g而即：5.46103 kg/m3核1.2104 kg/m314设行星半径为R、质量为M，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有即 （6分）又行星密度 （2分） 将代入得 证毕（2分）15.解：由重量和
18、质量的关系知： 所以m/s2 设：环绕该行星作近地飞行的卫星，其质量为m，所以，应用牛顿第二定律有： 解得： 代入数值得第一宇宙速度： m/s16解：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有 代入数值，得 2分1解析：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由知=vcva，故A选项错；由加速度可知ab=acaa，故B选项错，当c加速时，c受到的万引力F，故它将偏离圆轨道，而离圆心越来越近，所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错.对这一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况。对a
19、卫星，当它的轨道半径缓慢变小时，在转动一段较短时间内，何以认为其轨道半径未变，视作稳定运动，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。例1【解析】考查万有引力定律.星球表面重力等于万有引力，即Gmg，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值0.4，故B正确.例2【解析】根据牛顿第二定律有G从上式中消去飞行器质量m后可解得M kg7.21022 kg根据密度公式有 kg/m33.26103 kg/m3例3【解析】由知该行星的密度是地球密度的5.32倍.对近地卫星有，再结合，VR3可解得地球的密度5.6103 kg/m3，故行星的密度5.322.96104 kg/m3，D正确.例5【解析】
20、设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系，有：a1r，a2R，因12故，则选A正确.由万有引力定律有G，G，故，则C选项正确.【答案】AC例4AD例6正解：第三宇宙速度是指卫星脱离太阳的吸引，进入太空的最小速度；在绕月轨道上，由万有引力定律和牛顿运动定律得，卫星受到月球的万有引力与它到月球球心的距离的平方成反比，卫星质量m会约掉，所以卫星的周期与卫星的质量无关；在绕月轨道上，卫星的加速度指向月球球心，由牛顿第二定律知月球对卫星的吸引力大于地球对卫星的吸引力.故只选C.答案：C7D11解析：对卫星来说，万有引力提供向心力，得，而，即，A不
21、对B对。1轨道的Q点与2轨道的Q点为同一位置，加速度a相同。同理2轨道的P点与3轨道的P点a也相同，C不对D对。答案BD例9设两星质量分别为，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 联立解得 ：例10解析 飞船在轨道1上运行，在近地点Q处飞船速度较大，相对于以近地点到地球球心的距离为半径的轨道做离心运动，说明飞船在该点所受的万有引力小于在该点所需的向心力；在远地点P处飞船的速度较小，相对于以远地点到地球球心为半径的轨道飞船做向心运动，说明飞船在该点所受的万有引力大于在该点所需的向心力；当飞船在轨道1上运动到P点时，飞船向后喷气使飞船加速，万有引力提供飞船绕地球做圆周运动的向心力不足，飞船将沿椭圆轨道做离心运动，运行到轨道2上，反之亦然，当飞船在轨道2上的p点向前喷气使飞船减速，万有引力提供向心力有余，飞船将做向心运动回到轨道1上，所以飞船在轨道1上P的速度小于在轨道2上P的速度；飞船运行到P点，不论在轨道1还是在轨道2上，所受的万有引力大小相等，且方向均于线速度垂直，故飞船在两轨道上的点加速度等大。答案 BC解析 由（1）题的分析可知，飞船应从低圆规道上加速，做离心运动，由椭圆轨道运行到较高的圆轨道上与飞船对接。答案 A9