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1、 平面向量复习教师版 2012.5一、基础训练：1. 设是单位向量，且，则的值为 2. 在中，在线段上，则 . 3. 已知向量= 4. 在平行四边形中，已知，为的中点，则 5. 已知向量，则向量与向量的夹角的取值范围是二、例题探析：例题1：在ABC中，已知BC=2，,则ABC面积的最大值是 . 设，O为坐标原点，动点满足，则的最大值是 如图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 . 如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，为坐标原点，则的取值范围是 . 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两
2、条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 例题2：已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则（） （）的取值范围是 .【解析】设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故；（），那么，当与重合时，当位于中点时，故，故但因为与不能重合，故已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 。（用表示）例题3：已知的坐标分别为，.（1）若，求角的值；（2）若，求【点拨】向量与三角的综合问题，一般先用向量知识转化为三角问题，转化成三角函数的求值问题来解决.解：（1），（2）由 又由式两边平方得【点评】向量与三角的综合问题往往是利用两向量的数量积、两向量平行
3、或垂直的充要条件、向量的模等知识，列出方程解出三角函数值，化为三角问题来解决.例题4：已知向量，其中O为坐标原点 （1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围解：（1）设向量与的夹角为，则， 当时，；当时，故当时，向量与的夹角为；当时，向量与的夹角为（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 所以，或，解得或故所求实数的取值范围是 另法一：由对任意的恒成立，可得，解得或，由此求得实数的取值范围；另法二：由，可得的最小值为，然后将已知条件转化为，由此解得实数的取值范围）反思：三角恒等变换包括：化简、求值、证明，而求值又分直接求值和条件求值,它在三角函数中占
4、有相当重要的地位，是研究三角函数性质及其应用的重要工具其中“变”是主线，变换主要体现在角的变换、三角函数名的变换以及三角函数结构的变换2在三角变换时要注意变换的等价性，特别注意角的范围及符号问题，避免出错三角与平面向量结合,成为高考命题的热点，应引起充分重视三、巩固提高1. 已知向量，且，则 。42. 过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为 33. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 4. | |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为 1205. 已知向量与的夹角为，则等于 46. 平面向量a与b的夹角为，a(2,0)
5、, | b |1，则 | a2b |等于 27. 设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 . 8. 已知向量，若向量满足，则 9. P为ABC所在平面上的点，且满足=+，则ABP与ABC的面积之比是_1210. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若（），则 111. 已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，12. 已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;求的值域。解：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为.13. 已知,。 （1）求； （2）设BAC，且已知cos(+x)
6、 ，求sinx解：（1）由已知 CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中， 8分 而 如果，则 10分 14. 已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。1若非零向量满足，则与的夹角为 2 已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.13已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则_ .4.设向量a，
7、b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(4，2)5 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是_DAC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上 DC、D不可能同时在线段AB的延长线上6.已知，与的夹角为，则与的夹角为_7 已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_58 若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取
8、值范围是_9 已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_10 设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|_11 已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_0,212 在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.13 若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为_114.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2, 若ab0，则实数k的值为_15 设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，ac，bc60，则|c|的最大值等于_216 已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，那么A、B、C三点共线的充要条件为_ 117 已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0 1,0 1，则z的最大值为_318 已知平面向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角为135，c与b的夹角为120，|c|2，则|a|_.7