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1、2020届高考冲刺阶段专题集训（理科）数学5三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知cos+4=66,则sin 2的值为().A.13B.23C.33D.532.若tan =43,则cos2+2=().A.-2425B.-725C.725D.24253.在ABC中,BCcos A=ACcos B,则ABC是().A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形4.函数f(x)=sin 2x-2cos2x+1的最小正周期为().A.B.2C.3D.45.工程队将从A到D修建一条隧道,测量员测得一些数据如图所示(A,B,C,D在同一水平面内),则A,D间的距离为().A.65-1
2、23 kmB.65-1213 kmC.35-123 kmD.35-1213 km6.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若6sin Ccos A=7sin 2A,5a=3b,则C=().A.3B.23C.34D.567.在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,AC=4,则BD=().A.4B.10C.19D.78.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,则角A=().A.23B.3C.6D.56二、填空题9.在ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A=4,a2+b2-c2=ab,c=
3、3,则C=,a=.10.在ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且a=3,b=22,c=5,则其最大角的余弦值为,ABC的面积为.11.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=2acos B,且a=4,b=6,则ABC的面积为.12.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=absinCasinA+bsinB-csinC,且a+b=3,则c的取值范围为.三、解答题13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足tanAtanC=a2b-a.(1)求角C;(2)设D为边AB的中点,ABC的面
4、积为33,求边CD的最小值.参考答案与解析1B解析因为cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=16,所以sin 2=23.故选B.2A解析因为tan =43,所以cos2+2=-sin 2=-2sincossin2+cos2=-2tan1+tan2=-2431+169=-2425.故选A.3D解析由BCcos A=ACcos B得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,故A=B或A+B=2.故选D.4A解析因为f(x)=sin 2x-cos22x+1=sin 2x-(cos22x-1)=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4,所以T=2=22=
5、.故选A.5A解析连接AC(图略),在ABC中,AC=42+52=41,cosACB=541,sinACB=441.cosACD=cos(120-ACB)=-12541+32441=43-5241.在ACD中,AD=41+32-241343-5241=65-123.故选A.6B解析因为6sin Ccos A=7sin 2A,所以6sin Ccos A=14sin Acos A,即(3sin C-7sin A)cos A=0,可得3sin C=7sin A或cos A=0.由5a=3b知a0,所以3sin A=-cos A,即tan A=-33.因为A(0,),所以A=56.故选D.936解析因
6、为a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C(0,),所以C=3.因为A=4,c=3,所以由正弦定理asinA=csinC,可得a22=332,解得a=6.1010103解析由大边对大角可知角A最大,所以cos A=b2+c2-a22bc=8+5-92225=1010,sin A=1-cos2A=31010.ABC的面积为S=12bcsin A=1222531010=3.1162+23解析因为bcos C+ccos B=2acos B,所以由余弦定理可得ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2aa2+c2-b22ac,化简得a2+c2
7、-b22ac=12,即cos B=12.因为0B,所以B=3.把a=4,b=6代入b2=a2+c2-2accos B,得c2-4c-20=0,解得c=2+26或c=2-26(舍去).所以SABC=12acsin B=124(2+26)32=62+23.1232,3解析因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以由正弦定理可得acos B+bcos A=c.又因为acos B+bcos A=absinCasinA+bsinB-csinC,所以由正弦定理可得c=abca2+b2-c2,即a2+b2-c2=ab,所以c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab.
8、因为a+b=3,所以c2=9-3ab.因为aba+b22=94,当且仅当a=b=32时取等号,所以-274-3ab0,所以949-3ab9,即94c29,所以32c3,故c的取值范围为32,3.13.解:(1)由正弦定理得a2b-a=sinA2sinB-sinA,又tanAtanC=sinAcosCcosAsinC,所以sinAcosCcosAsinC=sinA2sinB-sinA.因为sin A0,所以cos C(2sin B-sin A)=cos Asin C,即cos Csin A+cos Asin C=2sin Bcos C,即sin B=sin(A+C)=2sin Bcos C.因为sin B0,所以cos C=12.又0C,所以C=3.(2)由SABC=12absin C,得33=12ab32,所以ab=12.因为CD=12(CA+CB),所以CD2=14(CA2+CB2+2CACB)=14(b2+a2+2abcos C)=14(b2+a2+ab)14(2ab+ab)=9,当且仅当a=b时取等号.所以边CD的最小值为3.