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1、高数有理分式积分法,1,第四节,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,高数有理分式积分法,有理函数 rational function,真分式 proper fraction,假分式 improper fraction,生词,高数有理分式积分法,3,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简单分式:,形如,的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数),高数有理分式积分法,
2、4,定理. 任何一个真分式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 无公因子),都可,分解成若干个简单分式之和,并且,(1) 若Q(x)=0有k重实根a (即把Q(x)在实数范围内因式分,解,含有 因子), 则分解时必含有以下的分式:,(2) 若Q(x)=0有一对k重共轭复根,和,(即把Q(x)在实数,范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有,高数有理分式积分法,5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:,于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求,以上四种类型的不定积分.,高数有理分式积分法,6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
3、求四种类型的不定积分：,高数有理分式积分法,7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求四种类型的不定积分：,上一节例9,四种类型的不定积分,都为初等函数,高数有理分式积分法,8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有理函数的不定积分：,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,结论: 有理函数的不定积分为初等函数.,高数有理分式积分法,9,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,10,(2) 用赋值法,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,11,(3) 混合
4、法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,高数有理分式积分法,12,例2. 求,解: 已知,例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,13,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,变形方法同例3,并利用上一节课件例9 .,高数有理分式积分法,14,例4. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,令,得, 原式,高数有理分式积分法,15,例5. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,高数有理分式积分法
5、,16,例6. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,17,例7. 求,常规 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,(见P348公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,高数有理分式积分法,18,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,例. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,高数有理分式积分法,20,二 、可
6、化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 三角函数有理式的积分,则,高数有理分式积分法,21,例8. 求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,22,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,23,例9. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,24,例10. 求,解法 1,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,25,例10. 求,解法 2,令,原式
7、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,26,例11. 求,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,27,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,高数有理分式积分法,28,例12. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,29,例13. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,机动 目录 上页
8、 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,30,例14. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,31,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简便 ,高数有理分式积分法,32,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,33,作业,P218 1-24,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,高数有理分式积分法,34,备用题 1.,求不定积分,解：,令,则, 故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高, 宜使用倒代换.,高数有理分式积分法,35,2.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！,