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1、初一数学角的概念精析重点内容分析： 一、角的两个定义和角的表示法 1. 角的定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 首先组成角有两个条件： (1)有两条射线，这两条射线叫做角的两边。(2)两条射线有一个公共的端点。这个公共的端点叫做角的顶点。还应指出的是：我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸。角还可以这样定义：把一条射线OA，绕着它的端点O，从原来的位置OA旋转到另一个位置OB，这时OA和OB就生成了一个角，记作AOB，其中OA、OB分别叫做角的始
2、边和终边，点O叫做角的顶点。此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的。也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置。在此定义中，对运动的方向并没有要求。也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转。但要明确：初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角。这一点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔。要告诉学生OA叫做角的始边，OB叫做角的终边. 而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角。2. 角的表示 (1) 大写字母表示角；规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字母的顺序也
3、有规定，顶点的字母必须写在中间。(2) 用一个大写字母表示角，但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母。(3) 用一个希腊字母表示角：方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如， ， 等，记作，读作角，角，角(4) 用一个数字表示角，方法是在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作1，2，3，读作角1，角2，角3，在一个顶点的角较多的情况下，可以这样表示。3. 角的度量目前角的度量采用角度制，即把一个周角分成360等份，每一份叫做1度的角，记作1，并且=60，1=60。 在这种度量下，1周角=360，1平角=180，1直角=
4、90。二、角的大小的比较方法 角的大小可以有两种比较方法：重叠比较法和度量法。(1)重叠比较法：由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置。角的比较也类似，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外。(2)度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小。三、角的平分线 (1) 定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。注意：角平分线是是由角的顶点出发的一条射线，不是一条直线，也不是一条线段。(2)角的平分线的数学表达式(一步推理的写法)OC是AOB的平分线(已知) 1=2，或A
5、OB=21，AOB=22， 反之亦成立如图，1=2(已知)OC是AOB的平分线(角平分线定义)四、补角、余角的概念和性质 余角：如果两个角的和是直角，这两个角叫做互为余角。 补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角。 例题选讲 例1 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？分析与解答：时针每小时转1大格，即30，所以每分钟转0.5，而分针每分转6，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是230+320.5=76；分针与12点构成的角度是326=192，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192-76=1
6、16评注：(1)当时针与分针所转过的角度的差大于180时，则需用360减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是506-(230+500.5)=300-85=215180，则时针与分针的夹角为360-215=145(2) 对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例2，已知角的余角比角的补角的还少20，求角的余角。 分析与解答：由已知给的相等关系，可构造关于角的一个方程，即根据所求结论，此方程变为90-=15，即角的余角为15.例3. 已知：如图，OM是AOB的平分线，ON是BOC的平分线，AOC=80，求：MON。分析与解答：如何利用已知条件，找到所求角与已知角的内在联系？OM平分AOB，ON平分BOC，MON=MOB+BON即MON=40例4. 如图射线OA表示北偏东60，射线OB表示东南方向，BOC是AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。解：AOB=30+45=75AOB的余角BOC=90-75=15OC表示南偏东30，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。