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1、四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高 二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如图的直观图是由哪个平面图形旋转得到的（）ABCD2（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A86，84B84，84C84，86D85，863（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）ABCD4（5分）已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Am，n
2、，m，nB，m，n，mnCm，mnnDmn，nm5（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D46（5分）一组数据中每个数据都减去50构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来一组数的方差为（）A3.2B4.4C4.8D5.67（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D78（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（）ABCD9（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：B
3、M与ED平行CN与BE是异面直线CN与BM成60角DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）ABCD10（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）AB8CD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，2）关于坐标原点的对称点的坐标为12（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是13（5分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则三棱锥C1ABC的体积是14（5分）如图中样本数据平均数的估计值是15（5分）已知ABC的三边长分别为AB=5，B
4、C=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；若PC=5，PC丄平面ABC，则PCM面积的最小值为；若PB=5，PB平面ABC，则三棱锥PABC的外接球体积为；若PC=5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则三棱锥PABC的体积为2；若PA=5，PA平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚16（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为D
5、D1的中点（）求证：直线BD1AC；（）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值17（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（ I）求证：BD平面EFC；（）当AD=CD=BD=1，且EFCF时，求三棱锥CABD的体积VCABD18（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示1000，1500）（）求居民收入在1500，2500）的频率；（）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作
6、进一步分析，则月收入在2500，3000）的这段应抽取多少人？19（12分）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1面A1B1C1，正视图是边长为2正方形（）求侧视图的面积；（）求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值20（13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4（）证明：BC1平面A1CD；（） 过点E作一个平面，使得平面A1CD，求与直棱柱ABCA1B1C1的截面面积21（14分）如图，在等腰梯形PDCB中，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，垂足为A，将PAD沿AD折起到点P
7、，使得PAAB，得到四棱锥PABCD，点M在棱PB上（）证明：平面PAD平面PCD；（）平面AMC把四棱锥PABCD分成两个几何体，当PD平面AMC时，求这两个几何体的体积之比的值四川省宜宾市高中协同提升责任区联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）如图的直观图是由哪个平面图形旋转得到的（）ABCD考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的旋转体，画出旋转体的轴截面，进而可得旋转的基本图形的形状解答：解：由已知中的旋转
8、体为：故旋转体的轴截面为：故旋转的基本图形为：故选：A点评：本题考查的知识点是旋转体，考查学生的空间想像能力，难度不大，属于基础题2（5分）如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，该数据的中位数和众数依次为（）A86，84B84，84C84，86D85，86考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出中位数与众数即可解答：解：根据茎叶图，得；七位评委为某考生打出的分数从小到大依次是77，84，84，84，86，87，93；该组数据的中位数是84，众数是84故选：B点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数
9、的应用问题，是基础题3（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）ABCD考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线所成的角解答：解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），所以=（0，1，1），=（1，0，1），并且BC1=，CD1=，所以=，所以异面直线BC1和CD1所成角；故选B点评：本题借助于向量的数量积求异面直线所成的角，正确建立空间直角坐标系，明确对应向量的坐标是关键另
10、外：本题可以连接AD1，AC，得到ACD1是等边三角形，而角AD1C是异面直线BC1和CD1所成角，从而得到答案4（5分）已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）Am，n，m，nB，m，n，mnCm，mnnDmn，nm考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：探究型；数形结合；分类讨论分析：根据m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，可得该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易寻到答案解答：解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，A、若平面AC是平面，平面BC1是平面，直线AD是直线m，点E，F分别是AB，C
11、D的中点，则EFAD，EF是直线n，显然满足，m，n，但是m与n异面；B、若平面AC是平面，平面A1C1是平面，直线AD是直线m，A1B1是直线n，显然满足m，n，m，n，但是与相交；C、若平面AC是平面，直线AD是直线n，AA1是直线m，显然满足m，mn，但是n；故选D点评：此题是个基础题考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想5（5分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D4考点：
12、直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案解答：解：AB是圆O的直径，则ACBC，由于PA平面ABC，则PABC，即有BC平面PAC，则有BCPC，则PBC是直角三角形；由于PA平面ABC，则PAAB，PAAC，则PAB和PAC都是直角三角形；再由ACBC，得ACB=90，则ACB是直角三角形综上可知：此三棱锥PABC的四个面都是直角三角形故选D点评：熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键6（5分）一组数据中每个数据都减去50构成一组新数据，则这组新数据的平均数是1.2，方差是4.4，
13、则原来一组数的方差为（）A3.2B4.4C4.8D5.6考点：极差、方差与标准差 专题：概率与统计分析：设出原来一组数据，根据求平均数的方法写出新数据的平均数，整理得到原来数据的平均数，根据一组数据都减去同一个数，不改变这组数据的波动大小，故方差不变解答：解：设样本x1，x2，xn的平均数是，其方差是4.4，有S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2=4.4，则样本x1+50，x2+50，xn+50的平均数+50，故其方差是S2=4.4前后两组数据波动情况一样，故选B点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前加上或者乘以同一个数，平均数也加上或者乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方
14、，在数据上同加或减同一个数，方差不变7（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框
15、图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（）ABCD考点：直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，利用正方形的性质可得ABNQ，利用线面平行判定定理可得AB平面MNPQ由正方体可得：前后两个侧面平行，利用面面平行的性质可得ABMNP解答：解：如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，且ABNQ，而NQ平面MNPQ，AB平面MNPQ，AB
16、平面MNPQ，因此正确由正方体可得：前后两个侧面平行，因此ABMNP，因此正确故选A点评：熟练掌握正方体的性质及线面、面面平行的判定与性质定理是解题的关键9（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行CN与BE是异面直线CN与BM成60角DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）ABCD考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据恢复的正方体可以判断出答案解答：解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60，DM与BN是异面直线，故正确故选：C点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中
17、档题10（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）AB8CD考点：球的体积和表面积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积解答：解：根据题意知，ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积SABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为SABCDQ=，DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4R）2，R=则这个球
18、的表面积为：S=4（）2=故选C点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）在空间直角坐标系中，点A（1，1，2）关于坐标原点的对称点的坐标为（1，1，2）考点：空间中的点的坐标 专题：空间位置关系与距离分析：直接利用中点坐标公式，求出点A（1，1，2）关于原点的对称点的坐标即可解答：解：由中点坐标公式可知，点A（1，1，2）关于原点的对称点的坐标是（1，1，2）故答案为：（1，1，2）点评：本题考查对称知识的应用，考查中点坐标公式的应用，考查计算能力12（5分）如图是一个
19、几何体的三视图，该几何体的体积是30考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，计算出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面面积S=43=6，棱柱的高h=5，故几何体的体积V=Sh=65=30，故答案为：30点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键13（5分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则三棱锥C1ABC的体积是V考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与
20、距离分析：三棱锥C1ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABCA1B1C1的高相同，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论解答：解：三棱锥C1ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABCA1B1C1的高相同，三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，三棱锥C1ABC的体积是V，故答案为：V点评：本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，比较基础14（5分）如图中样本数据平均数的估计值是34考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图中的数据，结合平均数的概念进行解答即可解答：解：根据频率分布直方图，得；样本数据的平均值为=0.0210+0.0310+0.0410+0.0110=4+9+16+5=
21、34故答案为：34点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了根据频率分布直方图求平均数的问题，是基础题15（5分）已知ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；若PC=5，PC丄平面ABC，则PCM面积的最小值为；若PB=5，PB平面ABC，则三棱锥PABC的外接球体积为；若PC=5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则三棱锥PABC的体积为2；若PA=5，PA平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为其中正确命题的序号是， （把你认为正确
22、命题的序号都填上）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：运用三棱锥的棱长的关系，求解线段，面积，体积，把三棱锥镶嵌在长方体中，求解外接圆的半径，运用的思想方法比较灵活，数学几何知识多解答：解：ABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，PM丄平面ABC，且M是AB边中点，MA=MB=MCRtPMARtPMBRtPMC，PA=PB=PC，正确，当PC面ABC，PCM面积=PCCM=5CM又因为CM作为垂线段最短=，PCM面积的最小值为=6，不正确若PB=5，PB平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，三棱锥PABC的外接球可以看做3，4，5为棱长的长方体，2R=5，
23、R=，体积为故不正确ABC的外接圆的圆心为O，PO面ABC，P2=PO2+OC2，r=1，OC=，PO2=252=23PO=，34=2，故正确若PA=5，PA平面ABC，则直线MP与平面PBC所成的最大角时，M点在A处，RtPCA中，tanAPC=，直线MP与平面PBC所成的最大角正切值为，故不正确故答案为：点评：本题考查了空间直线，几何体的性质，位置关系，求解面积，夹角问题，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚16（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点（）求证：直线BD1AC；（）求异面直线BD1与CE所成角的
24、余弦值考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）证明ACBD，且ACDD1，即可证明AC平面BDD1，从而证明ACBD1；（）在平面ABB1A1作BFCE，得到FBD1为异面直线BD1与CE所成角，借助于余弦定理求其余弦值解答：（I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，ACBD，又DD1平面ABCD，且AC平面ABCD，ACDD1，AC平面BDD1，BD1平面BDD1，直线BD1AC；（）解：在平面ABB1A1作BFCE，则FBD1为异面直线BD1与CE所成角，连接FD1，如图，设正方体棱长为2，则BF2=5，FD12=5，BD12
25、=12，cosFBD1=，异面直线BD1与CE所成角的余弦值；点评：本题考查了正方体中的线线关系；关键是熟练正方体的性质以及线面垂直的判定定理17（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点（ I）求证：BD平面EFC；（）当AD=CD=BD=1，且EFCF时，求三棱锥CABD的体积VCABD考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）ABD中，根据中位线定理，得EFAD，结合ADBD得EFBD再在等腰BCD中，得到CFBD，结合线面垂直的判定定理，得出BD面EFC；（）确定CF平面ABD，SABD=
26、，利用体积公式，即可得出结论解答：（）证明：ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，EFADADBD，EFBDBCD中，CB=CD，F是BD的中点，CFBDCFEF=F，BD面EFC；（）解：CB=CD，F是BD的中点，CFBD，EFCF，EFBD=F，CF平面ABD，CB=CD=BD=1，CF=，AD=BD=1，ADBD，SABD=，VCABD=点评：本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥CABD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组
27、表示1000，1500）（）求居民收入在1500，2500）的频率；（）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500，3000）的这段应抽取多少人？考点：频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（）根据频率=小矩形的高组距来求；（）求出月收入在2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案解答：解：（）月收入在1500，2500）的频率为0.0009500=0.45；（）月收入在2500，3000）的频数为0.2510000=2500（人），抽取的样本容量为100抽取比例为=，月
28、收入在2500，3000）的这段应抽取2500=25（人）点评：题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率19（12分）如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1面A1B1C1，正视图是边长为2正方形（）求侧视图的面积；（）求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：（）分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高侧棱长，把相关数值代入即可求解；（）取BC的中点O，连接AO，OC1，则AC1O为直线AC1与平面BB1C1C所成角解答
29、：解：（）三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，等边三角形的高为，由题意知左视图是一个高为2，宽为的矩形，左视图的面积为2；（）取BC的中点O，连接AO，OC1，则AC1O为直线AC1与平面BB1C1C所成角AO=，AC1=2，sinAC1O=点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等20（13分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4（）证明：BC1平面A1CD；（） 过点E
30、作一个平面，使得平面A1CD，求与直棱柱ABCA1B1C1的截面面积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连接AC1，交A1C于点F，利用三角形的中位线证明BC1DF，即可证明BC1平面A1CD；（2）先把平面做出来，再求其面积即可解答：（1）证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1DF因为DF平面A1CD，BC1平面AC1D，所以BC1平面A1CD（6分）（2）分别去BD、BC的中点为M、N，连接MN，EM，EN，则MNDC，ENA1D，平面MNE平面A1CD，及为平面MNE，三棱柱ABCA1B1
31、C1中，AA1面ABC，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=4，AB=4，可得：MN=EN=，ME=，可求得：SMNE=故与直棱柱ABCA1B1C1的截面面积为点评：本题主要考查线面平行的判定和性质以及截面的性质和面积的求法21（14分）如图，在等腰梯形PDCB中，DCPB，PB=3DC=3，PD=，DAPB，垂足为A，将PAD沿AD折起到点P，使得PAAB，得到四棱锥PABCD，点M在棱PB上（）证明：平面PAD平面PCD；（）平面AMC把四棱锥PABCD分成两个几何体，当PD平面AMC时，求这两个几何体的体积之比的值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：
32、证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由图1中DAPB，可得折叠后DAAB，DAPA，进而DCPA，DCDA，由线面垂直的判定定理得到DC平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD平面PCD；（2）根据几何图形可知=，求出四棱锥PABCD的高为h，底面积为（1+2）1=，三棱锥MABC的高为h0，底面积为=1，=，利用分割法求解体积，得出比值，解答：证明：（1）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DAPB，所以在四棱锥PABCD中，DAAB，DAPA又PAAB，且DCAB，所以DCPA，DCDA，而DA平面PAD，PA平面PAD，PADA=A，所以DC平面PAD因为DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD，解：（2）在等腰梯形PDCB中，DCPB，PB=3DC=3，PD=，AD=1，BD=，BD与AC的交点为O，可得OD=，OB=，当PD平面AMC时，PD0M，=，根据体积公式：sh，三棱锥MABC与四棱锥PABCD的体积之比为，这两个几何体的体积之比=点评：本题考察了空间几何体的性质，运用求解体积，面积，线段的长，分割法求解几何体的体积，属于难题- 21 -