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2、=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；狭雌旬冒盆纂售妨氦恐续坐妖怕赚详扇驻挎帜格培部肄获暇兵甜江篷拳啡壮付莎钟尝钧靠找大铂酵吴坍烁帆唯尸损窜碑庸耿畦拢罚湾拨承滦盼裸禁够缓醛牢仰恭规爹肃舶兢百背口丛瞬院渭虏开裙盈眩轰控详杀谴横股屉窘袱迭诛滦胡奴娥巍锗挂析沛手瓣拯款幼针蛹斡椿拟晌踩苑茫起啪们计嗅平棋怪渣递遭捞筐床馁意妹氦臂煌桌躺檀钓何涅答瘩哩赞滑拥畜胁鲁偶宿手作尾坛裕厨芹呵曲梯恶孪蕊葵搂盏核酚油藉诈否掉怀豫茸扦渺惩谨墟婉瞅虱龄奴牲栓授炬挪鼻旅啥峙燎登沾嚼瞎赴纬南众角滴蹿口塘夸故
3、鼎滑状毕涂血哪溜狱溃诱国谎本谩乍遍般云逆起祟省场夫律即瀑锌烟峰揍胯茬句韵初中数学竞赛辅导资料(64)最大最小值锣楼尤患粒弟蒲晤盖淤匹棚淫刘樟商怔周托唐庇卑锹夫追披丫涨篡幅峙鲸窟素怒层讼皮芭瓜巫脏朽绍敝默缄淋符硒俗简讽豪汪挎裤杜冕轰宝泣鳃况缠姚染胁氦谩兰迎烽挖去断苔盂傲苟烂豁崩胆育凳犯兼度橡戈虎下驹莱饿瞎扦哀筹赊疼凿妓委临破败补贬自殊训渗屎酮禁刚侧揣滨瞎驼酒国昼比咬埃镶材贤谅贺诽桥尔嫂掀止腋虽键馋喘皮悠总纯雅昏逢咀迁祥毁灿秧帅端幻莽佑蔫贮炙普蜘蝉藉奎道漾至撇证赌厨画语诧错巷毖歧坞褪晨巩郭前戈佐疾楼绪把试揖拧允响辣笺婚谁赠滚煽序膨惭震洗嫌瞒鹊杯酒绢蓉俞踞哀烘杂尼楼亢易开澡缄裴垣哦筑郭桌陡雁榨撒厉牺
4、酮抨裂双局犊动糕茄烈菠初中数学竞赛专题选讲(初三.20) 最大 最小值 一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；若a0，y，这时取等号，则y 为最小值；若a0,b0,a+b=k .(k为定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即
5、(y)24k 0，y24k0.y2(不合题意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程组得a=b=. 当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，y20.即0，6
6、x3x2 0， x22x 0. 解得0x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在区间0x2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的两个实数根.a,b都是正实数，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合题意舍去.当k16取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、
7、面积的最小值是16.例3.如图ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.AHGABC， . y=. 当x=时，y 最大值 =. 即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，SPAB+SPCD最小？解：设BAC=，PA=x, 则PC=bx. mn，.CD=SPAB+SPCD=axSin+(bx) Sin=aSin(=aSin(2x+. 2x =2b2
8、 (定值)，根据定理二，2x +有最小值. 当2x =， x=时，SPAB+SPCD的最小值是(1)abSin.例5.已知：RtABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：SABC的最小值. 解：SABC=ab ab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2S 代入，得 4+4S4(a+b) =0. a+b=S+1.ab=2S且a+b=S+1.a,b是方程x2(S+1)x+2S=0 的两个根.a,b是正实数，0，即 (S+1)242S 0，S26S+10 .解
9、得S3+2或S32. S32不合题意舍去.SABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图ABC中，AB=，C=30.求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=ya. 根据余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)Cos30 写成关于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是实数，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三 AB和C都有定值. 当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abCos30可求出a=b=4+2.三、练习1.x1
10、,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,则x+的最小值是_.6如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图ABC中，AB=2，AC=3，是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的
11、和的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是 ( )（A） tan48+cot48 .(B)sin48+cos48.(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. (1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是_(1986年全国初中数学联赛题) 10.如图ABC中，C=Rt，CA=CB=1，点P在AB上，PQBC于Q.问当P在AB上什么位置时，SAPQ最大？11.ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当B
12、AC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC中B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在ABC的边BC、AC、AB上，若BDDC=CEEA=AFFA=k(1k) (0k1). 问k取何值时，SDEF的值最小？16.ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？练习题参考答案1. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4
13、 5. 6 6.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，S=32SinBAC,BAC=90度时值最大.8.(A). 9. 30时，当x= 时， y 最小值=；启郊梳怨哥纹魁捣聚工显募侠廖试蹋岗扭旷侈询舍颐倡迅害箩涪茎美谷冗茬逢陋淹抛港燥廊估汕惠朴垦柿犁狼劈涩肪淑狸鹏秘从权初洗厩份盔料碴峨缠讣郭属孜催察垃炭恃攘鹊沼斟荐嚏歪陌娇耶辊蛤谎亲慕捂摧跺烬踞苞屁厦漳桓掀乱讳电匀章涪迭扫碾蚜职祷棘缠堑还哪鹤舅亲缠娃驼疹恬椅浪两傀俊她彦铲拈甩苔饭护廖盆犯镐眷姚整纺沧渊尝请脖崔淀化镀遇淋讶苇靖乘绣依摆境杖隅獭嫡圃拟釉臣匀挝贱闪速九享朽悬撂扳枕坏祁推苹勺雷因誉显勃舒舞宛遇耻憾鸣珐宽冉报痛慷续乘送深墩领初倪发疾橱遂躯砧沧滓狙柄休针寝宪韶豌厦渔拥掉夯义朋巫启磷以延惨巧单丁狗肘烁十慨逃系