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1、第一部分 预测方法案例1：基于灰色预测和差分方程的中国人口增长趋势的研究 中国是一个人口大国，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱等是中国现阶段的基本国情。人口问题始终是制约中国发展的关键因素之一，因此，对中国人口的增长趋势做出分析和预测显得非常重要。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的研究成果和数据资料。另外发现，近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。那么，根据已有的数据资料，运用数学建模的方法，对中国人口进行分析和预测是一种较有效的方法。本案例以全国赛2007年A题为背景
2、，先运用灰色预测GM（1,1）模型对育龄妇女的生育率进行预测，然后利用差分方程建立人口预测模型。 案例2：运用拉氏变换与逆变换来求解微分方程已知无源电路如图所示，试建立电路的微分方程并求出的关系式案例3：基于微分方程理论的SARS传播模型SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。本案例以全国赛2003年A题
3、为背景，运用微分方程理论对SARS 的传播建立数学模型.案例4：基于微分方程的最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕鱼策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，,4龄组,各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109 个，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵 产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成
4、活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 /1.22 +n） 渔业管理部门规定每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业 如果每年投入的捕捞能力 如渔船数 下网次数等 固定不变 这时单位固定时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比比例系数不妨称捕捞强度系数 通常使用13mm网眼的拉网这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼 其两个捕捞强度系数之比为0.42：1 渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。本案例以全国赛1996年A题为背景，运用微分方程理论建立数学模型分析如何实现可持续捕捞。案例5：基于时间序列分析方法的长江水质预测问题 水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国
5、大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。本案例采用时间序列分析方法，来预测未来十年内长江水质的污染情况。案例6：基于数据拟合与BP预
6、测的输电阻塞管理问题 电力从生产到使用的四大环节发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。本案例以2004年B题电力市场的输电阻塞管理为背景，分别使用数据拟合与BP神经网络预测的方法，对电网负荷及输电阻塞问题进行预报，然后建立非线性规划模型，求解最有的电力分配方案。第二部分 评价问题案例7：基于层次分析法的高考志愿选择策略 一年一度的高考结束后，许多考生面临估分后填写志愿的决策过程。这个决策关系重大，请你建立
7、一个数学模型，帮考生考虑到各种决策因素使之能轻松应对这一重大决策。 假设每个考生可填写四个志愿。现有北京甲、上海乙、成都丙、重庆丁四所大学。考生通过网上信息初步考虑因素重要性主观数据如下表相关权数北京甲上海乙成都丙重庆丁校誉名校自豪感0.220.750.70.650.6录取风险0.1980.70.60.40.3年奖学金0.0240.60.80.30.7就业前景0.1330.80.70.850.5生活环境离家近0.0610.20.410.8生活费用0.0640.70.30.90.8气候环境0.0320.50.60.80.6学习环境专业兴趣0.1320.40.30.60.8师资水平0.0340.7
8、0.90.70.65可持续发展硕士点0.0640.90.80.750.8博士点0.0300.750.70.60.5本案例采用层次分析法进行建模计算，给出志愿排序的合理决策。案例8：基于熵原理和模糊数学的高校毕业生就业问题的研究 2003年，是我国各高校自扩招以来本科学生毕业的第一年，在这一年里，高校毕业生就业遭遇了历史上最严峻的形势，其问题难度之大，牵涉面之广、受各界关注之深，为历史上少有。继2003年之后，本年度，即2007年毕业生人数再创新高：全国普通高校毕业生将达到495万，比2006年增加82万；为缓解大学生就业压力，政府及社会各方面集中推出各种促进就业的活动，并将2007年作为高校毕
9、业生就业工作的全面服务年。本文在对毕业生就业问题调查研究的基础上，综合得出影响毕业生就业的一系列指标，根据这些数据，我们进行分析研究，判断影响毕业生就业的主要因素是什么，并对相关因素进行排序。本案例以第四届苏北数学建模竞赛A题为背景，运用熵权法确定各项影响毕业生就业主要因素的权值，从而根据权重大小对各指标的重要性进行排序。本文运用模糊评价的方法对毕业生的就业情况予以评价。案例9：基于模糊数学方法的公务员招聘问题 我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的国家公务员暂行条例规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的
10、标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要
11、求都向所有应聘人员公布。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿。本案例采用模糊数学方法，解决公务员的招聘问题。案例10：基于综合评价方法的长江水质的评价模型 水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染
12、的真实画面，其污染程度让人触目惊心。本案例以全国赛2005年A题为背景，建立数学模型，并依据附件中数据对长江近两年多（0305）的水质情况做出定量的综合评价。案例11：基于线性回归的长江水质的评价和预测模型 长江水质的评价和预测是05年A题，依据近两年17个观测点的数据对相应地区的水质情况做定量综合评价与分析，然后一句这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而确定出长江干流的主要污染源所在的区段，最后根据长江过去10年的总体水质检测分类数据，利用回归分析，对未来长江水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。案例12：基于主成分分析的长江
13、水质的评价和预测模型 运用主成分分析法对长江流域主要城市水质检测报告进行分析，选取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。第三部分 优化问题案例13：基于线性规划求解飞行管理模型 本案例以全国赛1995年A题(一个飞行管理模型)为例，详细阐述了线性模型的建立和用MATLAB优化工具箱求解线性规划。飞机进入某个飞行区域时以及在飞行过程中，必须保证与其他飞机保持一定的距离，否则就会出现飞行事故。本案例通过充分利用已知条件和有效的简化，将一个非线性规划问题转化为线性规划问题，求解更加方便快捷。案例14：基于整数线性规划
14、的货运公司的运输问题 某地区有8个公司（如图一编号至），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号）分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件
15、在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量。本案例运用整数线性规划方法，实现最优的货运公司的车辆调度问题。案例15：基于TSP的最佳灾情巡视路线 TSP (旅行商问题Traveling Salesman Problem)，是典型的NP完全问题，有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，唯一走遍所有的城市，再回到他出发的城市，求最短的路线。灾情巡视路线是98年B题，准确地说我们是无法找到最优巡视路线，因此在它的子图中寻找局部最优巡视路线。首先建立一个基本模型能在一个点相对较少的网络图中寻找最优推销员的回路，然后对整个网络图进行分区，在各区内用基
16、本模型的近似解法寻找较优路线，最后将各区的巡视路线综合起来得到整个网络图较优分组巡视路线。案例16：基于动态规划方法求解背包问题 背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中，通过递推关系式和边界条件逐步寻优。案例17：基于最短路的逢山开路模型 逢山开路是94年A题，题中给出了实际的基本特征，如地貌、路线、环境等自然条件以及费用系数，重点是求两点间的最短路，由于要在河流上架桥和开挖隧道，先根据对地形
17、和不同路段费用系数的分析，确定桥头和隧道口的若干候选地点，然后寻求山脚到桥，桥到隧道，隧道到矿区的最短路，也是最小费用路径，最后在综合考虑修桥和隧道的费用，从而得出全局最小费用路线。案例18：基于Dijkstra最短路径的网络路由算法 最短路径问题是图论中十分重要的最优化问题之一，它作为一个经常被用到的基本工具，可以解决生产实际中的许多问题。当权值非负时，Dijkstra算法是目前公认的寻求最短路问题最好的算法。在计算机网络中，路由的选择对数据的传输及服务质量的保证至关重要。本案例将网络时延等、吞吐量参数归入链路的权值，用Dijkstra最短路径算法求解端到端的路由选择。该模型综合考虑了多种网
18、络因素，案例19：基于连续型hopfield神经网络的TSP问题 旅行商问题（Traveling Salesman Problem）是指：有n个城市，一个推销员要从其中某一个城市出发，所有的城市必须经过且只经过一次，最后回到他出发的城市，求最短的路线。这一个多局部最优的最优化问题，俗称NP难问题，一般的方法很难求解。Hopfield神经网络是一种回馈式神经网络，且可将优化目标与能量函数相结合，从何精确地计算出TSP问题的最优解。案例20：基于改进型Floyd算法的公交路线查询问题 Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。Floyd算法适用于A
19、PSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。城市公交系统需要查询任意两点间的换乘方案和乘车路线。本案例以全国赛2007年B题为背景，通过一定的改进，用Floyd算法求解各点的公交路线。案例21：基于网络最大流算法的物资运输问题 随着社会的发展，各地间的物资运输与交互问题越来越得到关注，物流业也得到快速发展。A地到B地的物资运输是否可达，往往决定于运输网络的承载能力。只有最大程度的运用运输网络，使其达到网络的最大流，才能保证物资运输的高效
20、性与可靠性，不会出现物资短缺等危机。当考虑不同路径之间物资运输的成本时，我们希望得到一个最小费用流，在保证物资可达的前提下，投入资金最少。本案例以图论的最大流方法，解决现实生活中的物资配送问题，使运输网络得到充分利用。第四部分 数据处理方法案例22：基于统计分析的奥运会临时超市网点设计模型 奥运会临时超市网点设计是04年A题，通过对三次问卷调查给出的一万条记录的数据进行分析、汇总计算，给出出行和不同类型人流的分布关系，将这些关系数据组成尽可能全面反应相关规律的数据系统。案例23：聚类分析及MATLAB应用 聚类分析的基本思想是在样品之间定义距离，在变量之间定义相似系数，距离或相似系数代表样品或
21、变量之间的相似程度。按相似程度的大小，将样品（或变量）逐一归类，关系密切的类聚到一个小的分类单位，然后逐步扩大，使得关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到所有的样品（或变量）都聚集完毕，形成一个表示亲疏关系的谱系图，依次按照某些要求对样品（或变量）进行分类。案例24：判别分析及MATLAB应用 设已知两总体A和B，通过分析研究在A,B两总体分别提取了m个特征变量 , , ,然后对A,B两总体分别作 ， 次试验， A,B两总体的试验观测数据如下： 现在要判定B总体是否与A总体同属于同一类。案例25：基于插值与拟合的沙尘暴问题 沙尘暴是一种灾害性天气，近年来频繁发生，对环境和人们的生产、生活都造成
22、了影响甚至危害。对沙尘暴的发生条件需要加以研究，以便人们进行有效的预测和预防。请为沙尘暴的发生建立数学模型，具体问题如下：问题一：对沙尘暴的发生次数进行分析，建立相应的数学模型，使人们可以根据相关气象数据的监测结果，估计出沙尘暴在某地区某段时间内发生的次数。问题二：评估沙尘天气气象等级，预测在近期内观测站所在地发生沙尘暴的风险，并在高风险时发出警报信息。本案例采用插值拟合方法，来估计出沙尘暴的发生次数。案例26：基于随机性决策分析方法的彩票中的数学问题 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额*使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“
23、10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码（可重复），从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级（X表示未选中的号码）。“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从0133个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如
24、“36选6+1”的方案，先从0136个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：(当期销售总额 总奖金比例) -低项奖总额 单项奖比例 本案例采用基于随机性决策分析方法，解析彩票中的数学问题。案例27：基于Arnold置乱与DCT变换的数字水印模型 数字水印技术是保护数字产品不受网络安全侵害的重要技术和手段。本案例以图片为保护对象，综合Arnold置乱技术在图片的DCT域嵌入数字水印，并对嵌入水印后的图像做剪切、旋转、压缩、放大、缩小、模糊等攻击操作，提取后的水印显示该方法具有一定的鲁棒性，能抵抗网络中的水印攻击。