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1、2017-2018学年度下学期期中考试高二数学（理） 时间：120分钟 总分：150分 第卷（选择题 共60分）一、 选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数是( ) A B C- D 2. 一质点做直线运动，由始点经过后的距离为，则速度为的时刻是（ ）A B C与 D与3. 函数的极大值为，那么的值是（ ）A B C D4. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为A B C D5由直线，曲线及轴所围图形的面积为 （ ）A3 B7 C D 6.设经计算得，观察上述结果，可推测出一般结论 ( ) A B.
2、 C. D. 7.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是( ) A. B. C. D.8函数的单调递减区间是（ ）A B C D 9. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )10. 已知数列满足，则（ ）A B C D11已知函数，则、的大小关系（ ）A BC D12. 已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13若，其中、，是虚数单位，则_14_ _15对于函数 （1）是的单调递减区间； （2）是的极小值，是的极大值； （
3、3）有最大值，没有最小值； （4）没有最大值，也没有最小值其中判断正确的是_.16函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 三、解答题（17题10分，1822题每题12分）17. 已知复数.当实数取什么值时，复数是：（1）虚数；（2）纯虚数；（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.18已知函数.（）求函数的单调递增区间；（）求函数在上的最大值和最小值.19. 设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.20. 数列中，.（）求的值；（）归纳的通项公式，并用数学归纳法证明.21. 把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做
4、成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为.（）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.22.已知函数. (）求的最小值； (）若对所有都有，求实数的取值范围.2017-2018学年度下学期期中考试高二数学（理）参考答案 一、选择题1-5CCCDC 6-10DBBCB 11 B 12A二、填空题 13. 14. 15. (2)(3) 16.三、解答题17.(1) ， ；(2) ；(3) 或.解析：.（1）为虚数，则，则， .（2）为纯虚数，则，则.（3），则或.18.(本小题共12分)解：(1). - 2分令, -4分解此不
5、等式，得. 因此，函数的单调增区间为.-6分(2) 令,得或.-8分当变化时，变化状态如下表：-2-112+0-0+-111-111 -10分从表中可以看出，当时，函数取得最小值.当时，函数取得最大值11.-12分19.解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 20. 解：（）计算得 .（）根据计算结果，可以归纳出 .当时，与已知相符，归纳出的公式成立.假设当（）时，公式成立，即，那么， .所以，当时公式也成立.综上，对于任何都成
6、立.21.解：（）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为-1分.则 . -3分函数的定义域为. - 4分 （）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.先求的极值点. 在开区间内，-6分令，即令，解得.因为在区间内，可能是极值点. 当时，；当时，. -8分因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，所以是的最大值点，并且最大值 即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.- -10分22.(）解：的定义域为，的导数. 令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 所以，当时，取得最小值. 6分(）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立. 令， 则. 当时，因为，故是上的增函数， 所以 的最小值是，从而的取值范围是. 12分