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1、第七节 正弦定理和余弦定理,基础梳理,典例分析,题型一 正弦定理和余弦定理的应用,分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.,【例1】在ABC中，已知a= ,b= ,B=45，求A、C和c.,解 方法一:B=4590,且ba,问题有两解. 由正弦定理，得sin A= A=60或A=120. (1)当A=60时，C=180-A-B=75, c= (2)当A=120时，C=180-A-B=15, c= 故A=60,C=75,c= 或A=120,C=15,c= .,方法二:由余弦定理有 即 整理得 解得c=
2、或c= . 又cosA= 当a= ,b= ,c= 时,由可得cosA=- ,故A=120; 当a= ,b= ,c= 时，由可得cosA= ,故A=60. 故A=60,C=75,c= 或A=120,C=15,c= .,学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.,举一反三,1. 已知在ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值.,解析: acb,角A为最大角. 由余弦定理有cosA= A=120， sin A= ,再根据正弦定理，有 sin C=,题型二 三角形的面积
3、问题,分析 三角形外接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=60,只要再能求出边a,问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键.,解 由题意知， = bcsin A,所以c=4. 由余弦定理知：a= 再由正弦定理2R= 即ABC外接圆的直径是 .,举一反三,学后反思 要注意正弦定理的统一形式： (其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成 abc=sin Asin Bsin C,或 等形式.,2. （2009北京）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B= , cos A= ,b= . (1)求sin C的值； （2）求ABC的面积.,解析 （1）角A、B、C为
4、ABC的内角，且B= ，cos A= , (2)由（1）知 . 又B= ,b= ,在ABC中，由正弦定理得 . 于是ABC的面积S=12absin C= .,题型三 判断三角形的形状,【例3】在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.,分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.,解 方法一:由正弦定理，设 =k0， a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得 ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Cco
5、s C, 即sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C. 根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2C, sin(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-(A-B)= 2sin Ccos C, 2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C. A+B+C=A+B=-C,sin(A+B)=sin C0, cos(A-B)=cos C, cos(A-B)+cos(A+B)=0, 2cos Acos B=0cos A=0或cos B=0, 即A=90或B=90,ABC是直角三角形.,方法二:由余弦定理知 cosA= cosB= cosC= 代入已知条件得
6、a +b +c =0, 通分得 展开整理得 即 或 . 根据勾股定理知ABC是直角三角形.,学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C,举一反三,答案：C,3. ABC中， ,判断三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形,解析：由正弦定理得 , sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 又因为A,B(0,),所以A=B或A+B=90.
7、,题型四 正、余弦定理的综合应用,【例4】(12分)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且 （1）求角A的大小； （2）若a= ,求bc的最大值； （3）求 的值.,分析（1）由 的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值. （2）由a= 及 ,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.,解 (1)cosA= 1 A=120.2 (2)由a= ,得 .3 又 2bc(当且仅当c=b时取等号）, 3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），.4 即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.6
8、 (3)由正弦定理，得 .7 .12,学后反思 (1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角. (2)正、余弦定理均能实现边角转化，在解题时一定要注意根据条件的形式，选择转化方式.,举一反三,4. 在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.,解析：由余弦定理cosA= ,因此A=60. 在ABC中，C=180-A-B=120-B. 由已知条件，应用正弦定理,得 解得cot B=2,从而tan B= .,易错警示,【例】在ABC中，若C=3B,求 的取值范围.,错解 ,错解分析 上面解答忽视了隐
9、含条件B的范围. C=3B,A=-4B0,即0B ,0sin B 1 .,考点演练,正解 A+B+C=,C=3B，A=-4B0， 0B ,0 . 又 13-4 3，1 3.,(2010东营模拟）在ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方程 的两 根且2cos(A+B)=1,则AB= .,解析: 设AB=c,11. 在ABC中，已知sin C=2sin(B+C)cos B,判断ABC的形状.,解析： 方法一：由sin C=2sin(B+C)cos B,得sin C=2sin Acos B.再结 合正、余弦定理，得 , 整理得 ,所以ABC是等腰三角形.,方法二：由sin C=2sin Acos B,得sin(A+B)=2sin Acos B,整理 得sin(A-B)=0,从而A=B,所以ABC是等腰三角形.,解析： （1） , . 由ABAC=3，得bccos A=3,bc=5. SABC= bcsin A=2. (2)由（1）知，bc=5,又b+c=6, b=5,c=1或b=1,c=5. 由余弦定理，得 , a= .,