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1、第19课 等比数列的前n项和（2）【学习目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式；学会用公式解决一些较复杂问题。 2.利用等比数列模型，培养解实际问题的能力。【课前导学】1.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S21，a4=2S3+1,则公比q等于 2在公比为整数的等比数列an中，已知a1a418，a2a312，那么a5a6a7a8等于 3在14与之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为,则此数列的项数为 4在等比数列an中，公比q=2,log2a1+log2a2+log2a10=25,则a1+a2+a10=. 【答案】1、3；2、480；3、5；4、【课堂活动】一、建
2、构数学1、等比数列性质：（1）若是等比数列，且公比，则数列 ，是等比数列;当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. （2） 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列（3）对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和2、等比数列的单调性：在等比数列an中(1)若a10，q1或a10，0q1则数列递增，(2)若a10,0q1,或a10，q1 ,则数列递减；(3)若q=1，则数列为常数列；(4)若q0，则数列为摆动数列.二、应用数学1、利用等比数列模
3、型，培养解实际问题【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中515，1.12，则答从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩【解后反思】通过枚举发现等比数列，找准等比数列的基本量，合理用等比数列相关知识求解。【例2】某
4、人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷如果10年还清，那么每月应还贷多少元？【思路分析】对于分期付款，银行有如下规定：（）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和为解决上述问题，我们先考察一般情形设某商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，则分期付款方式可表示为：从而有运用等比数列求和公式，化简得这就是分期付款的数学模型【解】设每月应还贷元，共付款1210=120次，则有化简得答每月
5、应还贷款2029.66元2、利用等比数列性质解题【例3】已知为等比数列，且=a，=b，（ab0），求.【解】设等比数列的公比为q.若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，从而有2a=b （或）若q1（即2ab），由已知a b 又ab0,/得 , 将代入，得 若等比数列an中，S42，S86，则a17a18a19+a20的值等于_32_.【例3】在等比数列an中，当基本量满足什么条件时，an是单调增数列？当基本量满足什么条件时，an是单调减数列？【思路分析】利用定义探求条件【解】（1）若，两邻两项一正一负，数列没有单调性；（2）若，数列为常数列，数列没有单调性；（3）若，则（）当，则（）
6、0,数列为单调增数列当，则（）0,数列为单调减数列（4）若，则（）当，则（）0,数列为单调减数列当，则（）0,数列为单调增数列综上：若a10，q1或a10，0q1则数列递增；(2若a10,0q1,或a10，q1 ,则数列递减；等比数列an的公比q1，第17项的平方等于第24项，求使a1a2an恒成立的正整数n的取值范围.【思路分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.【解】由题意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比数列的性质知：数列是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等
7、式成立，则须，把aq-18代入上式并整理，得q-18(qn1)q(1)，qnq19，q1，n19，故所求正整数的取值范围是n20.【解后反思】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a37，S424()求数列an的通项公式；()设p、q都是正整数，且pq，证明：Sp+q(S2pS2q)【思路分析】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第()小题；第()小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】（）设等差数列an的公差是d，依
8、题意得，解得，数列an的通项公式为ana1(n1)d2n1.（）证明：an2n1，Snn22n2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，pq，2Sp+q(S2pS2q)0，Sp+q(S2pS2q)【解后反思】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.三、理解数学1. 知识点：数列的前n项的和的二种形式及使用前提2. 数学思想与方法：方程思想，整体代换；错位相减。3. 检测：（1）已知等比数列an中，前n项和Sn
9、=54,S2n=60,则S3n等于 （2）已知an是公比为的等比数列，若a1+a4+a7+a97=100,则a3+a6+a9+a99的值是 3.数列1，1+2,1+2+22，(1+2+22+2n1)，前n项和等于 4等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=_.5若等比数列an中，S42，S86，则a17a18a19+a20的值等于_.【答案】（1）60；（2）25；（3）2n+1n2；（4）2；（5）32【课后提升】1. 必做题：课本P55练习1-7 2. 选作题：苏大测试反馈181 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？【答案】塔顶3盏灯2我国1980年底人口以十亿计算（）若我国人口年增长率为1.2，则到2005年底我国约有多少人口？（）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？【答案】（1）2005年底我国约有13.5亿人口（2）人口的年平均增长率最高是1.13 顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5按复利计算，该顾客每月应付款多少元？【答案】顾客每月应付款430元