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1、初一奥数数学竞赛第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程
2、叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b0，方程变为0x=b，则方程无解例1 解方程解法1 从里到外逐级去括号去小括号得去中括号得去大括号得解法2 按照分配律由外及里去括号去大括号得化简为去中括号得去小括号得 例2 已知下面两个方程3(x+2)=
3、5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，试求a的值分析 本题解题思路是从方程中求出x的值，代入方程，求出a的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程时，应有43-3(a-3)=63-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由题设知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=33，-2x=-21，例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0
4、分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)当m+n0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=
5、a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)当a2-b20时，即ab时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b0，即ab，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=1(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991；(2)当m=-1时，原
6、方程无解所以所求代数式的值为1991例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定： (1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立(2)若ab0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab0成立(3)若ab0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab0成立解 按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)0看
7、不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为k20，所以只要k5或k2时上式大于零，所以当k2或k5时，原方程的解是正数，所以k5或0k2即为所求例9 若abc=1，解方程解 因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例10 若a，b，c是正数，解方程解法1 原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(a
8、b+bc+ac)=0因为a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c为原方程的解说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一例11 设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于n是自然数，所以n与(n+1) ，nx都是整数，所以x必是整数解 根据分析，x必为整数，即x=x，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解例12 已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值解 由原方程可解得a最小，所以x应取x=160所以所以满足题设的自然数a的最小值为2练习四1解下列方程：* 2解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1； 4当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解