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1、等差数列和等比数列知识点梳理第1节 ：等差数列的公式和相关性质1、 等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：（d为公差）（，）2、等差数列通项公式： ，为首项，为公差 推导过程：叠加法 推广公式： 变形推广：3、等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2） 等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式： 前N相和的推导:当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差
2、中项：数列是等差数列 （3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发 是等差数列7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8、 等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递
3、减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。 （4）、为等差数列，则都为等差数列 【新数列可以化为一次函数的形式】 (5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 推导过程： (6) 数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 推导过程：（7）、的前和分别为、，则 （8） 等差数列中， 若，则 （1） 若，则 （2）推导： 解出A和B 就可以推导出（1） （2）式直接用推广公式即可 (9)求的最值法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的
4、特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为等比数列的相关公式和性质1、 等比数列的定义：，为公比2、 通项公式：，为首项，为公比推广公式： 3、等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个
5、（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4、等比数列的前n项和公式：(1) 当时， (2) 当时， （为常数）推导过程：5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：如奇数个数成等比，可设为，（公比为，中间项用表示
6、）；注意隐含条件公比的正负8、等比数列的性质：(1) 当时等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若(),则。特别的,当时,得(4) 列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列。【可以化为为等比数列】(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, 成等比数列备注：和（7）本质上是一样的。(9) 当时， 当时，, 当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当q0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,。 (11)若是公比为q的等比数列,则