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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1设 a，b为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且la，m，有如下的两个命题：若 ab，则lm；若lm，则 ab那么( )A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )(第2题)ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1角为603关于直线m，n与平面 a，b，有下列四个命题：ma，nb 且 ab，则mn；ma，nb 且 ab，则mn；ma，nb 且 ab，则mn；ma，nb 且 ab，则mn其中真命题的序号是( )ABCD4
2、给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1B2C3D45下列命题中正确的个数是( )若直线l上有无数个点不在平面 a 内，则la 若直线l与平面 a 平行，则l与平面 a 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线l与平面 a 平行，则l与平面 a 内的任意一条直线都没有公共点 A0个B1个C2个D3个 6 两直线l1与l2异面，过l1作平
3、面与l2平行，这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90B60C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
4、那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )A4 B3 C2 D110异面直线a，b所成的角60，直线ac，则直线b与c所成的角的范围为( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题11已知三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P是ABC 所在平面 a 外一点，过P作PO平面 a，垂足是O，连PA，PB，PC(1)若PAPBPC，则O为ABC 的 心；(2)PAPB，PAP
5、C，PCPB，则O是ABC 的 心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是ABC 的 心；(4)若PAPBPC，C90，则O是AB边的 点；J(第13题)(5)若PAPBPC，ABAC，则点O在ABC的 线上13如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 14直线l与平面 a 所成角为30，laA，直线ma，则m与l所成角的取值范围是 15棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1d2d3d4的值为
6、16直二面角 alb 的棱上有一点A，在平面 a，b 内各有一条射线AB，AC与l成45，ABa，ACb，则BAC 三、解答题17在四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(第17题)(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)设二面角ABCD的大小为 q，猜想 q 为何值时，四面体ABCD的体积最大(不要求证明)18 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18题)19*如图，在底面是直角梯形
7、的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱.)(第19题)20*斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.) (第20题)第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案A组一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面 a平面 b直线n，la，mb，且ln，mn，则ml，显然平面 a 不垂直平面 b
8、， (第1题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D解析：异面直线AD与CB1角为453D解析：在、的条件下，m，n的位置关系不确定4D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D5B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，不正确；A1B1平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，不正确；A1B1AB，A1B1平面ABCD，但AB平面ABCD内，不正确；l与平面平行，则l与 a 无公共点，l与平面 a 内的所有直线都没有公共点，正确，应选B (第5题)6B解析：设平面 a 过l1，且 l2a，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平
9、面 b ，b 与 a 的交线l3l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，则DBO是等腰直角三角形，即DBO458D解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9B解析：因为正确，故选B10A解析：异面直线，所成的角为60，直线，过空间任一点 P，作直线 aa， bb， cc. 若a，b，
10、c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 与 所成的角的范围为(30，90，所以直线b与c所成角的范围为30，90 二、填空题11解析：设三条侧棱长为 a，b，c则 abS1，bcS2，caS3 三式相乘： a2 b2 c2S1S2S3， abc2 三侧棱两两垂直， Vabc12外，垂，内，中，BC边的垂直平分解析：(1)由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O
11、 在BAC 的平分线上1360解析：将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为601430，90解析：直线l与平面 a 所成的30的角为m与l所成角的最小值，当m在 a 内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的的最大值为9015解析：作等积变换：(d1d2d3d4)h，而h1660或120解析：不妨固定AB，则AC有两种可能 三、解答题17证明：(1)取BC中点O，连结AO，DOABC，BCD都是边长为4的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第17题)解：(2)由(1)知AOD为二面角ABCD的平面角，设AODq，则
12、过点D作DEAD，垂足为EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE3又DOBD2，在RtDEO中，sinq，故二面角ABCD的正弦值为 (3)当 q90时，四面体ABCD的体积最大18证明：(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，即DEEC在长方体ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB过DE，平面DEB平面EBC (2)解：如图，过E在平面中作EODC于O在长方体AB
13、CD中，面ABCD面，EO面ABCD过O在平面DBC中作OFDB于F，连结EF，EFBDEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF， (第18题)又OE1，所以，tanEFO19*解：(1)直角梯形ABCD的面积是M底面，四棱锥SABCD的体积是VSAM底面1(2)如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EAABSA，SESBSA面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线又BCEB，BC面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CSSE，BSC是所求二面角的平面角SB，BC1，BCSB，tanBSC，(第19题)即所求二面角的正切值为(第20题)20*解：如图，设斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面BB1C1C的面积为10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1截面PQR，AA1CC1，截面PQR侧面BB1C1C，过P作POQR于O，则PO侧面BB1C1C，且PO6 V斜SPQRAA1QRPOAA1POQRBB110630