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1、数学必修五复习资料 第二章 数列一、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式就是相应函数的解析式二、等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。1等差数列的判断方法： 1）定义法：。 2）等差中项法： 3）通项公式法： 4）前n项和公式法：（大题不能直接用）2等差数列的通项公式：或。3等差数列的前和：，。v 提醒：等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。4等差中项：若成等差数列，则A叫做
2、与的等差中项，且。5等差数列的性质： 1）当时,则有，特别地，当时，则有 （m+n是偶数，即m、n同奇或同偶，两项才有等差中项） 2）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、也成等差数列 3） ，成等差数列 4）若是等差数列，则成等比数列 5）若是等比数列，且，则是等差数列. 6）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时， 7）若等差数列、的前和分别为、，则6 等差数列前n项和的最值问题： 7.等差数列绝对值的前n项和问题【练习16】已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：8.等差数列的“巧设项”问题做题时，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）偶数个数成等
3、差，可设为，,（公差为2）三、等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。1等比数列的判断方法： 1）定义法：，其中或 2）等比中项法： 3）通项公式法： 4）前n项和公式法：（大题不能直接用）2等比数列的通项：或。3 等比数列的前和：当时，；当时，。v 提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。v 提醒：等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求
4、出其余2个，即知3求2；4 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。v 提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。5. 等比数列的性质：1）当时，则有，特别地，当时，则有.2) 若是等比数列，则、成等比数列；3) 若成等比数列，则、成等比数列； 4) 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列； 当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 5） 若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列； 若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.6）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.6.等比数列的“巧设项”问题做题时，
5、为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。v 提醒：一般涉及数列通项或前n项和公式均可用“基本量法”进行转化4、 求数列的通项公式 1.找规律 2.公式法(适用于等差或等比数列) 等差数列：或。 等比数列：或。 3.由Sn求an 【练习2】已知数列满足,当时,其前项和满足,求数列的通项公式？【解析】当时, ，即，, 是以2为公差,为首项的等差数列. , 当时, 故 4.递推公式求通项公式 1）累加法：【练习3】已知数列中，求数列的通项公式；【解析】， 2）累乘法：【练习4】已知为数列
6、的前项和，求数列的通项公式.【解析】，当时， 3）待定系数法：【练习5】已知数列中，求数列的通项公式【解析】设，又，A=3是以为公比的等比数列，其首项为 4）构造新数列（一般构造好了）【练习6】已知数列的前n项和（n为正整数）（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，求【解析】（1）在中，令n=1，可得，即当时，. 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(2) 由（I）得，所以， ，由-得 5、 求数列的前n项和 1）公式法等差数列求和公式： 等比数列求和公式：常用公式： ， ， 2）倒序相加法（首末项和为常数）【练习7】求的值【解析】设. 将式右边倒序得. 又因为 +得
7、89 S44.5 3）错位相减法（通项为等差乘等比：如） 【练习8】数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的通项公式；（）记的前项和为，求.【解析】（），由成等差数列得，即，解得，故； （）， 法1：， 得， 得， 4）裂项相消法 【练习9】【解析】 5）分组求和法（奇偶项是不同的数列）【练习10】求数列的前n项和：，【解析】设 将其每一项拆开再重新组合得 当a1时， 当时， 6）并项求合法 【练习11】【解析】(1)n为偶数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+-(2n-3)+(2n-1)=n， n为奇数时，Sn=(-1+3)+(-5+7)+-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)=-n，综上知，Sn=(-1)nn.6