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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试全国2卷数学（理科）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合,1 2i1.二()1 -2i43.o43A.-iB.-+5 555题目要求的。C.4.i52已知集合 A - : x , y x2y20 , b 0的离心力为A . y - _ 2xB .y =. 3x6 .在 ABC 中，cV5cosBC =1 AC25 A. 4 2B .、30C. 2D .03，则其渐近线方程为（)q+血C. yx2D .yx2=5，贝y AB=()C.29D .251 1 1117为计算S =1 一 一 一 ,设计了右侧的程
2、序框图，2 3 4 一99100则在空白框中应填入（A i =i 1B i =i 2C i =i 3D i i 48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”如7 2在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是（）9.在长方体 ABCD -ABCQi 中，AB =BC =1 ,10若f x =cosx-sin x在l-a , a 是减函数，则C.15AA1C.二3，则异面直线 ADi与DBi所成角的余弦值为a的最大值是（jiB 2C.11 已知f x是定义域为的奇函数，满足f 1-x 二f 1 x 若f
3、 1 =2，则f 1 f 2 f 350 二()A. -50C.502y2 =1 ab0 的左、右焦点交点， A是C的左顶点，点 P在过A且2x12 已知F1 , F2是椭圆C : 2a斜率为 乜 的直线上， PRF?为等腰三角形， F1F2120，则C的离心率为（）61D.- 二、填空题，本题共 4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线y=2ln(x +1在点(0, 0 )处的切线方程为 .x亠2y -5014. 若x , y满足约束条件 x _2y 30，则z =.x y的最大值为 x 5015. 已知 sin 二川cos 1 =1， cos二川sin 1 =0 ,则 sini很：=16
4、. 已知圆锥的顶点为S，母线SA, SB所成角的余弦值为7 , SA与圆锥底面所成角为45 .若厶SAB8的面积为5.15，则该圆锥的侧面积为 .1721题为必考题。每个试题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 考生都必须作答，第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。17. (12 分)记Sn为等差数列a 的前n项和，已知印二-7, S3 - -15.(1) 求 的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.18. （12 分）240220200180160140120100計篇 O为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额， 建立了 y与时间变量t的两个线性回
5、归模型.根据2000 年至2016年数据(时间变量t的值依次为1 , 2，7 )建立模型：y - -30.4 13.5t :根据2010年 至2016年的数据(时间变量t的值依次为1 , 2，7 )建立模型：y =99 - 17.5t .(1) 分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12 分)设抛物线C:y2 =4x的焦点为F，过F且斜率为k k0的直线I与C交于A , B两点。AB =8 .(1) 求I的方程；(2) 求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.20. （12 分） 如图，在三棱锥
6、 P _ABC 中，AB 二BC=2、.2 , PA 二 PB 二 PC 二 AC =4 , O 为 AC 的中点.(1) 证明：PO _平面ABC ;(2) 若点M在棱BC上，且二面角 M _PA _C为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.21. (12 分)已知函数f x =ex ax2 .(1) 若 a =1，证明：当 x0 时，f x 1 ;(2) 若f x在0，二只有一个零点，求a .(二)选考题：共10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计 分。22. 【选修4-4 :坐标系与参数方程】(10分)x=2cosBk = 1 + l cosa在直
7、角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为-(二为参数)，直线I的参数方程为y =4sin 日y =2+1 sina(I为参数).(1) 求C和I的直角坐标方程；(2) 若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为1 , 2，求I的斜率.23. 【选修4-5 :不等式选讲】（10分） 设函数 f x =5 -|x - a| |x -2| .(1) 当a =1时，求不等式f x 0的解集;(2) 若f x 1，求a的取值范围.参考答案部分、选择题123456789101112DABBAABCCACD12. 解：PF2 -2c,-3竺,.e=l6 a 2c 4、填空题13. y=2x 14.1L915.-16.
8、40 2二216.设母线长为a, Sabsa sin ASB = 5 5 = a - 80,所以 OA a2 21 V2兀 2:S侧a Ca 40 2;芝2 2三、填空题17.解：(1 )由 S3 = -15可得：3a1 3 -15，所以 d = 2，所以 an = 2n-9(2) Sn =(1a“)n - n2 8n,当 n = 4时，Sn取最小值-16AA18.解：(1 y 二 0.4 13.5*19 = 226.1, y =99 17.5*256.5A(2)对于模型，当年份为2016年时，y二-30.4 13.5*17 =199.1A对于模型，当年份为 2016年时，y =99 17.5
9、*7=221.5比较而言，的准确度高，误差较小，所以选择19.解：(1) F (1,0 ),设直线 y =k(x1)，联立y 4x 二 k2x2-(2k2 + 4)x+k2 = 0 y = k(x1)NV 辛4 , AB=1-X1x2，2=8 ,.k=1,所以直线方程x-y-1 =0(2)设AB的中点为N( xN,yN )，设圆心为M( a,b )，所以圆的半径r=a+122Xn因为所以即:yNMN2% y2 =2，所以MN的方程为y - _1(x _3) 2，即h.(a-3)2 (b-2)2 h2(X_a)2，由垂径定理：r2(a+12 =16+2(a 3)2 解得：a =3或 a =11x
10、 y _5 = 0所以圆的方程为：(x _3)2 (y _2)2 =16和(x -11)2 (y 6)2 =14420.证明：连接 BQ因为 AB=BC贝U BCL AC,所以BO=2又因为在厶PAC中，PA=PC=4所以POL AC,且PO=2、. 3 ,2 2 2因为 PO OB 二 PB，所以PCL BO,从而PO _平面ABC ；(2)以OB为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，设BM=BC , B ( 2,0,0 ) , C (0,2,0 ) A ( 0 ,-2,0 )P (0,0, 2、3),设 M(x,y,0 ),所以 BM (x-2,y,0),BC=(-2,2,0),所以 M (
11、2-2, ,2 ,0)设平面 PAC的法向量为m =(1,0,0),设平面MPA的法向量为氐=(X1,屮，乙),一3-3PA (0 , -2 , -2.3) , MA (2 -2,-2-2 ,0)所以、MA n2=0x2 :1 -几-3-.3y2Z2P-因为二面角M PAC为30乜，所以COS300 =卫设PC与平面PAM所成角为 厂 所以sin二二PC n2PC n221 解: (1) 当 a=1, f(x) =ex -x2, f(x) =ex -2x, f (x) =ex -2x ln2, f(x)单调递减,x ln2, f(x)单调递增，所以 f(x)_f(ln2)=2-2ln20所以f
12、 (x)在0,：)是单调递增,所以f(x)_f(0)=1(3)令 f (x) =0=笃- a =0，令 g(x)=笃- a， g (x) = e x 2)xx当x ：2时，g (x) :： 0,g(x)单调递减，x - 2时，g (x)0, g(x)单调递增2e 所以 g(X)= g(2)mina4e2 当 a :时，g(x)min 0,g(x)无零点2 当a =时，g(X)min =0,g(x)只有一个零点42e a 时，g(x)min ：042 222. (1)曲线C的直角坐标方程：xy _1416直线L直角坐标方程：y = tan : (x -1)22 2r.(2)联立nx =1 lcos a=1与416y =2 +1 sin a2 2 2(4cos = sin :-) t(8cos：八 4sin：)t-8 = 0所以=0得8cos_：i 1 4sin :4cos2_： 】sin2 :二 0,. tan ：二-22x 4,x _ -123. (1 )当a=1时，f(x) = 2,1 vx v2 ，所以不等式f(x戶0的解集为x2兰x兰36 -2x,2(2)若 f (x 戶 1，贝V x + a + x 2 兰4，因为 x + a + x 2 3a+2所以只需要a+2艺4二a艺2或a兰6 综上：a的取值范围为laa - -6或a - 2/