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1、空间点线面位置关系 岳阳市外国语学校 熊飞跃空间点、直线、平面之间的位置关系；考情分析；1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查；2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线；3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图；1平面的基本性质；(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，；(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只；(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面) 空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力2有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题3能运用公理、定理和已获得的结论证
2、明一些空间图形的位置关系的简单命题 基础知识1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把
3、a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角) 范围： .3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补注意事项1异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2. (1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确
4、定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线 题型一 平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A三角形 B四边形 C五边形 D六边形解析如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.截面为六边形PQFGRE.答案 D【变式1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点
5、共面的图形是_解析在图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面可证中四边形PQRS为梯形；中可证四边形PQRS为平行四边形；中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形答案 题型二 异面直线【例2】4已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行根据公理4，则ab.与a、b异面矛盾答案：C【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异
6、面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析 如题干图(1)中，直线GHMN；图(2)中， G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN，GH与MN异面所以图(2)、(4)中GH与MN异面答案 (2)(4)题型三 异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析：如题图所示，由AO平面ABCD，可得平面ABC平面ABCD，又由DCBC可得DC
7、平面ABC，DCAB，即得异面直线AB与CD所成角的大小为90.【变式3】 A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为4
8、5.题型四 点共线、点共面、线共点的证明【例4】?正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE?平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE、D1F、DA三线共点【变式4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB
9、、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明 E、H分别为边AB、AD的中点，EH綉BD，而，且FGBD.四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.P直线EF，EF?平面ABC，P平面ABC.同理，P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3?l1l3Bl1l2，l2l3?l1l3Cl1l2l3?l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面解析 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定
10、平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错答案 B巩固提高1设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A若AC与BD共面，则AD与BC共面；B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直；C若ABAC，DBDC，则ADBC；D若ABAC，DBDC，则ADBC；解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四；C中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于B；D中，若ABAC，
11、DBDC，A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；D中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.答案：C2已知a、b、c、d是空间四条直线，如果ac，bc，ad，bd，那么( )Aab且cdBa、b、c、d中任意两条可能都不平行Cab或cdDa、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析
12、：若a与b不平行，则存在平面，使得a?且b?，由ac，bc，知c，同理d，所以cd.若ab，则c与d可能平行，也可能不平行结合各选项知选C.答案：C3对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得( )Aa?，b? Ba?，bCa，b Da?，b 解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面当a，b异面时，不存在平面满足A、C；又只有当ab时，D才可能成立答案：B4已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )AABCDB AB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D5a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)解析：由基本性知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确答案：答案：90